10.1.3 古典概型分层练习（含解析）--人教A版（2019）高数必修二

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10.1.3 古典概型
基础强化　
1.下列试验是古典概型的是(　　)
A．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点
B．某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环
C．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲
D．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
2．某校对高一年级800名学生进行食堂满意度调查，得到如下调查结果：
男同学 女同学
满意 400 350
不满意 20 30
从这800名学生中随机抽取一人，则这个人是男同学且对食堂满意的概率为(　　)
A． B． C． D．
3．集合A＝{1，2}，B＝{3，4，5}，从A，B中各取一个数，则这两数之和等于5的概率是(　　)
A． B． C． D．
4．目前，全国所有省份已经开始了新高考改革．改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成．已知某班甲、乙同学都选了物理和地理科目，且甲同学的另一科目会从化学、生物、政治这3科中选1科，乙同学的另一科目会从化学、生物这2科中选1科，则甲、乙所选科目相同的概率是(　　)
A． B．
C． D．
5．(多选)已知袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概率不为的是(　　)
A．颜色相同 B．颜色不全相同
C．颜色全不相同 D．无红球
6．(多选)投掷一枚质地均匀的正方体骰子，四位同学各自发表了以下见解，其中正确的有 (　　)
A．出现“点数为奇数”的概率等于出现“点数为偶数”的概率
B．只要连掷6次，一定会“出现1点”
C．投掷前默念几次“出现6点”，投掷结果“出现6点”的可能性就会加大
D．连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19
7．从一副52张牌的扑克中抽取一张，抽到“K”的概率是________．
8．某同学从篮球、足球、羽毛球、乒乓球四个球类项目中任选两项报名参加比赛，则篮球被选中的概率为________．
9．某校有5名同学准备去某敬老院参加献爱心活动，其中来自甲班的3名同学用A，B，C表示，来自乙班的2名同学用D，E表示，现从这5名同学中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
(1)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
(2)设M为事件“抽取的2名同学来自同一班”，求事件M发生的概率．
10．甲有大小相同的两张卡片，标有数字2、4；乙有大小相同的四张卡片，分别标有1、2、3、4.
(1)求乙随机抽取自己的两张卡片的数字之和为偶数的概率；
(2)甲、乙分别取出自己的一张卡片，比较数字，数字小者获胜，求乙获胜的概率．
能力提升
11.由于夏季某小区用电量过大，据统计一般一天停电的概率为0.2，现在用数据0，9表示当天停电，用1、2、3、4、5、6、7、8表示当天不停电，现以两个随机数为一组，表示连续两天供电情况，使用随机模拟方法得到以下30组数据：
38　21　79　14　56　74　06　89　53　90
14　57　62　30　93　78　63　44　71　28
67　03　53　82　47　63　10　94　29　43
则连续两天中恰好有一天停电的概率为(　　)
A．0.260 B．0.300
C．0.320 D．0.333
12．箱子中放有一双红色和一双黑色的袜子，现从箱子中同时取出两只袜子，则取出的两只袜子正好可以配成一双的概率为(　　)
A． B．
C． D．
13．“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是一个大于2的偶数都可以写成两个质数(也称为素数，是一个大于1的自然数，除了1和它自身之外，不能被其他自然数整除的数叫做质数)之和，也就是我们所谓的“1＋1”问题．它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等曾在哥德巴赫猜想的证明中做出过相当好的成绩．若将6拆成两个正整数的和，则加数全部为质数的概率是(　　)
A． B．
C． D．
14．(多选)在某次数学考试中，对多项选择题的要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．”已知某道多项选择题的正确答案是ABC，且某同学不会做该题，下列结论正确的是(　　)
A．该同学仅随机选一个选项，能得分的概率是
B．该同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是
C．该同学仅随机选三个选项，能得分的概率是
D．该同学随机选择选项，能得分的概率是
[答题区]
题号 1 2 3 4 5 6 11 12 13 14
答案
15.一次掷两枚均匀的骰子，得到的点数为m和n，则关于x的方程x2＋(m＋n)x＋4＝0无实数根的概率是________．
16．某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
10.1.3 古典概型
1．解析：对于A，横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限样本空间特征，故该选项错误；对于B，命中0环，1环，2环，…，10环的概率不相同，不满足等可能性特征，故该选项错误；对于C，人数有限，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的，故该选项正确；对于D，“发芽”与“不发芽”的概率不一定相等，不满足等可能性特征，故该选项错误．故选C.
答案：C
2．解析：从这800名学生中随机抽取一人，这个人是男同学且对食堂满意的概率为＝.故选C.
