2023-2024学年数学八年级下学期直角三角形单元测试试题（湘教版）提升卷二含解析

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2023-2024学年数学八年级直角三角形（湘教版）
单元测试 提升卷二 含解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）如图，射线平分，点分别在射线上，过点作于点．若的面积为10，则的长为（ ）

A．10 B．5 C．4 D．3
2．（本题3分）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A． B． C．1，2，3 D．7，24，25
3．（本题3分）的三边长分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的为（ ）
A． B．
C． D．
4．（本题3分）若三边长，，，满足，则是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
5．（本题3分）如图，是四根长度均为5的火柴棒，均位于一条不完整的数轴上方．若点、点分别对应实数，且，则点所对应的实数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
6．（本题3分）如图，在边长为6的正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别记为，，则的值为（ ）
A．6 B．12 C．16 D．17
7．（本题3分）如图，在中，，，，若将绕点逆时针旋转后，点A的对应点为D，则的长为（ ）
A．5 B． C． D．
8．（本题3分）如图，在等腰三角形中，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰三角形的边上的一点，则当为等腰三角形时，的度数是（ ）
A． B． C．减 D．或
9．（本题3分）如图，在等边 中，点D为 边上一动点，连 ，将 绕着D逆时针旋转 得到 ，连 ，取 中点F，连 ，则下列结论不正确的是（ ）
A．当点D是 中点时， B．
C． D．当 时，
10．（本题3分）如图，已知等边的边长为4，点分别在边上，．以为边向右作等边，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）右图是用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图，则此作法的数学依据是 （请从“、、、、”中选择一个填入）．
12．（本题3分）如图，在中，，厘米，厘米，点从点出发，以厘米秒的速度在射线上匀速运动，当为等腰三角形时，点运动的时间为 秒．
13．（本题3分）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点和；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线交于点；④过点作交于点．若，则的度数是 ．
14．（本题3分）如图所示，已知的周长是，，分别平分和，于，且，则的面积是 ．

15．（本题3分）如图，在中，，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点G，作射线交于点D，点F在上且，连接，则的周长为 ．

16．（本题3分）如图，在中，，点D，E，F分别在边上，连接，已知点B和点F关于直线对称．若，则 ．
17．（本题3分）如图，等边与正方形的重叠，其中、两点分别在、上，且，若，，则的面积为 ．

18．（本题3分）如图，在中，，，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，点E为线段中点，点P是线段上的动点，将绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点，则线段的最大值是 ，最小值是 ．
评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）如图，某人从A地到B地共有三条路可选，第一条路是从A到B，为10米，第二条路是从A经过C到达B地，为8米，为6米，第三条路是从A经过D地到B地共行走26米，若C、B、D刚好在一条直线上．
(1)求证：；
(2)求的长．
20．（本题8分）在中，，，顺时针旋转一定角度后与重合，点E落在边上，且点E是的中点．
(1)指出旋转中心，并求出旋转角的度数；
(2)连接，求出的长．
21．（本题8分）如图，在中，，点E在边上，点F在边的延长线上，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
22．（本题10分）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的均在同一平面上），过点作于点．
(1)试说明；
(2)若测得，求的长．
23．（本题10分）如图，等边三角形中，点是边上的点．以为边，构造等边三角形，连结．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
24．（本题10分）在中，，，点D为射线上一点，过点D作且（点E在点D的右侧），射线交射线于点F，点H是的中点，连接，．
(1)如图1，当点D在线段上时，判断线段与的数量关系及位置关系；
(2)当点D在线段的延长线上时，依题意补全图2．用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
25．（本题12分）如图，在四边形中，．
(1)在图（1）中连接，并证明平分；
(2)如图（2），连接对角线，若，的面积为3，求的长；
(3)如图（3），点在的延长线上，且满足，点是线段的中点，连接，探究与的关系并说明理由．
参考答案：
1．B
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于点M，利用角的平分线的性质得到，利用三角形的面积公式求出即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点D作于点M，
∵射线平分，，，

