第六章单元测试卷（含解析）--人教A版（2019）高数必修二

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第六章　单元测试卷
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．已知＝(1，3)，且点A(－2，5)，则点B的坐标为(　　)
A．(1，8)　　　　 　 　B．(－1，8)　　　 　　　
C．(3，－2)　　　 　　　D．(－3，2)
2．化简＋＋＝(　　)
A．0 B．0 C． D．
3．若A(－2，3)，B(2，m)，C(6，5)为平面直角坐标系的三点，且A，B，C三点共线，则m＝(　　)
A．－4 B．4 C．－6 D．6
4．在△ABC中，A＝，BC＝6，AB＝2，则C＝(　　)
A． B． C． D．或
5．已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝2，则|a－b|的值为(　　)
A． B．4 C． D．2
6．已知|a|＝3，|b|＝5，设a，b的夹角为135°，则b在a上的投影向量是(　　)
A．－a B．a C．－a D．a
7．若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶12∶13，则△ABC是(　　)
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
8．点M在边长为4的正△ABC内(包括边界)，满足＝＋λ(λ∈R)，则·的取值范围是(　　)
A．[－4，4] B．[0，4] C．[0，6] D．[－6，6]
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)
9．下列关于平面向量的命题正确的是(　　)
A．若a∥b，b∥c，则a∥c
B．两个非零向量a，b垂直的充要条件是：a·b＝0
C．若向量＝，则A，B，C，D四点必在一条直线上
D．向量a(a≠0)与向量b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa
10．在平面直角坐标系中，已知点O(0，0)，A(1，2)，B(3，1)，则(　　)
A．||＝
B．△AOB是直角三角形
C．以OA，OB为邻边的平行四边形的顶点D的坐标为(4，4)
D．与垂直的单位向量的坐标为(，－)或(－，)
11．已知点O是△ABC的重心，则下列说法中正确的有(　　)
A．＋＋＝0 B．＝(＋)
C．＝(＋) D．＋＝(＋)
12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝2a cos B，b＝2，△ABC的面积为S，则(　　)
A．B＝ B．B＝ C．S的最大值为2 D．S的最大值为6
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．已知向量a＝(x＋1，2)，b＝(2x，3)，若a∥b，则x＝________．
14．在平行四边形ABCD中，E是线段BD的中点，若＝m＋n，则m－n＝________．
15．已知向量a，b满足|a|＝4，|b|＝1，|a＋2b|＝2，则向量a，b的夹角为________．
16．如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C，测得塔顶的仰角为θ，由C向塔前进30米后到点D，测得塔顶的仰角为2θ，再由D向塔前进10米后到点E，测得塔顶的仰角为4θ，则θ＝________，塔高为________米．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题10分)已知a＝(1，2)，b＝(1，－1).
(1)求a与b夹角的余弦值；
(2)若2a＋b与ka－b垂直，求k的值．
18．(本小题12 分)如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，点P是边BC上的动点．
(1)若点P是线段BC上靠近B的三等分点，试用向量，表示向量；
(2)求·(＋)的值．
19．(本小题12 分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin B＝2sin C，a2＝c2＋bc.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，求△ABC的周长l.
20．(本小题12 分)如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝120°.若CD＝2，AD＝8，________，求AB的长．
从①BD＝6，∠ADC＝75°.②cos ∠ADB＝，∠CBD＝45°.③S△ABD＝12，∠CBD＝45°这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
21．(本小题12 分)已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C．
(1)求角A的大小；
(2)设点D为BC上一点，AD是△ABC 的角平分线，且AD＝2，b＝3，求△ABC 的面积．
22．(本小题12 分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a－b(1－2sin2)＝c.
(1)求∠B；
(2)若b＝6，求△ABC周长的取值范围．
第六章　单元测试卷
1．解析：设点B的坐标为(x，y)，则＝(x，y)－(－2，5)＝(1，3)，所以(x，y)＝(1，3)＋(－2，5)＝(－1，8)，即点B的坐标为(－1，8).故选B.
答案：B
2．解析：＋＋＝＋＝0，故选B.
答案：B
3．解析：依题意，＝(4，m－3)，＝(8，2)，因为A，B，C三点共线，则∥，因此4×2＝8(m－3)，解得m＝4，所以m＝4.故选B.
