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8.3完全平方公式与平方差公式
第一课时 完全平方公式
【学习目标】
1.通过探索完全平方公式的过程，培养自己观察、交流、归纳、验证等能力。
2.理解公式的推导过程，了解公式的几何背景，会用公式计算。
3.体会数形结合的数学思想和方法。
【学习重点】完全平方公式的理解和应用。
【学习难点】公式的结构特征以及对公式中字母所表示广泛含义的理解和正确运用。
【学习过程】
一、知识回顾
1. 计算下列各式，你能发现什么规律？
(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)= ；
(2)(m+2)2= ；
(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)= ；
(4)(m-2)2= .
规律：
【答案】(1)p2+2p+1
m2+4m+4
p2-2p+1
m2-4m+4
尝试归纳：
两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的2倍。
a2+2ab+b2 a2-2ab+b2
二、自主学习：
1.研读教材P68.
2.完全平方公式用语言叙述是：
两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的2倍。
3.探究活动(小组之间深入探究。尤其是图2)
(1)请你根据小学里学过的知识，用图1中的字母表示出图中白色部分和黑色部分面积的和。
+ + - +
(2)请你根据小学里学过的知识，用图中的字母表示出右图2中黑色部分的面积。
【答案】a2+2ab+b2 ； a2-2ab+b2
4.典型例题
例1 利用乘 法公式计算: .
(1)(2x +y)2;
(2) (3a -2b)2.
分析：运用公式计算,要先识别a,b在具体式子中分别表示什么.
解：(1)(2x +y)2;
a2+2ab+b2
=4x2+4xy+y2
(2) (3a -2b)2.
a2-2ab+b2
=9a2-12ab+4b2
三、交流展示：
1.组内交流“自主学习”中存在的问题。
2.在班内交流展示有争议的问题。
四、反馈提升 ：
1.若，，则的值是（ ）
A．5 B．21 C．29 D．85
【答案】C
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用．把，两边同时平方，利用完全平方公式展开后代入相关数值即可求得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
，
由得：，
∴．
故选：C．
2.已知，则代数式的值是（ ）
A．12 B．16 C．24 D．36
【答案】D
【分析】本题考查完全平方公式的应用．根据题意先将代数式整理成，再将题干已知代入代数式即可得到本题答案．
【详解】解：∵，
又∵，即，
∴，
故选：D．
3．若是完全平方式，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的倍，就构成了一个完全平方式．将原式化为，再根据完全平方公式解答．
【详解】解：原式可化为，
可见当或时，
原式可化为或，
故选：A．
4．若是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A．5 B．5或 C．10 D．10或
【答案】D
【分析】本题考查完全平方公式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，根据平方项确定出这两个数是求解的关键．先根据平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式：．利用乘积二倍项列式求解即可．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴这两个数是x和5，
∴，
∴，
故选：D．
5.如图，小明利用4张图①所示的长为a、宽为b的长方形卡片，拼成图②所示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查对完全平方公式几何意义的理解，关键是能从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，图②的面积可以整体表示为，也可将各部分求和表示为由此可得此题结果．
【详解】解：用整体和各部分求和两种方法表示出图②的面积各为：和，
可得，
故选：B．
6．若是完全平方式，则c等于（ ）
A．64 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，
故选：A．
7.已知关于的多项式是一个完全平方式，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有和两个．根据完全平方式得出，再求出b即可．
【详解】解：∵关于x的多项式是一个完全平方式，
∴，
解得：，
故答案为：．
8.先化简再求值：，其中．
【答案】，
【分析】题主要考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算是解题的关键．
【详解】解：
，
当时，原式．
9.现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
(1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式；（用a、b的代数式表示出来）
图1表示：____________________；
图2表示：____________________；
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(2)若，，求和的值；
(3)如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积是______．
【答案】(1)，
(2)8，4
(3)32
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式的应用，
图1中由两个长与宽分别为a和b的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为a和b的正方形的面积可得；图2中利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得；
根据已知，结合的结论求出的值，然后根据图2公式的变形即可计算出；
根据题意得和，利用图1的结论即可求得答案．
【详解】（1）解：图1中，，，，
根据面积相等，则有，
图2中，，，，
根据面积相等，则有，
故答案为：，．
（2）∵，
∴，
∵，，
∴，
．
（3）∵，，
∴，
∵以，为边向两边作正方形，且两正方形的面积和，
∴，
∴．
故答案为：32．
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8.3完全平方公式与平方差公式
第一课时 完全平方公式
【学习目标】
1.通过探索完全平方公式的过程，培养自己观察、交流、归纳、验证等能力。
2.理解公式的推导过程，了解公式的几何背景，会用公式计算。
3.体会数形结合的数学思想和方法。
【学习重点】完全平方公式的理解和应用。
【学习难点】公式的结构特征以及对公式中字母所表示广泛含义的理解和正确运用。
【学习过程】
一、知识回顾
1. 计算下列各式，你能发现什么规律？
(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)= ；
(2)(m+2)2= ；
(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)= ；
(4)(m-2)2= .
规律：
尝试归纳：
二、自主学习：
1.研读教材P68.
2.完全平方公式用语言叙述是：
3.探究活动(小组之间深入探究。尤其是图2)
(1)请你根据小学里学过的知识，用图1中的字母表示出图中白色部分和黑色部分面积的和。
+ + - +
(2)请你根据小学里学过的知识，用图中的字母表示出右图2中黑色部分的面积。
4.典型例题
例1 利用乘法公式计算: .
(1)(2x +y)2;
(2) (3a -2b)2.
分析：运用公式计算,要先识别a,b在具体式子中分别表示什么.
三、交流展示：
1.组内交流“自主学习”中存在的问题。
2.在班内交流展示有争议的问题。
四、反馈提升 ：
1.若，，则的值是（ ）
A．5 B．21 C．29 D．85
2.已知，则代数式的值是（ ）
A．12 B．16 C．24 D．36
3．若是完全平方式，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．若是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A．5 B．5或 C．10 D．10或
5.如图，小明利用4张图①所示的长为a、宽为b的长方形卡片，拼成图②所示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为（ ）
A． B．
C． D．
6．若是完全平方式，则c等于（ ）
A．64 B． C． D．
7.已知关于的多项式是一个完全平方式，则的值为 ．
8.先化简再求值：，其中．
9.现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
(1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式；（用a、b的代数式表示出来）
图1表示：____________________；
图2表示：____________________；
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(2)若，，求和的值；
(3)如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积是______．
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