8.6.2 直线与平面垂直的判定分层练习（含解析）--人教A版（2019）高数必修二

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8.6.2直线与平面垂直的判定
基础强化
1.已知直线a⊥平面α，直线b 平面α，则下列结论一定成立的是(　　)
A．a与b相交 B．a与b异面
C．a⊥b D．a与b无公共点
2．下列说法中可以判断直线l⊥平面α的是(　　)
A．直线l与平面α内的一条直线垂直
B．直线l与平面α内的两条直线垂直
C．直线l与平面α内的两条相交直线垂直
D．直线l与平面α内的无数条直线垂直
3．在正方体ABCD A1B1C1D1的6个面中，与AA1垂直的平面有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
4．若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
5．(多选)下列命题中正确的有(　　)
A．过直线l外一点，有且只有一个平面与l垂直
B．如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另外两条直线确定的平面
C．垂直于角的两边的直线必垂直于该角所在的平面
D．过点A且垂直于直线a的所有直线都在过点A且垂直于a的平面内
6．(多选)若下列平面中的两条直线与直线a垂直，则可以保证直线a与平面垂直的是(　　)
A．四边形的两边 B．正六边形的两边
C．圆的两条直径 D．三角形的两边
7．过平面外一点P的斜线段是过这点的垂线段的，则斜线段与平面α所成的角是________.
8．如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是________.
9.
如图，在三棱锥V ABC中，VA＝VC，BA＝BC，K是AC的中点．求证：AC⊥平面VKB.
10．如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D为AC的中点，若AB＝BC＝BB1，∠ABC＝，求CC1与平面BC1D所成角的正弦值．
能力提升
11.如图，圆柱OO′中，AA′是侧面的母线，AB是底面的直径，C是底面圆上一点，则(　　)
A．BC⊥平面A′AC
B．BC⊥平面A′AB
C．AC⊥平面A′BC
D．AC⊥平面A′AB
12.
如图，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是(　　)
A．平行 B．不垂直
C．垂直 D．相交
13．在四面体P ABC中，若PA＝PB＝PC，则点P在平面ABC内的射影一定是△ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．垂心 D．重心
14．(多选)已知正方体ABCD A1B1C1D1，则(　　)
A．直线BC1与DA1所成的角为90°
B．直线BC1与CA1所成的角为90°
C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°
D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°
[答题区]
题号 1 2 3 4 5 6 11 12 13 14
答案
15.已知四棱锥P ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，则该四棱锥的4个侧面中直角三角形的个数是________．
16.
如图，在四棱锥V ABCD中，VA＝VD，BA＝BD.
(1)证明：AD⊥VB.
(2)在棱VC上是否存在一点P，使得VC⊥平面PAD？若存在，指出点P的位置；若不存在，说明理由．
8.6.2直线与平面垂直的判定
1．解析：因为直线a⊥平面α，直线b 平面α，根据线面垂直的定义，所以a⊥b，其他选项不一定成立．故选C.
答案：C
2．解析：根据线面垂直的判定定理：直线垂直平面内两条相交直线，强调两条、相交，A、B不正确，C正确；根据线面垂直定义：直线垂直平面内的任一条直线，此时强调任一条，不是无数条，因为这无数条直线可能是平行的，D不正确．故选C.
答案：C
3.
解析：在正方体中，侧棱都和底面垂直，故在正方体ABCD A1B1C1D1的6个面中，与AA1垂直的平面有平面ABCD和平面A1B1C1D1，共2个．故选B.
答案：B
4．解析：正四棱锥P ABCD，连接底面对角线AC，令正四棱锥边长为1，则AC＝，易知△PAC为等腰直角三角形．AC中点为O，由正四棱锥知，PO⊥底面ABCD，即∠PAC为所求，所以侧棱和底面所成的角为45°.故选B.
答案：B
5．解析：过直线l外一点，有且只有一个平面与l垂直，故A正确；如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另外两条直线确定的平面，故B正确；垂直于角的两边(角两边不共线)的直线必垂直于该角所在的平面，故C错误；过点A且垂直于直线a的所有直线都在过点A且垂直于a的平面内，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
6．解析：对于A，四边形中的两条边可能平行，如平行四边形的对边，此时不能保证线面垂直；对于B，若直线a垂直正六边形的两条平行的边，此时不能保证线面垂直；对于C，圆的两条直径交于圆心，故能保证线面垂直；对于D，三角形的任意两边一定相交，故能保证线面垂直．故选CD.
