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8.4.3 因式分解-分组分解法
【学习目标】
1、会综合运用提公因式法与公式法进行分解因式。
2、初步掌握分组分解法进行因式分解。
3、经历综合利用多种方法进行因式分解的过程，发展学生综合运用知识的能力和逆向思维的习惯，总结因式分解的一般方法。
【学习重点】
1、综合运用提公因式法与公式法进行分解因式。
2、分组分解法进行因式分解。
【学习难点】
分组分解法
【学习过程】
(一)复习提问
1、我们学过了几种因式分解的方法？
2、(1)ax+ay= (2)x2-y2=
(3)ax+ay+x2-y2= (4) a2x-a2y-b2x+b2y=
(二)小组讨论
如何将多项式a2+2ab+b2-1和a2x-a2y-b2x+b2y分解因式？
1、a2+2ab+b2-1
=( )-
=( )2-
=( + )( - )
2、a2x-a2y-b2x+b2y
= a2( - ) - b2 ( - )
=( - ) ( - )
=( - ) ( + ) ( - )
(想一想：是否还有其他它的分组方法)
通过推导你得到什么结论？用自己的语言归纳一下？
(三)精典例题
例5 把下列各式分解因式:
(1)x2-y2 +ax +ay;
(2)a2 +2ab +b2 -c2.
分析:在(1)式中,把第一、二项作为一组,可以用平方差公式分解因式,其中一个因式是(x +y);把第三、四项作为另一组，在提取公因式a后，另一个因式也是(x +y);在(2)式中,把前三项作为一组,它是一个完全平方式(a+b)2;把第四项-c2作为另一组，那么(a +b)2-c2是平方差形式的多项式,可再次利用公式分解因式.
(四)当堂练习，检测效果
分解因式：
(1)；
(2)．
(五)小结
1、这节课我们学了些什么？你获得哪些收获？还有哪些疑问没有解决？
2、通过学习，我们掌握了哪几种因式分解的方法？
3、同学们发现我们分解因式的多项式一般都是几项的吗？有三项的吗？三项的如何分解呢？有兴趣的同学可以自学课本P76页的阅读与思考？
(六)课后检测
1.x5+ 1的分解因式结果中,含有的因式是( )
A.x2- 1 B.x- 1 C. x+1 D. x4 +x3+.x2+x+ 1
因式分解a3+a2b- ab2- b3的值为( )
A. (a-b)2(a+b) B. (a+b)2(a- b)
c . ab(a+b)2 D .ab(a-b)2
3.已知a, b为正整数,满足ab- 3b- 2a- 28=0,则a+ 2b的最大值为( )
A.28 B.43 C.76 D.78
4.把多项式x2-y2- 2x-4y- 3因式分解之后,正确的是( )
A. (x+y- 3)(x-y-3) B. (x+y-1)(x-y+3)
C. (x+y- 3)(x-y+ 1) D. (x+y+ 1)(x-y-3) .
5.因式分解: xy-x-4y+4= 。
6.因式分解:
(1)- 10xy2+ y3+ 25x2y ;
(2)a3+a2b-ab2 -b3.
(七)反思
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8.4.3 因式分解-分组分解法
【学习目标】
1、会综合运用提公因式法与公式法进行分解因式。
2、初步掌握分组分解法进行因式分解。
3、经历综合利用多种方法进行因式分解的过程，发展学生综合运用知识的能力和逆向思维的习惯，总结因式分解的一般方法。
【学习重点】
1、综合运用提公因式法与公式法进行分解因式。
2、分组分解法进行因式分解。
【学习难点】
分组分解法
【学习过程】
(一)复习提问
1、我们学过了几种因式分解的方法？
【答案】有提公因式法，公式法
2、(1)ax+ay= (2)x2-y2=
(3)ax+ay+x2-y2= (4) a2x-a2y-b2x+b2y=
【答案】(1)a(x+y)
(2)(x+y)(x-y)
a(x+y)+(x+y)(x-y)=(x+y)(3x-3y)
a2(x-y)-b2(x-y)=(a2-b2)(x-y)=(a+b)(a-b)(x-y)
(二)小组讨论
如何将多项式a2+2ab+b2-1和a2x-a2y-b2x+b2y分解因式？
1、a2+2ab+b2-1
=( )-
=( )2-
=( + )( - )
2、a2x-a2y-b2x+b2y
= a2( - ) - b2 ( - )
=( - ) ( - )
=( - ) ( + ) ( - )
(想一想：是否还有其他它的分组方法)
【答案】1. a2+2ab+b2,（a+b)2-12=(a+b+1)(a+b-1)
2.(x-y),(x-y);a2-b2,x-y; (a+b)(a-b)(x-y)
通过推导你得到什么结论？用自己的语言归纳一下？
【答案】因式分解有时需先分组，分组后利用提取公因式或运用公式进行分解。
(三)精典例题
例5 把下列各式分解因式:
(1)x2-y2 +ax +ay;
(2)a2 +2ab +b2 -c2.
分析:在(1)式中,把第一、二项作为一组,可以用平方差公式分解因式,其中一个因式是(x +y);把第三、四项作为另一组，在提取公因式a后，另一个因式也是(x +y);在(2)式中,把前三项作为一组,它是一个完全平方式(a+b)2;把第四项-c2作为另一组，那么(a +b)2-c2是平方差形式的多项式,可再次利用公式分解因式.
