9.2.4 总体离散程度的估计分层练习（含解析）--人教A版（2019）高数必修二

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9.2.4　总体离散程度的估计
基础强化
1.下列说法正确的是(　　)
A．在两组数据中，平均数较大的一组方差较大
B．平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均数波动的幅度大小
C．方差的求法是求出各个数据与平均数的差的平方后再求和
D．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高
2．数据5，7，7，8，10，11的标准差是(　　)
A．8 B．4
C．2 D．1
3．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：
班级 人数 平均分数 方差
甲 20 甲 2
乙 30 乙 3
其中甲＝乙，则两个班数学成绩的方差为(　　)
A．3 B．2 C．2.6 D．2.5
4．某校为调查高一年级的某次考试的数学成绩情况，随机调查高一年级甲班10名学生，成绩的平均数为90，方差为3，乙班15名学生，成绩的平均数为85，方差为5，则这25名学生成绩的平均数和方差分别为(　　)
A．87，10.2 B．85，10.2 C．87，10 D．85，10
5．(多选)甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场的进球数是3.2，全年进球数的标准差为3；乙队平均每场的进球数是1.8，全年进球数的标准差为0.3.下列说法中正确的是(　　)
A．乙队的技术比甲队好
B．乙队发挥比甲队稳定
C．乙队几乎每场都进球
D．甲队的表现时好时坏
6．(多选)如图是甲、乙两人在射击测试中6次命中环数的折线图，下列说法正确的是(　　)
A．若甲、乙射击成绩的平均数分别为1，2，则1>2
B．若甲、乙射击成绩的方差分别为s，s，则sC.乙射击成绩的中位数小于甲射击成绩的中位数
D．乙比甲的射击成绩稳定
7．已知五个数2，2，3，3，a的平均数是3，这五个数的方差是________．
8．甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：
甲 乙 丙 丁
平均环数 8.3 8.8 8.8 8.7
方差s2 3.5 3.6 2.2 5.4
若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是________．(填“甲”“乙”“丙”或“丁”)
9．从甲、乙两人中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测试，两人在相同条件下各射击10次，命中的环数如下：
甲：7　8　6　8　6　5　9　10　7　4
乙：9　5　7　8　7　6　8　6　7　7
(1)分别计算甲、乙两人射击命中环数的平均数．
(2)选派谁去参赛更好？请说明理由．
10．某培训机构在假期招收了A，B两个数学补习班，A班10人，B班30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A班的平均成绩为130分，方差为115，B班的平均成绩为110分，方差为215.求在这次测试中全体学生的平均成绩和方差．
能力提升
11.样本数为9的四组数据，它们的平均数都是5，条形图如图所示，则标准差最大的一组是(　　)
A．第一组 B．第二组
C．第三组 D．第四组
12．某同学掷骰子5次，并记录了每次骰子出现的点数，得出平均数为2，方差为2.4的统计结果，则下列点数中一定不出现的是(　　)
A．1　　　B．2 C．5　　　D．6
13．已知数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则2x1＋3，2x2＋3，…，2xn＋3的方差为(　　)
A．s2 B．2s2 C．4s2 D．4s2＋12s＋9
14．(多选)已知一组样本数据x1，x2，x3，…，xn，将这组样本数据中的每一个数加2，得到一组新样本数据y1，y2，y3，…，yn，则(　　)
A．两组样本数据的中位数相同
B．两组样本数据的极差相同
C．两组样本数据的标准差相同
D．两组样本数据的平均数相同
[答题区]
题号 1 2 3 4 5 6 11 12 13 14
答案
15.已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数＝6，方差s2＝21，去掉一个数据之后，剩余数据的平均数没有变，方差变为24，则这组数据的个数n＝________．
16．某学校高一100名学生参加数学考试，成绩均在40分到100分之间．学生成绩的频率分布直方图如下图：
(1)估计这100名学生成绩的中位数与平均数．(精确到0.1)
(2)某老师抽取了10名学生的成绩：x1，x2，x3，…，x10.已知这10个成绩的平均数＝90，标准差s＝6，若剔除其中的100和80两个成绩，求剩余8个成绩的平均数与标准差．
参考数据：2102＝44 100，1922＝36 864，1102＝12 100
9.2.4　总体离散程度的估计
1．解析：A.在两组数据中，平均数与方差所表示的意义不同，由此不能根据平均数的大小来衡量其方差的大小，所以A的说法错误；C.求和后还需再平均，故C的说法错误；D.方差大的表示射击水平不稳定，故D的说法错误；只有B正确．故选B.
答案：B
2．解析：因为这组数据的平均数＝＝8，所以这组数据的方差为
＝4，标准差是2.故选C.