答案：CD
7．解析：
如图，连接AB，由PB⊥α，知∠PAB是线段PA与平面α所成角，在Rt△PAB中，因为PA＝PB，所以sin ∠PAB＝＝，∠PAB∈(0，)，所以∠PAB＝，即线段PA与平面α所成角为.
答案：
8．解析：∵AB⊥α，l α，∴AB⊥l，又BC⊥β，l β，∴BC⊥l，又AB∩BC＝B，且AB，BC 平面ABC，∴直线l⊥平面ABC，又AC 平面ABC，故l⊥AC.
答案：l⊥AC
9．证明：∵VA＝VC，∴三角形VAC是等腰三角形，
∵K是AC中点，∴VK⊥AC，
又BA＝BC，∴BK⊥AC.
∵VK与BK交于点K，
∴AC⊥平面VKB.
10．解析：
如图，过点C作CH⊥C1D于点H，连接AC1.
∵三棱柱ABC A1B1C1为直三棱柱，
∴CC1⊥平面ABC.
∵BD 平面ABC，∴CC1⊥BD.
∵AB＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC.
又CC1∩AC＝C，∴BD⊥平面ACC1.
∵CH 平面ACC1，∴BD⊥CH.
又CH⊥C1D，C1D∩BD＝D，
∴CH⊥平面BC1D，
∴∠CC1D为CC1与平面BC1D所成的角．
设AB＝2a，则CD＝a，C1D＝a，
∴sin ∠CC1D＝＝＝.
11．解析：对于A：依题意AA′⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以AA′⊥BC，又AB是底面圆的直径，所以BC⊥AC，AA′∩AC＝A，AA′，AC 平面AA′C，所以BC⊥平面AA′C，故A正确；对于B：显然BC与AB不垂直，则BC不可能垂直平面A′AB，故B错误；对于C：显然AC与A′C不垂直，则AC不可能垂直平面A′BC，故C错误；对于D：显然AC与AB不垂直，则AC不可能垂直平面A′AB，故D错误．故选A.
答案：A
12．解析：
连接AC，因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又MC⊥菱形ABCD所在的平面，BD 平面ABCD，所以MC⊥BD，又MC∩AC＝C，MC，AC 平面MAC，所以BD⊥平面MAC，MA 平面MAC，所以MA⊥BD.故选C.
答案：C
13．解析：
如图，设点P在平面ABC内的射影为点O，连接OP，则PO⊥平面ABC，连接OA，OB，OC，∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，∵PA＝PB＝PC，PO为公共边，∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，∴OA＝OB＝OC，∴O为△ABC的外心．故选A.
答案：A
14．解析：
如图，连接B1C，由A1B1∥DC，A1B1＝DC，得四边形DA1B1C为平行四边形，可得DA1∥B1C，∵BC1⊥B1C，∴直线BC1与DA1所成的角为90°，故A正确；∵A1B1⊥BC1，BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴BC1⊥平面DA1B1C，而CA1 平面DA1B1C，∴BC1⊥CA1，即直线BC1与CA1所成的角为90°，故B正确；设A1C1∩B1D1＝O，连接BO，可得C1O⊥平面BB1D1D，即∠C1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成的角，∵sin ∠C1BO＝＝，∴直线BC1与平面BB1D1D所成的角为30°，故C错误；∵CC1⊥底面ABCD，∴∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角，为45°，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
15．解析：
由题意，在四棱锥P ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD，PA⊥AB，所以△PAD，△PAB为直角三角形；又由四边形ABCD是矩形，所以AB⊥BC，结合PA⊥BC，PA∩AB＝A，可得BC⊥平面PAB，又因为PB 平面PAB，所以BC⊥PB，所以△PBC为直角三角形，同理，△PCD也为直角三角形．所以该四棱锥的4个侧面中直角三角形的个数是4.
答案：4
16．解析：
(1)证明：取AD中点E，连接EV，EB.因为VA＝VD，所以AD⊥VE.
因为BA＝BD，所以AD⊥EB.
又VE∩EB＝E，所以AD⊥平面VEB.
因为VB 平面VEB，所以AD⊥VB.
(2)假设在棱VC上存在一点P，使得VC⊥平面PAD.因为AD 平面PAD，所以AD⊥VC.
又AD⊥VB，VB∩VC＝V，所以AD⊥平面VBC.因为BC 平面VBC，所以AD⊥BC.
在平面ABCD中，因为AD⊥EB，AD⊥BC，所以EB∥BC，与EB∩BC＝B矛盾．
所以在棱VC上不存在点P，使得VC⊥平面PAD.
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