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8.4.1 因式分解(提取公因式法)
学习目标：
(1)了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系。
(2)能确定多项式各项的公因式，会用提取公因式法将多项式分解因式。
一．自主学习：
1. 复习旧知
(1)下列各式中，运算结果为的是( )
A. B.
C. D.
(2)计算：
① ②
【答案】（1）D
am+bm+cm
am2+2amn+an2+bm2+2bmn+bn2
2.预习新知
预习课本P73-P74,完成下列的问题。
①把一个多项式化为 的形式，叫做因式分解。
②课本73页的“观察”，交流因式分解与整式乘法有什么关系？如何区分它们？
③如果 ，那么就可以把 提出来，从而把多项式化成几个因式乘积的形式
(比如： )这种分解因式的方法叫做
其中 叫做各项的公因式。
④阅读课本P74例1和例2，总结如何确定多项式的公因式？
【答案】几个因式乘积
两者是互逆的,因式分解是将一个多项式写成几个多项式的积,整式乘法是将几个多项式的积的形式写成一个多项式。因式分解与整式乘法是相反的两个过程。
每个因式中都含有相同的因式，相同的因式
（a+b+c)m,因式分解，m
3.预习自测
(1)多项式的公因式是：
(2)把下面各式分解因式：
① ②
解：（1）12abc(3a-4b+2c)
① =8mn(3m+1)
②=(x-y)[6(x-y)+3x]=(x-y)(9x-6y)
二、合作探究
探究1：因式分解的定义
例1 下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？哪些是整式乘法？
①
②
③
④
【答案】①③是因式分解；②④是整式乘法
探究2：确定公因式
例2：分别指出下列各式的公因式：
①
②
③
【答案】①2m ②3x2 ③2(x-2y)
探究3：用提取公因式法进行因式分解
例1 把下列各式分解因式:
(1) 4m2 - 8mn;
(2) 3ax2 -6axry +3a. .
解：(1)4m2 - 8mn
=4m.m-4m·2n
= 4m(m -2n).
(2)3ax2 -6axy +3a
= 3a·x2-3a·2xy +3a. 1
=3a(x2 -2xy + 1).
例2 把下列各式分解因式:
(1) 2x(b +c) -3y(b +c); (2) 3n(x -2) +(2 -x).
解(1) 2x(b +c) -3y(b +c)
= (b +c)(2x - 3y).
(2)3n(x -2) + (2 -x)
=3n(x-2)-(x-2)
= (x -2)(3n -1).
跟踪练习：
分解因式
．
【答案】
【分析】此题主要考查了完全平方公式、单项式乘多项式和分解因式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
直接提取公因式2m（m﹣n），进而分解因式即可．
【详解】解：（1）；
；
（2）
．
三、巩固提高
1.归纳梳理
通过本节课的学习你有哪些收获？
2.基础巩固
(1)下列从左到右变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种式子的变形叫做这个多项式的因式分解，熟练掌握此定义是解此题的关键．根据因式分解的定义逐项判断即可得到答案．
【详解】解： A、右边，左边不等于右边，故从左到右的变形不是因式分解，所以本选项错误，不符合题意；
B、，右边是整式的积的形式，故从左到右的变形是因式分解，所以本选项正确，符合题意；
C、，右边不是整式的积的形式，故从左到右的变形不是因式分解，所以本选项错误，不符合题意；
D、，右边不是整式的积的形式，故从左到右的变形不是因式分解，所以本选项错误，不符合题意；
故选：B．
(2)下列变形中，从左到右不是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查因式分解的定义，掌握因式分解的方法是解题的关键．因式分解和整式的乘法是互为逆运算，要注意区分；
根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A、符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项不符合题意；
B、原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项不符合题意；
C、右边不是整式的积的形式，不是因式分解，故本选项符合题意；
D、原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项不符合题意．
故选：C
(3)下面从左到右的变形中，是因式分解且分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 根据因式分解的定义及方法逐项分析即可．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，从左到右的变形属于因式分解；
C、，故本选项不符合题意；
D、，是整式的乘法，故本选项不符合题意．
故选：B．
(4)若多项式可分解为，则a+b的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查因式分解以及多项式乘以多项式法则．根据多项式乘以多项式法则把展开，再求出a，b的值，进而求解．
【详解】解：∵可分解为，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故选：A．
(5)若多项式可以分解为，则的值是（ ）
A． B．4 C．10 D．
【答案】B
【解析】略
(6)因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查提取公因式法因式分解，利用提取公因式法因式分解即可．
【详解】解：
故答案为：．
(7)已知 ，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了提公因式法分解因式，代数式求值，先把所求代数式因式分解，然后把已知代入即可得到结论．
【详解】解：，，
，
故答案为：．
3.拓展延伸
(1)先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】本题考查了整式的化简求值，提取公因式法，掌握提取公因式法是解题的关键．
观察式子，先提取公因式，再化简，最后代入字母的值求解即可．
【详解】解：
，
，
．
(2)把下列多项式因式分解或利用乘法公式进行计算：
(1)因式分解
(2)利用乘法公式计算
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解，平方差公式，完全平方公式，熟练掌握方法是解题的关键．
(1)提取公因式法分解即可．
(2)根据计算即可．
【详解】（1）
．
（2）
．
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学习目标：
(1)了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系。
(2)能确定多项式各项的公因式，会用提取公因式法将多项式分解因式。
一．自主学习：
1. 复习旧知
(1)下列各式中，运算结果为的是( )
A. B.
C. D.
(2)计算：
① ②
2.预习新知
预习课本P73-P74,完成下列的问题。
①把一个多项式化为 的形式，叫做因式分解。
②课本73页的“观察”，交流因式分解与整式乘法有什么关系？如何区分它们？
③如果 ，那么就可以把 提出来，从而把多项式化成几个因式乘积的形式
(比如： )这种分解因式的方法叫做
其中 叫做各项的公因式。
④阅读课本P74例1和例2，总结如何确定多项式的公因式？
3.预习自测
(1)多项式的公因式是：
(2)把下面各式分解因式：
① ②
二、合作探究
探究1：因式分解的定义
例1 下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？哪些是整式乘法？
①
②
③
④
探究2：确定公因式
例2：分别指出下列各式的公因式：
①
②
③
探究3：用提取公因式法进行因式分解
例1 把下列各式分解因式:
(1) 4m2 - 8mn;
(2) 3ax2 -6axry +3a. .
例2 把下列各式分解因式:
(1) 2x(b +c) -3y(b +c); (2) 3n(x -2) +(2 -x).
跟踪练习：
分解因式
．
三、巩固提高
1.归纳梳理
通过本节课的学习你有哪些收获？
2.基础巩固
(1)下列从左到右变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
(2)下列变形中，从左到右不是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
(3)下面从左到右的变形中，是因式分解且分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
(4)若多项式可分解为，则a+b的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
(5)若多项式可以分解为，则的值是（ ）
A． B．4 C．10 D．
(6)因式分解： ．
(7)已知 ，，则 ．
3.拓展延伸
(1)先化简，再求值：，其中．
(2)把下列多项式因式分解或利用乘法公式进行计算：
(1)因式分解
(2)利用乘法公式计算
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