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8.3 完全平方公式与平方差公式
第二课时：平方差公式
【学习目标】
1、推导公式（a+b）（a-b）=a2-b2 ，并能用该公式进行计算。
2、经历探索平方差公式的过程，培养观察、交流、归纳、猜想、验证等能力，领悟数形结合、从一般到特殊数学思想方法。
3、培养创新意识和合作精神，树立实事求是的科学态度。
【学习重点】平方差公式的应用
【学习难点】对公式的理解及灵活应用
学习过程：
一、自主学习
1、计算
（1）（x2m）2 = （2）（x+2）（x-3）=
（3）（2x+3）（2x-3）= （4）（a+b）（a-b）=
【答案】（1）x4m (2) x2-x-6
(3)4x2-9 (4)a2-b2
2、认真研读导学案，把你的疑惑，思考记录下来，并解决相关习题.
(
b
) (
a
) (
（甲）
a
b
)
(
（乙）
)
如图（甲）阴影部分为从边长为a的正方形中挖去边长为b的小正方形所形成的图形。
（1）如图甲，阴影部分的面积是 。（写成两数平方差的形式）。
（2）如图乙，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的长是 ，宽是 ，面积是 。（写成多项式乘法的形式）
（3）比较甲、乙两阴影部分的面积，得到（ ）（ ）= 。
这个公式称为平方差公式，用语言叙述 。
请举一个用平方差公式计算的例子： 。
探讨：在运用公式的过程中，怎样确定a、b ？
【答案】（1）a2-b2
a+b,a-b,(a+b)(a-b)
(3)a2-b2 =(a+b)(a-b)
两个数的平方差，等于这两个数的和与差的乘积。
92-52=(9+5)(9-5)=14·4=56
典型例题
例2 利用乘法公式计算: .
(1) 1 999 x2001;
(2) (x +3)(x -3)(x2 +9).
解(1) 1999 x2 001
= (2000 - 1) x(2000 + 1)
= 20002 - 12
= 3999999.
(2)(x +3)(x -3)(x2 +9)
= (x2 -9)(x2 +9)
= x4-81.
例3 计算:
(1) (a +b +c)2;
(2) (a -b)3.
解(1) (a +b +c)2
= [(a +b) +c]2
= (a +b)2 +2(a +b)c +c2
= a2+2ab +b2 +2ac +2bc +c2
= a2 +b2+c2 +2ab +2ac + 2bc.
(2)(a - b)3
= (a-b)(a -b)2
= (a -b)(a2 -2ab +b2)
= a3 -2a2b +ab2 -a2b +2ab2 - b3
= a3 -3a2b +3ab2 -b3.
二、交流展示
1、“自主学习”中解决不了的问题。
2、有争议的问题或者提出的新问题。
三、反馈检测
1.下列能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平方差公式，根据平方差公式的结构特征逐一判断各个选项即可．
【详解】解：A、，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
B、，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
C、，能用平方差公式计算，故本选项符合题意；
D、，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
故选C．
2．下列各乘法中，不能用平方差公式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平方差公式，解题关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础型题型．
首先根据平方差公式的一般形式为：，对每个选项逐个判断即可．
【详解】A、，不可以用平方差公式，故本选项符合题意；
B、，可以用平方差公式，故本选项不符合题意；
C、，可以用平方差公式，故本选项不符合题意；
D、，可以用平方差公式，故本选项不符合题意．
故选：A.