答案：C
3．解析：从A，B中各取一个数，则这两数之和可能为1＋3＝4，1＋4＝5，1＋5＝6，2＋3＝5，2＋4＝6，2＋5＝7，共有6个可能的结果，其中两数之和等于5的有2个，则从A，B中各取一个数，这两数之和等于5的概率是＝.故选B.
答案：B
4．解析：甲、乙同学所选的科目情况有(化学，化学)，(化学，生物)，(生物，化学)，(生物，生物)，(政治，化学)，(政治，生物)，共6种，其中甲、乙同学所选的科目相同的情况有(化学，化学)，(生物，生物)，共2种，故所求概率P＝＝.故选B.
答案：B
5．解析：根据题意，有放回地取3次，共有3×3×3＝27(种)情况，即(黄，黄，黄)，(黄，白，黄)，(黄，黄，白)，(黄，红，黄)……由古典概型计算：A选项，颜色相同的情况有3种，故概率为＝，不为；B选项，颜色不全相同与颜色相同是对立事件，故其概率为；C选项，颜色全不相同，即黄，红，白各有一次，共有6种情况，故概率为＝，不为；D选项，无红球，即三次都是黄或白球，共有8种情况，故其概率为，不为.故选ACD.
答案：ACD
6．解析：掷一枚骰子，出现奇数点和出现偶数点的概率都是，故A正确；“出现1点”是随机事件，故B错误；概率是客观存在的，不因为人的意念而改变，故C错误；连续掷3次，若每次都出现最大点数6，则三次之和为18，故D正确．故选AD.
答案：AD
7．解析：一副52张牌的扑克中，共有4张K，因此，从一副52张牌的扑克中抽取一张，抽到“K”的概率为P＝＝.
答案：
8．解析：记篮球、足球、羽毛球、乒乓球分别为a、b、c、d，则从中任选两项有(a，b)、(a，c)、(a，d)、(b，c)、(b，d)、(c，d)6种情况，满足选中篮球的有(a，b)、(a，c)、(a，d)3种情况，所以篮球被选中的概率为P＝＝.
答案：
9．解析：(1)从这5名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种．
(2)抽取的2名同学来自同一班的所有可能结果为(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，共4种，
∴P(M)＝＝.
10．解析：(1)乙随机抽取自己的两张卡片，基本事件为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，
其中和为偶数的事件为(1，3)，(2，4)，
所以乙随机抽取的两张卡片的数字之和为偶数的概率为＝.
(2)甲、乙分别取出自己的一张卡片，基本事件为(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，
其中乙的数字小的事件为(2，1)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，
所以乙获胜的概率为＝.
11．解析：连续两天中恰好有一天停电的情况有79，06，89，30，93，03，10，94，29，共9种，所以连续两天中恰好有一天停电的概率为＝0.3，故选B.
答案：B
12．解析：两只红色袜子分别设为A1，A2，两只黑色袜子分别设为B1，B2，这个试验的样本空间可记为Ω＝{(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(B1，B2)}，共包含6个样本点，记A为“取出的两只袜子正好可以配成一双”，则A＝{(A1，A2)，(B1，B2)}，A包含的样本点个数为2，所以P(A)＝.故选B.
答案：B
13．解析：6拆成两个正整数的和的所有情况有1＋5，2＋4，3＋3这3种情况，其中两个加数全为质数的有3＋3这1种情况，所以所求概率为.故选A.
答案：A
14．解析：随机选一个选项，共有4个基本事件，分别为A，B，C，D；随机选两个选项，共有6个基本事件，分别为AB，AC，AD，BC，BD，CD；随机选三个选项，共有4个基本事件，分别为ABC，ABD，ACD，BCD；随机选四个选项，共有1个基本事件，即ABCD.仅随机选一个选项，能得分的概率是，故A错误；随机至少选择两个选项，能得分的概率是＝，故B正确；仅随机选三个选项，能得分的概率是，故C正确；随机选择选项，能得分的概率是＝，故D错误．故选BC.
答案：BC
15．解析：总的样本点个数为36.因为方程无实根，所以Δ＝(m＋n)2－16<0，即m＋n<4.符合的有(1，1)，(1，2)，(2，1)，共3个样本点，所以所求概率为＝.
答案：
16．解析：(1)用数对(x，y)表示小亮参加活动先后记录的数，则样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，即样本点的总数为16.
记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的样本点共5个，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)，
所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.
(2)记“xy≥8”为事件B，“3则事件B包含的样本点共6个，
即(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4).
所以P(B)＝＝.
事件C包含的样本点共5个，
即(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1).
所以P(C)＝.因为>，
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．
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