答案：C
3．解析：由题意可知两个班的数学成绩平均数为＝甲＝乙，则两个班数学成绩的方差为s2＝×(20×2＋30×3)＝2.6.故选C.
答案：C
4．解析：由题意可知这25名学生成绩的平均数为＝87，这25名学生成绩的方差为＝10.2.故选A.
答案：A
5．解析：因为甲队平均每场进球数为3.2，乙队平均每场进球数为1.8，甲队平均数大于乙队较多，所以甲队技术比乙队好，所以A不正确；因为甲队全年比赛进球数的标准差为3，乙队全年进球数的标准差为0.3，乙队的标准差小于甲队，所以乙队发挥比甲队稳定，所以B正确；因为乙队的标准差为0.3，说明每次进球数均值，乙队几乎每场都进球，甲队标准差为3，说明甲队表现时好时坏，所以C，D正确．故选BCD.
答案：BCD
6．解析：由题图可知甲的射击成绩为9，10，6，7，9，8，乙的射击成绩为6，7，5，5，7，7.对于A，1＝×(9＋10＋6＋7＋9＋8)＝，2＝×(6＋7＋5＋5＋7＋7)＝，所以1>2，所以A正确；对于B，从甲、乙射击成绩看，甲的成绩比较分散，而乙的成绩比较集中，所以甲的方差较大，即s>s，所以B错误；对于C，甲的射击成绩排列后为6，7，8，9，9，10，则中位数为8.5，乙的射击成绩排列后为5，5，6，7，7，7，则中位数为6.5，所以乙射击成绩的中位数小于甲射击成绩的中位数，所以C正确；对于D，因为乙的成绩比较集中，所以乙比甲的射击成绩稳定，所以D正确．故选ACD.
答案：ACD
7．解析：依题意＝3，解得a＝5，所以方差为×[(2－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(3－3)2＋(5－3)2]＝.
答案：
8．解析：首先乙、丙的平均数最高，乙、丙两人中，丙的方差较小，所以最佳人选是丙．
答案：丙
9．解析：(1)由题设，甲的平均数为
1＝＝7，
乙的平均数为2＝＝7.
由(1)知1＝2，而s>s，
所以选派乙去参赛更好．
10．解析：依题意A＝130，s＝115，
B＝110，s＝215，
∴＝×130＋×110＝115，
∴全体学生的平均成绩为115分．
全体学生成绩的方差为
s2＝wA[s＋(A－)2]＋wB[s＋(B－)2]
＝×(115＋225)＋×(215＋25)
＝85＋180＝265.
11．解析：第一组中，样本数据都为5，数据没有波动幅度，标准差为0；第二组中，样本数据为4，4，4，5，5，5，6，6，6，标准差为；第三组中，样本数据为3，3，4，4，5，6，6，7，7，标准差为；第四组中，样本数据为2，2，2，2，5，8，8，8，8，标准差为2.故标准差最大的一组是第四组．故选D.
答案：D
12．解析：因为＝3.2，根据方差的计算公式知，方差大于2.4，因此不能出现点数6，因为＝1.8<2.4，＝0<2.4，＝0.2<2.4，则其余的点数1，2，5都有可能．故选D.
答案：D
13．解析：因为数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则2x1＋3，2x2＋3，…，2xn＋3的方差为22s2＝4s2.故选C.
答案：C
14．解析：对于A，设原样本数据的中位数为M，则新样本数据的中位数为M＋2，故A错误；对于B，不妨设原样本数据最大为xn，最小为x1，则原样本数据中，样本数据的极差为xn－x1，新样本数据中，样本数据的极差为(xn＋2)－(x1＋2)＝xn－x1，故B正确；对于D，原样本数据的样本平均数为＝(x1＋x2＋…＋xn)，新样本数据的样本平均数为＝(x1＋2＋x2＋2＋…＋xn＋2)＝＋2，故D错误；对于C，原样本数据的标准差为
s＝ ，
新样本数据的标准差为
s′＝＝s，故C正确．故选BC.
答案：BC
15．解析：因为去掉一个数据之后，数据的平均数没有变，所以去掉的数据为6，
去掉6后方差变为24，故得到24(n－1)＝21n，解得n＝8.
答案：8
16．解析：(1)因为0.05＋0.15＋0.25＝0.45<0.5，
0．05＋0.15＋0.25＋0.35＝0.8>0.5，
所以中位数为x满足70由()×0.35＋0.1＋0.1＝0.5，
解得x＝80－≈71.4.
设平均分为y，
则y＝0.05×45＋0.15×55＋0.25×65＋0.35×75＋0.1×85＋0.1×95＝71.0.
(2)由题意，剩余8个成绩的平均数为0＝＝90，
因为10个成绩的标准差
所以x＋…＋x＝10×62＋10×902＝81 360，
所以剩余8个成绩的标准差为
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