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第8章 整式乘法与因式分解 学案
【学习目标】
1.掌握幂的四种运算性质及零指数幂，负整数指数幂.
2.熟练运用整式乘法法则和乘法公式进行整式的运算.
3.灵活运用提公因式法和公式法对多项式进行因式分解.
【学法指导】
1.自主学习，建立本章知识结构体系.
2.合作探究，提高应用知识解决问题的能力.
【自主学习】
1.请整理出本章知识结构图.
2.本章的主要内容有哪些？学习的关键在哪些地方？
【答案】本章主要内容有幂的运算，单项式与单项式相乘（除），单项式与多项式相乘（除），多项式与多项式相乘（除），完全平方公式与平方差公式，因式分解等。
要掌握整体代入思想，数形结合思想和方程思想。
【合作学习，课内探究】
对点练习1
下列式子运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法，掌握相关运算法则是解题的关键．根据合并同类项法则判断选项A、D；根据同底数幂相乘法则判断选项B、C即可．
【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意；
B．，原计算错误，不符合题意；
C．，原计算正确，符合题意；
D．与不是同类项，不可以合并，原计算错误，不符合题意；
故选：C．
对点练习2
先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，利用平方差公式运算，先按运算顺序把整式化简，再把代入求值即可．
【详解】解：，
当时，原式．
对点练习3
因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分解因式，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解此题的关键．
（1）直接提取公因式，即可得出答案；
（2）将式子变形为，再利用平方差公式和提取公因式法进行分解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
易错题辨析
下列各多项式的因式分解中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法，因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．据此逐项判断即可．
【详解】解：A，，原式错误；
B，，原式正确；
C，，原式错误；
D，，原式错误；
故选B．
典例讲解
将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，，求的值．
解：因为，所以，即．
又因为，所以．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若，，则 ；
(2)若，，求的值；
(3)两个正方形如图摆放，面积和为34，，则图中阴影部分面积和为 ．
【答案】(1)12
(2)36
(3)5
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景．
（1）根据，代入计算即可；
（2）代入已知数据计算即可；
（3）设正方形的边长为m、的边长为n，根据完全平方公式推出联立求出m、n的值，代入面积公式计算即可．
【详解】（1）解：，
，即，
又，
，
，
故答案为：12；
（2）解：∵，，
；
（3）解：设正方形的边长为m、的边长为n，
，，
，即，
，
，
，
，
解得，
．
故答案为：5．
综合小测试
1.下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查整式乘法运算，涉及单项式乘以单项式、同底数幂的乘法运算、完全平方和公式、单项式乘以多项式、平方差公式等知识，根据相关运算法则及公式逐项验证是解决问题的关键．
【详解】解：A、，计算错误，不符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意；
故选：D．
2.计算的结果等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了幂的乘方逆用与积的乘方的逆用．先利用乘方的意义化简符号，再逆用同底数幂乘法将转化成，再逆用积的乘方公式即可．
【详解】解：
，
故选：D．
3.根据流程图中的程序，若输入x的值为1，则输出y的值为（ ）
A． B．8 C．7 D．
【答案】C
【分析】本题考查了流程图的计算，理解运算流程是解题关键．把代入程序中计算，判断结果与0的大小，由此可确定y的值．
【详解】解：当时，
，
当时，
，
即．
故选：C．
4.如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成如图所示的长方形．通过计算剪拼前后阴影部分的面积，验证了一个等式，这则个等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了平方差公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确表示两个图形中阴影部分的面积．
根据题意分别表示出两个图形中阴影部分的面积即可．
【详解】解：∵图1中阴影部分的面积表示为：，
图2中阴影部分的面积表示为：，
∴，
故选：A．
若是一个完全平方式，那么m的值为（ ）
A．7 B．14 C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了完全平方式．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值．
【详解】解：∵，
∴，
解得．
故选：D．
6.下列因式分解结果正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，将各式因式分解后进行判断即可．
【详解】，则A不符合题意；
，则B不符合题意；
无法因式分解，则C不符合题意；
，则D符合题意；
故选：D．
7.已知：，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂相乘的逆运算．熟练掌握幂的乘方的逆运算，同底数幂相乘的逆运算是解题的关键．