∴；
∵，的面积为10，
∴；
∴；
解得，
∴
故选B．
2．C
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
根据勾股定理逆定理逐项判断即可．
【详解】解：A．，是直角三角形，故此选项不符合题意，
B．，是直角三角形，故此选项不符合题意，
C．，不是直角三角形，故此选项符合题意，
D．，是直角三角形，故此选项符合题意．
故选：C．
3．A
【分析】本题考查判断是否为直角三角形，勾股定理逆定理，三角形内角和定理．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案．
【详解】解：∵，设，，，
∴，解得：，
∴，，，故A选项不能判断是直角三角形；
∵，，
∴，即：，，
故B选项能判断是直角三角形，
∵，设，
∵，故C选项能判断是直角三角形；
∵，为勾股定理逆定理公式，故D选项能判断是直角三角形，
故选：A．
4．C
【分析】本题考查非负数的性质，勾股定理逆定理．根据算术平方根，绝对值和平方的非负性求出a、b、c的值，再根据勾股定理逆定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴，解得：．
∵，
∴，
∴是直角三角形．
故选C．
5．C
【分析】本题考查求数轴上点对应的实数，涉及等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，过点作于，过点作于，如图所示，利用等腰三角形性质得到相关角与边的关系，再由全等三角形的判定与性质得到，最后由勾股定理求出即可得到答案，熟练掌握等腰三角形性质、全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
【详解】解：过点作于，过点作于，如图所示：
，
，
是四根长度均为5的火柴棒，
、是等腰三角形，
，，
由等腰三角形三线合一可得，，且，
，
在和中，
，
，
在中，，，则由勾股定理可得，
，
，即点所对应的实数为，
故选：C．
6．D
【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质．由图可得，的边长为3，由，，可得，，；然后，分别算出、的面积，即可解答．
【详解】解：如图：
设正方形的边长为，
和都为等腰直角三角形，
，，，
∴，同理可得：，
，又，
，
，即；
的面积为；
，
，
，
，
为的中点，
的边长为3，
的面积为，
．
故选：D．
7．D
【分析】此题考查了旋转的性质以及勾股定理，注意掌握数形结合思想的应用，由在中，，，，可求得的长，然后由绕点逆时针旋转后，点A的对应点为D，可得是等腰直角三角形，继而求得的长．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∵将绕点逆时针旋转后，点A的对应点为D，
∴，
∴，
故选：D．
8．C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．过D作，，易证，，再根据四边形内角和即可得到答案．
【详解】解：连接，
∵，，
∴，
∵点P是等腰的腰上的一点，，D为的中点，
∴，
过D作，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
故选C
9．B
【分析】过点D作，交于点G，根据等边三角形的性质和平行线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据旋转的性质可得，求得，即可判断A选项；连接并延长到点K，使，连接，，证明可得，，根据等边三角形的性质可得，设，，则，再根据旋转的性质可得，，从而可得，可证得，，从而可得，由等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形的性质即可判断C；根据等腰三角形的判定可得，从而证，可得，，再根据三角形的内角和定理可得，再根据直角三角形的性质即可判断D；由全等三角形的性质可得，再由，，即可判断B．
【详解】解：过点D作，交于点G，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵点D是 中点，
∴，即，
∴，
由旋转的性质可得，，
∴，
∴，
∵，
∴，故A选项不符合题意；
连接并延长到点K，使，连接，，
∵点F是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
设，，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∴，故选项C不符合题意；
∵，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，故D选项不符合题意，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
故选：B．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、三角形内角和定理、平行线的判定与性质，正确添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
10．C
【分析】此题重点考查等边三角形的性质、轴对称的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短等知识．作于点，作射线，由等边三角形的性质可证明，再由，，证明，推导出，进而证明，得，可知点在经过点且与垂直的直线上运动，作交的延长线于点，可证明点与点关于直线对称，则，由，得，根据勾股定理计算得到问题的答案．
【详解】解：作于点，作射线，则，
和都是等边三角形，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
点在经过点且与垂直的直线上运动，
作交的延长线于点，则，
，
，
，
，
点与点关于直线对称，
，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为，
故选：C．
11．
【分析】本题考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定，先根据角平分线的作图法知道，结合公共边，即可作答．，
【详解】解：∵上图是用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图
∴
∵
∴
故答案为：
12．或10或16
【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质．分，， 三种情况讨论求解即可．
【详解】解：由，厘米，厘米，
由勾股定理，可得（厘米）．
设点D运动时间t秒．
①当时，，解得；
②当时，；
③当时，．
综上所述，点D运动秒或10秒或16秒时，为等腰三角形．
故答案为：或10或16．
13．/36度
【分析】根据作图可得，是的角平分线，则，根据平行线的性质可得，然后根据等量代换即可解答．
本题主要考查了作角平分线、平行线的性质等知识点，掌握角平分线的作法是解题的关键．
【详解】解：根据作图可得，是的角平分线，则，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
14．
【分析】此题考查角平分线的性质；过点作于，作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后根据三角形的面积列式计算即可得解
【详解】解：如图，过点作于，
作于，
、分别平分和，，
，
的面积．
故答案为：．
15．11
【分析】本题考查基本作图—作角平分线，全等三角形的判定和性质，根据作图得到为的角平分线，证明，推出的周长等于，进行求解即可．
【详解】解：由作图可知：为的角平分线，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的周长．
故答案为：11．
16．
【分析】本题考查轴对称的性质、勾股定理的应用的综合应用．
点B和点F关于直线对称，可得，，由，得出，即可证得，，在Rt和Rt，由勾股定理即可求得的值．
【详解】解：连接，
，
∵点B和点F关于直线对称，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在Rt和Rt，由勾股定理得：
∵，
∴，解得：，
故答案为：．
17．/
【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，含度角的直角三角形的性质；过作于，根据等边三角形的性质和判定和正方形的性质求出，，，，求出，求出和，即可求出答案．
【详解】解：过作于，