解(1) x2 -y2 +ax +ay
= (x2-y2) +(ax +ay)
= (x +y)(x -y) +a(x +y)
= (x +y)(x -y +a).
(2)a2 +2ab+b2 -c2
= (a2 +2ab + b2) -c2
= (a +b)2 -c2
= (a +b +c)(a +b-c).
(四)当堂练习，检测效果
分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了因式分解法则；熟悉因式分解的一般步骤，并正确运用其法则是解题的关键．
（1）本题先用提公因式法提出公因式，再运用十字相乘法进行因式分解；
（2）本题先进行分组，再运用平方差公式进行因式分解．
【详解】（1）解：
（2）
(五)小结
1、这节课我们学了些什么？你获得哪些收获？还有哪些疑问没有解决？
2、通过学习，我们掌握了哪几种因式分解的方法？
3、同学们发现我们分解因式的多项式一般都是几项的吗？有三项的吗？三项的如何分解呢？有兴趣的同学可以自学课本P76页的阅读与思考？
(六)课后检测
1.x5+ 1的分解因式结果中,含有的因式是( )
A.x2- 1 B.x- 1 C. x+1 D. x4 +x3+.x2+x+ 1
[答案] C .
[分析]本题考查因式分解，利用添项和分组分配法分解因式即可得解，掌握分组分配法是解题的关键.
[详解]解: ∵ x5+1=x5-x4+x3-x2+x+x4-x3+x2-x+ 1
=x(x4- x3+x2-x+1) +x4-x3+x2-x+ I
=(x+ 1)(x4-x3+x2-x+ I),
∴ x5 + 1的分解因式结果中，含有因式x+ 1,
故选: C.
因式分解a3+a2b- ab2- b3的值为( )
A. (a-b)2(a+b) B. (a+b)2(a- b)
c . ab(a+b)2 D .ab(a-b)2
[答案] B
[分析]利用分组分解法分解因式即可.
[详解]解:原式= (a3+a2b)- (ab2+b3)
=a2(a+b)-b2(a+b)
= (a2-b2)(a+b)
= (a-b)(a+b)(a+b)
=(a-b)(a+b)2;
故选B. .
[点睛]本题考查因式分解.解题的关键是掌握分组分解法分解因式.
3.已知a, b为正整数,满足ab- 3b- 2a- 28=0,则a+ 2b的最大值为( )
A.28 B.43 C.76 D.78
[答案] C .
[分析]将ab- 3b- 2a - 28 = 0利用分组分解法化为(a-3)(b-2)- 34,再根据a, b为正整数,分类讨论即可得到答案.
[详解]解: ∵ ab-3b- 2a- 28=0,
∴ ab- 3b- 2a+6- 34= 0
∴ b(a-3)-2(a-3)= 34
∴ (a-3)(b-2)= 34,
∵ a, b为正整数，要使a+ 2b最大，则6的值应比a大,
∴ 当a-3=1,b-2= 34时，a=4, b= 36,a+2b= 76;
当a- 3=2,b-2=17时，a=5,b= 19,a+ 2b=43,
∴ a+ 2b的最大值为76，
故选: C.
[点睛]此题考查了分组分解法的应用，解题的关键在于把等号左边的式子化为乘积的形式.
4.把多项式x2-y2- 2x-4y- 3因式分解之后,正确的是( )
A. (x+y- 3)(x-y-3) B. (x+y-1)(x-y+3)
C. (x+y- 3)(x-y+ 1) D. (x+y+ 1)(x-y-3) .
[答案] D
[分析]根据分组分解法及平方差公式，即可判定.
[详解]解: x2-y2-2x-4y-3
=(x2- 2x+1)-(y2+4y+4)
=(x-1)2- (y+2)-
=(x- 1+y+2)(x-1- y- 2)
=(x+y+ i)(x-y- 3)
故选: D.
[点睛]本题考查了分解因式的方法,熟练掌握和运用分解因式的方法是解决本题的关键.
5.因式分解: xy-x-4y+4= 。
[答案] (x-4)(y-1)
[分析]本题主要考查了多项式的因式分解、先分组,再提出公因式，即可求解.
[详解]解: xy-x-4v+4
= (xy-x)-(4y-4)
=x(v-1)-4(y- 1)
= (x-4)(y- 1)
故答案为: (x-4)(y- 1)
6.因式分解:
(1)- 10xy2+ y3+ 25x2y ;
(2)a3+a2b-ab2 -b3.
[答案] (1)y(5x-))2
(2)(a+ b)2(a- b)
[分析]本题考查的因式分解，熟知分组分解法与提取公因式法、公式法分解因式是解题的关键.
(1)先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可;
(2)利用分组分解法因式分解即可.
[详解] (1) 解: - 10xy2+ y3+ 25x2y
=y( - 10xy+ y2 + 25x2)
=y(5x- y)2;
(2) 解: a3+a2b-ab- b3
= (a3+ a2b)- (ab2+b2)
= a2(a+b)- b2(a+ b)
= (a+ b)(a2- b2)
= (a+ b)2-(a- b).
(七)反思
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