3.当时，代数式的值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】略
4.如图，从边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形，然后用剩余的部分剪开后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式分别表示出左图、右图的涂色部分的面积即可，用代数式分别表示出左图、右图的涂色部分的面积是解此题的关键．
【详解】解：左图，涂色部分的面积为，拼成右图的长为，宽为，因此面积为，
因此有：，
故选：D．
5.已知，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键，平方差公式：．根据平方差公式，将，的值代入即可得到答案．
【详解】
解得
故答案为：．
6．如图，在边长为a的正方形中减去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分面积，验证了公式 ．
【答案】
【分析】本题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键，先根据左图和右图分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等即可解答．
【详解】解：由作图可得：阴影部分的面积为；
由右图可得：阴影部分的面积为：；
所以．
故答案为
7.计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了平方差公式的运算，
（1）根据平方差公式直接计算即可；
（2）根据平方差公式直接计算即可；
（3）根据平方差公式直接计算即可；
（4）根据平方差公式直接计算即可．
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
8．(1)如图1，已知正方形的边长为a，正方形 的边长为b，长方形和为阴影部分，则阴影部分的面积是 (写成平方差的形式)；
(2) 将图1中的长方形和剪下来，拼成图2所示的长方形，则长方形的面积是 (写成多项式相乘的形式)；
(3) 比较图1 与图2的阴影部分的面积，可得乘法公式 ；
(4) 利用所得公式计算：
【答案】（1），（2），（3），（4）4
【分析】此题考查了平方差公式的几何背景，
（1）根据图1确定出阴影部分面积即可；
（2）根据图2确定出长方形面积即可；
（3）根据两图形面积相等得到乘法公式；
（4）利用得出的平方差公式计算即可得到结果．
【详解】（1）∵正方形的面积是，正方形的面积是，
∴阴影部分的面积是．
故答案为：；
（2）由图2得：，，
∴长方形的面积是，
故答案为：；
（3）由（1）、（2）可得到，
故答案为：；
（4）原式
，
，
．
四、学后反思
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8.3 完全平方公式与平方差公式
第二课时：平方差公式
【学习目标】
1、推导公式（a+b）（a-b）=a2-b2 ，并能用该公式进行计算。
2、经历探索平方差公式的过程，培养观察、交流、归纳、猜想、验证等能力，领悟数形结合、从一般到特殊数学思想方法。
3、培养创新意识和合作精神，树立实事求是的科学态度。
【学习重点】平方差公式的应用
【学习难点】对公式的理解及灵活应用
学习过程：
一、自主学习
1、计算
（1）（x2m）2 = （2）（x+2）（x-3）=
（3）（2x+3）（2x-3）= （4）（a+b）（a-b）=
2、认真研读导学案，把你的疑惑，思考记录下来，并解决相关习题.
(
b
) (
a
) (
（甲）
a
b
)
(
（乙）
)
如图（甲）阴影部分为从边长为a的正方形中挖去边长为b的小正方形所形成的图形。
（1）如图甲，阴影部分的面积是 。（写成两数平方差的形式）。
（2）如图乙，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的长是 ，宽是 ，面积是 。（写成多项式乘法的形式）
（3）比较甲、乙两阴影部分的面积，得到（ ）（ ）= 。
这个公式称为平方差公式，用语言叙述 。
请举一个用平方差公式计算的例子： 。
探讨：在运用公式的过程中，怎样确定a、b ？
典型例题
例2 利用乘法公式计算: .
(1) 1 999 x2001;
(2) (x +3)(x -3)(x2 +9).
例3 计算:
(1) (a +b +c)2;
(2) (a -b)3.
二、交流展示
1、“自主学习”中解决不了的问题。
2、有争议的问题或者提出的新问题。
三、反馈检测
1.下列能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各乘法中，不能用平方差公式的是（ ）
A． B．
C． D．
3.当时，代数式的值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
4.如图，从边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形，然后用剩余的部分剪开后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
5.已知，，则的值为 ．
6．如图，在边长为a的正方形中减去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分面积，验证了公式 ．
7.计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
8．(1)如图1，已知正方形的边长为a，正方形 的边长为b，长方形和为阴影部分，则阴影部分的面积是 (写成平方差的形式)；
(2) 将图1中的长方形和剪下来，拼成图2所示的长方形，则长方形的面积是 (写成多项式相乘的形式)；
(3) 比较图1 与图2的阴影部分的面积，可得乘法公式 ；
(4) 利用所得公式计算：
四、学后反思
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