8.6.3 直线与平面垂直的性质分层练习（含解析）--人教A版（2019）高数必修二

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8.6.3 直线与平面垂直的性质
基础强化
1.已知直线l垂直于平面α，另一直线m也垂直于平面α，则直线l，m的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交
C．垂直 D．异面
2．直线l⊥平面α，直线m α，则l与m不可能(　　)
A．平行 B．相交
C．异面 D．垂直
3．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则(　　)
A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直
B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直
C．β内不一定存在直线与m平行，必存在直线与m垂直
D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直
4．如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥α，PC⊥AC，则△ABC的形状为(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
5．(多选)设m，n是两条不同的直线，α是平面，m，n不在α内，下列结论中正确的是(　　)
A．若m⊥α，n∥α，则m⊥n
B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．若m⊥n，n∥α，则m⊥α
6.
(多选)已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中正确的是(　　)
A．PB⊥BC
B．PD⊥CD
C．PD⊥BD
D．PA⊥BD
7．长方体ABCD A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，且MN⊥BC于点M，则MN与AA1的位置关系是________．
8．若AB＝2，线段AB所在直线和平面α成30°角，且A∈α，则点B到平面α的距离为________．
9.
在正三棱柱ABC A1B1C1中，如图所示，A1A＝AB＝a，G，E，F分别是A1C1，AB，BC的中点，求证：直线EF⊥直线GB.
10.
如图，PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，E，F分别为BC，CD上的点，且EF⊥AC.求证：＝.
能力提升
11.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，l α，l β，则(　　)
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于l
12.
如图，在△ABC中，点Р在△ABC所在平面外，点O是P在平面ABC上的射影，且点O在△ABC的内部．若PA，PB，PC两两垂直，那么点O是△ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．垂心 D．重心
13．如图平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G、H，为使PQ⊥GH，则需要增加一个条件是(　　)
A．EF⊥平面α B．EF⊥平面β
C．PQ⊥GE D．PQ⊥FH
14．(多选)如图，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH上或其内部运动，且使MN⊥AC.下列命题中正确的是(　　)
A．点M可以与点H重合
B．点M可以与点F重合
C．点M可以在线段FH上
D．点M可以与点E重合
[答题区]
题号 1 2 3 4 5 6 11 12 13 14
答案
15.如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，则点C到平面ABC1D1的距离是________.
16．如图，已知正方体ABCD A1B1C1D1.
(1)求证：A1C⊥B1D1.
(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C.
8.6.3 直线与平面垂直的性质
1．解析：根据线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的直线平行．故选A.
答案：A
2．解析：若l∥m，l α，m α，则l∥α，这与已知l⊥α矛盾，所以直线l与m不可能平行．故选A.
答案：A
3．解析：因为平面α与平面β相交，直线m⊥α，所以m垂直于两平面的交线，所以β内不一定存在直线与m平行，必存在直线与m垂直．故选C.
答案：C
4．解析：由PB⊥α，AC α，得PB⊥AC，又AC⊥PC，PC∩PB＝P，所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC，所以△ABC为直角三角形．故选B.
答案：B
5．解析：A选项，由于n∥α，所以存在直线l α且n∥l，由于m⊥α，l α，所以m⊥l，所以m⊥n，所以A选项正确；B选项，垂直于同一个平面的两条直线平行，所以B选项正确；C选项，若m⊥α，m⊥n，则存在l α，l∥n，由于n α，所以n∥α，所以C选项正确；D选项，若m⊥n，n∥α，则m可能与α平行，所以D选项错误．故选ABC.
答案：ABC
6．解析：∵PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，∴PA⊥BD，故D正确；若PD⊥BD，则BD⊥平面PAD，又BA⊥平面PAD，则过平面外一点有两条直线与平面垂直，故PD⊥BD不正确，故C不正确；∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又AD⊥CD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴PD⊥CD，故B正确；∵PA⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，∴PA⊥AD，又AB⊥AD，PA∩AB＝A，∴AD⊥平面PAB，∵PB 平面PAB，∴AD⊥PB，又AD∥BC，∴PB⊥BC，故A正确．故选ABD.
答案：ABD
7.
解析：如图．易知AB⊥平面BCC1B1.又∵MN 平面BCC1B1，∴AB⊥MN.又∵MN⊥BC，AB∩BC＝B，∴MN⊥平面ABCD.易知AA1⊥平面ABCD，故AA1∥MN.
答案：平行
8．解析：如图所示，BO⊥α，因为线段AB所在直线和平面α成30°角，所以∠BAO＝30°，所以点B到平面的距离为BO＝AB·sin ∠BAO＝1.
