8.6.5 平面与平面垂直的性质分层练习（含解析）--人教A版（2019）高数必修二

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8.6.5 平面与平面垂直的性质
基础强化　
1.设α，β为两个平面，“α内存在一条直线垂直于β”是“α⊥β”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则(　　)
A．α∥γ
B．α⊥γ
C．α与γ相交但不垂直
D．以上都有可能
3．设α，β是两个平面，m，l是两条直线，已知α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则要使l⊥β，可以添加条件(　　)
A．l⊥α B．l α
C．l与m异面 D．l α
4.
如图所示，三棱锥P ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则(　　)
A．PD 平面ABC
B．PD⊥平面ABC
C．PD与平面ABC相交但不垂直
D．PD∥平面ABC
5．(多选)已知l⊥平面α，直线m 平面β，则下列命题正确的有(　　)
A．α∥β l⊥m B．α⊥β l∥m
C．l∥m α⊥β D．l⊥m α∥β
6．(多选)已知两个平面垂直，下列命题错误的有(　　)
A．一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线
B．一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面的无数条直线
C．一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面
D．过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面
7．如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．
8．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________．
9.
如图所示，四棱锥V ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.求证：平面VBC⊥平面VAC.
10.
如图，在四棱锥P ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，CD∥AB，PA＝PD＝AD＝DC＝2，AB＝4，∠DAB＝60°.证明：BD⊥PA.
能力提升
11.已知a，b是两条不重合直线，α，β是两个不重合平面，则下列说法正确的是(　　)
A．若a∥b，b∥α，则a∥α
B．若α⊥β，a∥α，则a⊥β
C．若α⊥β，a α，a⊥β，则a∥α
D．若b⊥α，a∥b，β⊥α，则a∥β
12．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB∶A′B′＝(　　)
A．2∶1 B．3∶1
C．3∶2 D．4∶3
13.
如图所示，三棱锥P ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是(　　)
A．一条线段
B．一条直线
C．一个圆
D．一个圆，但要去掉两个点
14.
(多选)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A BCD，则在三棱锥A BCD中，下列命题错误的是(　　)
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
[答题区]
题号 1 2 3 4 5 6 11 12 13 14
答案
15.如图所示，平面α⊥平面β，在α与β交线上取线段AB＝4，AC，BD分别在平面α和β内，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝3，BD＝12，则CD＝________．
16．边长为4的菱形ABCD中，满足∠DCB＝60°，点E，F分别是边CD和CB的中点，AC交BD于点H，AC交EF于点O，沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABD，连接PA，PB，PD，得到如图所示的五棱锥P ABFED.求证：BD⊥PA.
8.6.5 平面与平面垂直的性质
1．解析：α内存在一条直线垂直于β，根据面面垂直的判定定理可得α⊥β，若α⊥β，根据面面垂直的性质定理，则在α内存在一条垂直于两个平面的交线的直线，垂直于另一个平面β，所以“α内存在一条直线垂直于β”是“α⊥β”的充分必要条件．故选C.
答案：C
2．解析：在正方体中，相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直，故选D.
答案：D
3．解析：由α⊥β，α∩β＝m，要使l⊥β，利用面面垂直的性质可知在一个平面内的一条直线垂直于两个平面的交线，则该直线垂直于另一个平面，α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，l α，则l⊥β.故选D.
答案：D
4．解析：∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.又∵平面ABC⊥平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，PD 平面PAB，∴PD⊥平面ABC.故选B.
答案：B
5．解析：∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β.∵m β，∴l⊥m，故A正确；∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α.又∵m β，∴α⊥β，故C正确．故选AC.
答案：AC
6．解析：一个平面内只有垂直交线的直线和另一平面垂直，才和另一个平面内的任意一条直线垂直，所以A，C错误；过一个平面内任意一点作交线的垂线，该垂线在平面内时，则此垂线必垂直于另一个平面，若点在交线上时，作交线的垂线，则垂线不一定在平面内，此垂线不一定垂直于另一个平面，所以D错误；因为另一个平面内有无数条平行直线垂直于该平面，都与该直线垂直，所以B正确．故选ACD.
答案：ACD
7．解析：∵CA＝CB，O为AB的中点，∴CO⊥AB.又平面ABC⊥平面ABD，交线为AB，∴CO⊥平面ABD.∵OD 平面ABD，∴CO⊥OD，∴△COD为直角三角形．∴题图中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD，共6个．
答案：6
8．解析：
过A作AO⊥BD于O点．∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠ADO＝45°.
答案：45°
9．证明：∵平面VAB⊥底面ABCD，且BC⊥AB，
∴BC⊥平面VAB，∴BC⊥VA，
又VB⊥平面VAD，∴VB⊥VA，又VB∩BC＝B，
∴VA⊥平面VBC，∵VA 平面VAC.
∴平面VBC⊥平面VAC.
10．证明：在四边形ABCD中，因为CD∥AB，AD＝2，AB＝4，∠DAB＝60°，
由余弦定理得，BD2＝AD2＋AB2－2·AD·AB·cos 60°＝22＋42－2×2×4×，
解得BD2＝12，
所以AD2＋BD2＝AB2，即BD⊥AD，
因为平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，BD 底面ABCD，
所以BD⊥平面PAD，又因为PA 平面PAD，
所以BD⊥PA.
11．解析：若a∥b，b∥α，则a∥α或a α，故A错误；若α⊥β，a∥α，则a∥β或a β或a与β相交，故B错误；若α⊥β，a⊥β，则a∥α或a α，又a α，故a∥α，故C正确；若b⊥α，a∥b，则a⊥α，又β⊥α，则a∥β或a β，故D错误．故选C.
答案：C
12．解析：由已知条件可知∠BAB′＝，∠ABA′＝，设AB＝2a，则BB′＝2a sin ＝a，A′B＝2a cos ＝a，∴在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a，∴AB∶A′B′＝2∶1.故选A.
答案：A
13．解析：∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC 平面PAC，∴AC⊥平面PBC.又∵BC 平面PBC，∴AC⊥BC.∴∠ACB＝90°.∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．故选D.
答案：D
14．解析：
如图，在平面图形中CD⊥BD，折起后仍然满足CD⊥BD.由于平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB.又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，所以平面ADC⊥平面ABC.故选ABC.
答案：ABC
15．解析：
连接BC.∵BD⊥AB，α⊥β，α∩β＝AB，∴BD⊥α.∵BC α，∴BD⊥BC，∴△CBD是直角三角形．在Rt△BAC中，BC＝＝5.在Rt△CBD中，CD＝＝13.
答案：13
16．解析：由题意可得EF⊥PO，AO⊥BD，
又平面PEF⊥平面ABD，平面PEF∩平面ABD＝EF，PO 平面PEF，
∴PO⊥平面ABD.
又BD 平面ABD，则PO⊥BD.
又AO⊥BD，AO∩PO＝O，AO 平面PAO，PO 平面PAO，
∴BD⊥平面PAO.
又PA 平面PAO，∴BD⊥PA.
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