由题意知，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
故答案为：．
8.已知，，．则的值为 ．
【答案】56
【分析】本题主要考查了整式与平方差公式，熟练平方差公式是解决本题的关键．将与相加，即可得到，再乘以，利用平方差公式即可解决本题．
【详解】解：，
．
故答案为：56．
9.分解因式： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法．利用提公因式法即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
10.计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查实数的运算，同底数的幂的运算和积的乘方，掌握运算法则是解题的关键．
（1）先去绝对值，然后合并解题即可；
（2）利用积的乘方的逆运算进行解题即可；
（3）利用平方根的定义解方程即可；
（4）利用同底数的幂的运算进行解题即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
，；
（4）解：
．
11.计算：
【答案】
【分析】本题考查整式运算合并同类项，平方差运算．根据题意先去括号，再合并同类项即可得到本题答案．
【详解】解：，
，
，
，
12.解答：
（1）因式分解：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查整式的混合运算，涉及因式分解，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
（1）提取公因式进行分解因式即可；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式以及多项式乘以单项式的计算法则去括号，然合并同类项即可．
【详解】解：（1）原式；
（2）原式
．
能力拓展
【阅读材料】
因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则原式．再将“”还原，原式．上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．
【问题解决】
(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】本题考查换元法、提公因式法、公式法分解因式，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
（1）用换元法设，将原式化为，再利用完全平方公式得出，再将A还原即可；
（2）设，则原式，再将B还原，最后再利用完全平方公式即可；
（3）先计算，再利用完全平方公式即可．
【详解】（1）解：令，
，
将“A”还原，可以得到：原式；
（2）解：令，
则
，
将“B”还原，可以得到：
原式；
（3）解：
，
∵n为正整数，
∴正整数．
∴，
∴代数式的值一定是某个整数的平方．
学习反思
通过这节课的学习，你有哪些收获？你还什么疑惑？
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第8章 整式乘法与因式分解 学案
【学习目标】
1.掌握幂的四种运算性质及零指数幂，负整数指数幂.
2.熟练运用整式乘法法则和乘法公式进行整式的运算.
3.灵活运用提公因式法和公式法对多项式进行因式分解.
【学法指导】
1.自主学习，建立本章知识结构体系.
2.合作探究，提高应用知识解决问题的能力.
【自主学习】
1.请整理出本章知识结构图.
2.本章的主要内容有哪些？学习的关键在哪些地方？
【合作学习，课内探究】
对点练习1
下列式子运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
对点练习2
先化简，再求值：，其中．
对点练习3
因式分解：
(1)；
(2)．
易错题辨析
下列各多项式的因式分解中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
典例讲解
将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，，求的值．
解：因为，所以，即．
又因为，所以．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若，，则 ；
(2)若，，求的值；
(3)两个正方形如图摆放，面积和为34，，则图中阴影部分面积和为 ．
综合小测试
1.下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2.计算的结果等于（ ）
A．1 B． C． D．
3.根据流程图中的程序，若输入x的值为1，则输出y的值为（ ）
A． B．8 C．7 D．
4.如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成如图所示的长方形．通过计算剪拼前后阴影部分的面积，验证了一个等式，这则个等式是（ ）
A． B．
C． D．
若是一个完全平方式，那么m的值为（ ）
A．7 B．14 C． D．
6.下列因式分解结果正确的是( )
A． B．
C． D．
7.已知：，则 ．
8.已知，，．则的值为 ．
9.分解因式： ．
10.计算
(1)
(2)
(3)
(4)
11.计算：
12.解答：
（1）因式分解：；
（2）化简：．
能力拓展
【阅读材料】
因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则原式．再将“”还原，原式．上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．
【问题解决】
(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方．
学习反思
通过这节课的学习，你有哪些收获？你还什么疑惑？
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