8.6.4 平面与平面垂直的判定分层练习（含解析）--人教A版（2019）高数必修二

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8.6.4 平面与平面垂直的判定
基础强化
1.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是(　　)
A．m⊥n，m∥α，n∥β
B．m⊥n，α∩β＝m，n α
C．m∥n，n⊥β，m α
D．m∥n，m⊥α，n⊥β
2．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1的6个面中，与底面ABCD垂直的面有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3．过两点与一个已知平面垂直的平面(　　)
A．有且只有一个
B．有无数个
C．有且只有一个或无数个
D．可能不存在
4.
如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA＝1，则侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
5．(多选)下列结论中，所有正确结论的序号是(　　)
A．两个相交平面形成的图形叫做二面角
B．异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补
C．二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角
D．二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系
6.
(多选)如图所示，在三棱锥V ABC中，∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°，下列结论正确的是(　　)
A．平面VAC⊥平面ABC
B．平面VAB⊥平面ABC
C．平面VAC⊥平面VBC
D．平面VAB⊥平面VBC
7．已知α，β是两个不同的平面，l是平面α与β之外的直线，给出下列三个论断：①l⊥α，②l∥β，③α⊥β.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：____．(用序号表示)
8．如图所示，三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B PA C的大小等于________．
9.
如图在正三棱柱ABC A′B′C′中，D为棱AC的中点，求证：平面BDC′⊥平面ACC′A′.
10．如图，已知正方体ABCD A1B1C1D1，求证：平面ACC1A1⊥平面BB1D1D.
能力提升
11.从空间一点P向二面角α l β分别作垂线PE，PF，E、F为垂足．若∠EPF＝60°，则该二面角的平面角的大小为(　　)
A．60° B．120°
C．60°或120° D．不确定
12．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍．沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B AD C的大小为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
13.
如图所示，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为菱形，M是PC上的一个动点，若要使得平面MBD⊥平面PCD，则应补充的一个条件可以是(　　)
A．MD⊥MB B．MD⊥PC
C．AB⊥AD D．M是棱PC的中点
14．(多选)在正四面体P ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中成立的是(　　)
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC
D．平面PAE⊥平面ABC
[答题区]
题号 1 2 3 4 5 6 11 12 13 14
答案
15.如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1 EF C等于45°，则BF＝________．
16.
如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC.
(1)证明：平面PBC⊥平面PAC.
(2)设AB＝PC＝2，AC＝1，求二面角B PA C的余弦值．
8.6.4 平面与平面垂直的判定
1．解析：因为m∥n，n⊥β，则m⊥β，又m α，故α⊥β，所以C正确．故选C.
答案：C
2．解析：因为正方体中，侧棱都和底面垂直，因此侧面都垂直于底面，故在正方体ABCD A1B1C1D1的6个面中，与底面ABCD垂直的面有4个，分别为4个侧面．故选D.
答案：D
3．解析：设两点为A，B，平面为α，若直线AB⊥α，则过A、B与α垂直的平面有无数个；若直线AB与α不垂直，即直线AB与α平行、相交或在平面α内，均存在唯一平面垂直于已知平面．故选C.
答案：C
4．解析：∵PA⊥底面ABCD，CD 平面ABCD，∴CD⊥PA，又底面ABCD是正方形，∴CD⊥AD，而PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，∴CD⊥平面PAD，得CD⊥PD，可知∠PDA为侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的平面角．在Rt△PAD中，由PA＝AD＝1，可得∠PDA＝45°，即侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是45°.故选B.
答案：B
5．解析：由二面角及二面角的平面角的定义知AC不正确，D正确；B中所成的角虽不是二面角的平面角，但由平面几何的知识易知B正确．故选BD.
答案：BD
6．解析：∵∠VAB＝∠VAC＝90°，∴VA⊥AB，VA⊥AC，又AB∩AC＝A，∴VA⊥平面ABC，∵VA 平面VAC，∴平面VAC⊥平面ABC，故A对；由VA⊥平面ABC得VA⊥BC，∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，又VA∩AB＝A，∴BC⊥平面VAB，又BC 平面ABC，∴平面VAB⊥平面ABC，故B对；又BC 平面VBC，∴平面VAB⊥平面VBC，故D对．故选ABD.
答案：ABD
7．解析：由l∥β可在平面β内作l′∥l，又l⊥α，∴l′⊥α，∵l′ β，∴α⊥β，故①② ③.
答案：①② ③
8．解析：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴∠BAC为二面角B PA C的平面角，又∠BAC＝90°，∴所求二面角的大小为90°.
答案：90°
9．证明：∵CC′⊥平面ABC，BD 平面ABC，
∴CC′⊥BD，
∵△ABC为正三角形，D为AC中点，
∴BD⊥AC，又AC，CC′ 平面ACC′A′，AC∩CC′＝C，
∴BD⊥平面ACC′A′，又BD 平面BDC′，
∴平面BDC′⊥平面ACC′A′.
10．证明：
如图，连接OO1，OO1∥AA1，
∴OO1⊥平面ABCD，
∴AO⊥OO1，BO⊥OO1，
∴∠AOB是二面角A OO1 B的平面角，
又∠AOB＝90°，
所以平面ACC1A1⊥平面BB1D1D.
11.
解析：依题意，点P不在平面α和平面β内，当点P在二面角α l β内时，如图①，
令直线l∩平面EPF＝O，连接EO，FO，因PE⊥α，PF⊥β，则l⊥PE，l⊥PF，因此，直线l⊥平面EPF，有l⊥OE，l⊥OF，则∠EOF是二面角α l β的平面角，四边形PEOF中，∠PEO＝∠PFO＝90°，∠EPF＝60°，则有∠EOF＝120°；当点P在二面角α l β外时，如图②，同理可得∠EOF是二面角α l β的平面角，
令PE∩OF＝D，在Rt△DEO与Rt△DFP中，∠ODE＝∠PDF，则∠EOF＝∠EPF＝60°.所以二面角α l β的平面角的大小为60°或120°.故选C.
答案：C
12．解析：由已知得BD＝2CD.翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B AD C的平面角，其大小为60°.故选C.
答案：C
13．解析：因为四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，又∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，即有PC⊥BD，故要使平面MBD⊥平面PCD，只需BM⊥PC或DM⊥PC.故选B.
答案：B
14．解析：
如图所示，∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF，∴A正确．由BC⊥PE，BC⊥AE，得BC⊥平面PAE，∴DF⊥平面PAE，∴B正确．∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)，∴D正确．故选ABD.
答案：ABD
15．解析：由题意知EF⊥BC.∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥EF，又BC∩CC1＝C，∴EF⊥平面CC1F，∴EF⊥C1F.故∠C1FC为二面角C1 EF C的平面角，即∠C1FC＝45°，∵AA1＝1，∴CF＝1，又BC＝2，∴BF＝1.
答案：1
16．解析：
(1)证明：∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，
又∵PC⊥平面ABC，∴PC⊥BC，
∵PC∩AC＝C，PC 平面PAC，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC.
又∵BC 平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC.
(2)∵BC⊥平面PAC，PA 平面PAC，∴PA⊥BC，
过C作CM⊥PA于M，连接BM，
∵BC∩CM＝C，BC，CM 平面BCM，∴PA⊥平面BCM，
则BM⊥PA，∴∠BMC即为二面角B PA C的平面角，CM＝，BC＝，BM＝，
∴cos ∠BMC＝＝.
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