则，
是等边三角形，，
，，
，，
是等边三角形，且边长为，
，，
，
四边形是正方形，，
，，
，
，
的面积，
故答案为：．
18． 1
【分析】过点作为垂足，设通过勾股定理即可求得，然后分情况讨论当与 重合时，此时点三点重合，线段有最小值；当绕点B按逆时针方向旋转，得到时有最大值．
【详解】解：如图，过点作为垂足，
在中
设
在中，
解得，
，
当与 重合时，此时点三点重合，线段有最小值为：1；
当绕点B按逆时针方向旋转，得到时有最大值如图：
过点作，
，，
∴
，
∴
∴，
点E为线段中点，
，
在中，，
在中，
故答案为：1，．
【点睛】本题考查旋转变换，解直角三角形，最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考常考题型．
19．(1)见详解
(2)9米
【分析】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）由勾股定理的逆定理即可得出结论；
（2）设米，则米，米，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】（1）证明：∵米，米，米，
∴，
∴是直角三角形，；
（2）解：设米，则米，
∴米
在中，由勾股定理得：，
解得：
则
答：的长为9米．
20．(1)旋转中心是点A，旋转角的度数为
(2)
【分析】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键；
（1）根据旋转的性质可得答案；
（2）连接，证明，，再利用勾股定理解答即可．
【详解】（1）解：∵顺时针旋转一定角度后与重合，
∴旋转中心是点A，旋转角的度数；
（2）连接，
∵顺时针旋转一定角度后与重合，
∴，
∴，，
∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴．
21．(1)证明见解析
(2)6
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质：
（1）先由平角的定义得到，再利用即可证明；
（2）先由三角形内角和定理得到，再由含30度角的直角三角形的性质得到，则由全等三角形的性质可得．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理．掌握相关定理和性质，是解题的关键．
（1）证明，即可；
（2）根据全等三角形的性质和勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：
，
又，，
，
，
．
在和中，
，，，
，
．
（2），
，，
，
在中，（cm）
．
23．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据等边三角形的三条边都相等，三个角都相等可得，，，等量代换可求得，根据指两个三角形的两边和它们之间的夹角分别相等，则这两个三角形全等即可证明；
（2）根据等边三角形的三条边都相等，三个角都是可得，，，根据全等三角形的对应角相等可得，结合直角三角形中两锐角互余可求得，，根据直角三角形中，角所对的边是斜边的一半可得的值，根据直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方即可求解．
【详解】（1）证明：∵和是等边三角形，
∴，，，
∵，，
∴，
即，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵和是等边三角形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
则，
∴，
∵，，，
∴，
故，
即．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．
24．(1)数量关系，位置关系，理由见解析
(2)，作图及证明见解析
【分析】（1）易得为等腰直角三角形，连接，证明，即可得出结论；
（2）连接，，证明，推出，在中，由勾股定理，得到，进行线段的转化，即可得出结论．
【详解】（1）解：数量关系，位置关系，理由如下：
∵，，
∴，
∵且，
∴，，
∴，
连接，
∵为的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
即：；
（2）依题意补全图形，如图．
数量关系：．
证明：连接，，如图．
∵中，，，
∴．
∵，
∴，．
又∵
∴．
∵点是的中点，
∴，，．
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴，．
∴．
∴．
在中，由勾股定理，得．
∵，，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理．解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．
25．(1)见详解
(2)
(3)，证明见详解
【分析】（1）过点作交延长线与点，证明，，根据，得，可得，由题意知，可得平分；
（2）过点作，连接，证明，得，
，根据的面积为3，可得，根据，，整理可得，解得（舍去），从而可得，，；
（3）取中点，连接，连接，证明，得，，根据，可得，从而可得是等腰直角三角形，故，
设，则可得，，可得，即．
【详解】（1）解：过点作交延长线与点，如图：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
,，
平分；
（2）解：过点作，连接如图：
，，
，
,，
，
，
，
的面积为3，
,即，
，
，
整理可得：，
解得:（舍去），
，
，
；
（3）解：取中点，连接，连接，如图
，，
，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
为中点，
故，，
设，则，
可得，
，
可得，
．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，是四边形综合题，利用数形结合思想是解题关键．
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