8.6.1 直线与直线垂直分层练习（含解析）--人教A版（2019）高数必修二

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8.6.1 直线与直线垂直
　
基础强化
1.设a，b，c是直线，则(　　)
A．若a⊥b，c⊥b，则a∥c
B．若a⊥b，c⊥b，则a⊥c
C．若a∥b，则a与c，b与c所成的角相等
D．若a与b是异面直线，c与b也是异面直线，则a与c是异面直线
2．在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且异面的直线有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
3．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　)
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1与l4既不垂直也不平行
D．l1与l4的位置关系不确定
4．如图所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，若∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，则异面直线B1C1与AC所成角的大小为(　　)
A．45° B．60°
C．30° D．90°
5．在正方体ABCD A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　)
A． B．
C． D．
6.
(多选)如图，三棱柱ABC A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述错误的是(　　)
A．CC1与B1E是异面直线
B．C1C与AE共面
C．AE与B1C1是异面直线
D．AE与B1C1所成的角为60°
7．在长方体ABCD A1B1C1D1中，点E，F分别是A1D1和BC的中点，则在长方体所有的棱中和EF垂直且异面的是________．
8．如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥AB，底面ABCD是平行四边形，则PA与CD所成的角是________．
9.
如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D，E分别是VB，VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角．
10．如图，在正三棱柱ABC A′B′C′中，D为棱AC的中点，AB＝BB′＝2，求证：BD⊥AC′.
能力提升
11.设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线(　　)
A．有无数条 B．有两条
C．至多有两条 D．有一条
12．在正方体ABCD A1B1C1D1中，面对角线中与AD1成60°的有(　　)
A．4条 B．6条
C．8条 D．10条
13.
如图所示，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为(　　)
A．90° B．60°
C．45° D．0°
14.
(多选)如图所示，在四面体A BCD中，AB＝CD，且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，则EF与AB所成角的大小可以是(　　)
A．15° B．30°
C．60° D．75°
[答题区]
题号 1 2 3 4 5 6 11 12 13 14
答案
15.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.
以上结论中正确结论的序号为________．
16.
如图，在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角为90°，试求AA1的长．
8.6.1 直线与直线垂直
1．解析：对于A、B，若a⊥b，c⊥b，则a与c可平行，可垂直，所以A、B不正确；对于C，若a∥b，则a与c，b与c所成的角相等，所以C正确；对于D，若a与b是异面直线，c与b也是异面直线，则a与c可平行，可异面，可相交，所以D不正确．故选C.
答案：C
2．解析：和AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1.故选B.
答案：B
3．解析：构造如图所示的正方体ABCD A1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1∥l4，当取l4为BB1时，l1⊥l4，故排除A、B、C，故选D.
答案：D
4．解析：因为BC∥B1C1，所以∠ACB(或它的补角)为异面直线B1C1与AC所成角，因为∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，所以∠ACB＝45°，所以异面直线B1C1与AC所成角为45°.故选A.
答案：A
5．解析：
如图，连接BE，∵AB∥CD，∴异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角，即∠EAB.不妨设正方体的棱长为2，则CE＝1，BC＝2，由勾股定理得BE＝，AC＝2，AE＝3.∴AB2＋BE2＝AE2，∴AB⊥BE，∴tan ∠EAB＝＝.故选C.
答案：C
6．解析：由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E共面，A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，而E为BC的中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成角为90°，D错误．故选ABD.
答案：ABD
7．解析：长方体所有的棱中和EF垂直且异面的是AD，B1C1，共2条．
答案：AD，B1C1
8．解析：因为底面ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，所以PA与CD所成的角即为PA与AB所成的角，又PA⊥AB，所以PA与AB所成的角为90°，即PA与CD所成的角为90°.
答案：90°
9．解析：因为D，E分别是VB，VC的中点，所以BC∥DE，
因此∠ABC(或其补角)是异面直线DE与AB所成的角，
又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，
所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形，
于是∠ABC＝45°，
故异面直线DE与AB所成的角为45°.
10.
证明：设CC′的中点为E，
连接DE，BE，
∴BD＝，DE＝，BE＝，
∴BD2＋DE2＝BE2，∴BD⊥DE，
又DE∥AC′，∴BD⊥AC′.
11．解析：
如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角，除去两条与l共面的母线，其余都符合要求．故选A.
答案：A
12．解析：
如图所示在正方体ABCD A1B1C1D1中，△AD1B1是等边三角形，故B1D1，AB1与AD1所成的角是60°，同理△ACD1也是等边三角形，AC，CD1与AD1也成60°角，则在面对角线中，与AC，CD1，B1D1，AB1分别平行的对角线与AD1也成60°角．故选C.
答案：C
13．解析：
将三角形折成三棱锥如图所示，HG与IJ为一对异面直线．由题意可知，IJ∥AD，HG∥DF，所以∠ADF即为GH与IJ所成角，又∠ADF＝60°，因此，HG与IJ所成的角为60°.故选B.
答案：B
14．解析：
取AC的中点G，连接EG，FG，则EG∥AB，且EG＝AB，FG∥CD，且FG＝CD，由AB＝CD知EG＝FG.易知∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角．∵AB与CD所成的角为30°，∴∠EGF＝30°或150°.由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°.故EF与AB所成的角为15°或75°.故选AD.
答案：AD
15．解析：
把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．
答案：①③
16．解析：连接CD1，AC.由题意得四棱柱ABCD A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，
∴四边形A1BCD1是平行四边形，
∴A1B∥CD1，
∴∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角．
∵异面直线A1B和AD1所成的角为90°，
∴∠AD1C＝90°.
∵四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC，∴AD1＝D1C，
∴△ACD1是等腰直角三角形，∴AD1＝AC.
∵底面四边形ABCD是菱形，且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，
∴AC＝2×sin 60°×2＝6，AD1＝AC＝3，
∴AA1＝＝ ＝.
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