答案：1
9．证明：
连接B1G.在三角形A1B1C1中，G是A1C1的中点，所以B1G⊥A1C1.
因为B1B⊥平面A1B1C1，A1C1 平面A1B1C1，
所以B1B⊥A1C1，
因为B1G∩B1B＝B1，B1G，B1B 平面B1BG，
所以A1C1⊥平面B1BG，
因为BG 平面B1BG，
所以A1C1⊥BG，
又因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF∥AC，所以EF∥A1C1，
所以直线EF⊥直线GB.
10．证明：∵PA⊥平面ABD，BD 平面ABD，∴PA⊥BD，
∵PC⊥平面BCD，BD 平面BCD，EF 平面BCD，
∴PC⊥BD，PC⊥EF，
又PA∩PC＝P，PA，PC 平面PAC，∴BD⊥平面PAC，
又EF⊥AC，PC∩AC＝C，AC，PC 平面PAC，
∴EF⊥平面PAC，∴EF∥BD，
∴＝.
11．解析：若α∥β，则由m⊥平面α，n⊥平面β，可得m∥n，这与m，n是异面直线矛盾，故α与β相交．设α∩β＝直线a，过空间内一点P，作m′∥m，n′∥n，则m′与n′相交，m′与n′确定的平面为γ.因为l⊥m，l⊥n，所以l⊥m′，l⊥n′，所以l⊥γ.因为m⊥平面α，n⊥平面β，所以m′⊥平面α，n′⊥平面β，所以a⊥m′，a⊥n′，所以a⊥γ.又因为l α，l β，所以l与a不重合，所以l∥a.综上知，故选D.
答案：D
12．解析：连接OA、OB、OC，∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB、PC 平面PBC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面PBC，∵BC 平面PBC，∴PA⊥BC.由题意，PO⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PO⊥BC，又PA，PO 平面PAO，PA∩PO＝P，∴BC⊥平面PAO.∵AO 平面PAO，∴BC⊥AO，同理可证BO⊥AC，CO⊥AB，∴点O是△ABC的垂心．故选C.
答案：C
13．解析：由平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G、H，知：
在A中，EF⊥平面α，EF∥EG∥FH，与题意不符，故A错误；在B中，EF⊥平面β，则EF⊥PQ，EG⊥PQ，且EF∩EG＝E，∴PQ⊥平面EFHG，∵GH 平面EFHG，∴PQ⊥GH，故B正确；在C中，由平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，能得到PQ⊥GE，故C错误；在D中，由平面α∩平面β＝PQ，FH⊥平面α，能得到PQ⊥FH，故D错误．故选B.
答案：B
14．解析：
由题意知正四棱柱底面是正方形，由正方形的性质可知，当M为H时MN⊥AC，所以点M可以与点H重合，A正确；
当M为F时，因为MH⊥底面ABCD，AC 底面ABCD，所以MH⊥AC，又HN⊥AC，MH∩HN＝H，MH，HN 平面MNH，所以AC⊥平面MNH，又MN 平面MNH，所以MN⊥AC，故点M可以与点F重合，B正确；
由B选项可知AC⊥平面FNH，M在线段FH上时，MN 平面FNH，所以MN⊥AC，故点M可以在线段FH上，C正确；
因为NE∥BC1，且BC1与AC不垂直，所以点M不能与点E重合，故D错误．
故选ABC.
答案：ABC
15．解析：
连接CB1交BC1于点F，根据正方体的特点可知AB⊥平面BCC1B1，CB1 平面BCC1B1，所以AB⊥CB1，又CB1⊥BC1，且AB 平面ABC1D1，BC1 平面ABC1D1，且AB∩BC1＝B，所以CF⊥平面ABC1D1.因为正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，所以CF＝.
答案：
16．证明：(1)如图，
∵CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1 平面A1B1C1D1，
∴CC1⊥B1D1.
∵四边形A1B1C1D1是正方形，
∴A1C1⊥B1D1，
又∵CC1∩A1C1＝C1，∴B1D1⊥平面A1C1C，
又∵A1C 平面A1C1C，∴A1C⊥B1D1.
(2)连接B1A，AD1，
∵B1C1∥AD，B1C1＝AD，
∴四边形ADC1B1为平行四边形，
∴C1D∥AB1，
∵MN⊥C1D，∴MN⊥AB1，
又∵MN⊥B1D1，且AB1∩B1D1＝B1，
∴MN⊥平面AB1D1，由(1)知A1C⊥B1D1，
同理可得A1C⊥AB1，且AB1∩B1D1＝B1，
∴A1C⊥平面AB1D1，则MN∥A1C.
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