答案：B
4．解析：由正弦定理得＝，所以＝，sin C＝＝，由于c答案：B
5．解析：因为平面向量a，b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝2，所以|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝12－2×1×2×cos ＋22＝3，所以|a－b|＝.故选A.
答案：A
6．解析：b在a上的投影向量是：·＝·＝|b|·cos 135°·＝5×(－)·＝－a.故选A.
答案：A
7．解析：由正弦定理可得a∶b∶c＝5∶12∶13，令a＝5t，b＝12t，c＝13t，则c为最长的边，故角C最大，由余弦定理可得cos C＝＝0，所以角C为直角．故△ABC是直角三角形．故选B.
答案：B
8.
解析：设D，E分别是AB，AC的中点，则DE∥BC，DE＝BC，由于M在三角形ABC内(包括边界)，且＝＋λ(λ∈R)，所以M点的轨迹是DE，所以0≤λ≤.·＝·(－)＝·(＋λ－)＝2＋(λ－1)·＝×42＋(λ－1)×4×4×cos ＝8λ∈.故选B.
答案：B
9．解析：对于A，当b＝0时，不一定成立，∴A错误．对于B，两个非零向量a，b，当向量a，b垂直可得a·b＝0，反之a·b＝0也一定有向量a，b垂直，∴B正确．对于C，若向量＝，与方向和大小都相同，但A，B，C，D四点不一定在一条直线上，∴C错误．对于D，由向量共线定理可得向量a(a≠0)与向量b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.∴D正确．故选BD.
答案：BD
10．解析：对于A，由题意得＝(2，－1)，所以||＝＝，故A正确；对于B，由题意得＝(1，2)，＝(3，1)，则||＝＝，||＝＝，所以结合A选项得||2＋||2＝||2，所以⊥，即△AOB为直角三角形，故B正确；对于C，结合B选项得＝＋＝(1，2)＋(3，1)＝(4，3)，则顶点D的坐标为(4，3)，故C错误；对于D，结合B选项得＝(1，2)，设与垂直的单位向量为m＝(x，y)，则解得或故与垂直的单位向量的坐标为(，－)或(－，)，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
11.
解析：记D为BC中点，则O为AD靠近点D的三等分点．因为＋＝2，＝－2，所以＋＋＝0，A正确；又＋＝2，＝，所以(＋)＝，B正确，C错误；又＋＝2，＋＝2＝6，所以＋＝(＋)，故D错误．故选AB.
答案：AB
12．解析：∵b cos C＋c cos B＝2a cos B，∴sin B cos C＋sin C cos B＝2sin A cos B，即sin (B＋C)＝sin A＝2sin A cos B，又sin A>0，则cos B＝，由B∈(0，π)可得，B＝，故A正确，B错误；由余弦定理，cos B＝＝，b＝2，则ac＝a2＋c2－8≥2ac－8，解得ac≤8，当且仅当a＝c＝2时取等号，S＝ac sin B＝ac≤2，故C正确，D错误．故选AC.
答案：AC
13．解析：因为a∥b，所以2×2x＝3(x＋1)，故x＝3.
答案：3
14．解析：∵四边形ABCD为平行四边形，E为BD中点，∴E为AC中点，
∴＝＋＝2－＝2－，∴m＝－1，n＝2，∴m－n＝－1－2＝－3.
答案：－3
15．解析：设a与b的夹角为θ，|a＋2b|＝2，则(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝16＋4×4×1×cos θ＋4＝12，解得cos θ＝－，θ∈[0，π]，故θ＝.
答案：
16．解析：由题意，得∠CPD＝∠EDP－∠DCP＝2θ－θ＝θ，∴PD＝CD＝30，又∠DPE＝∠AEP－∠EDP＝4θ－2θ＝2θ，∴PE＝DE＝10，在△PDE中，由余弦定理的推论得，cos 2θ＝＝＝，∴2θ＝，∴θ＝，4θ＝，∵sin 4θ＝，∴PA＝PE·sin 4θ＝10×＝15.
答案：　15
17．解析：(1)因为a＝(1，2)，b＝(1，－1)，故cos 〈a，b〉＝＝＝－.
(2)因为a＝(1，2)，b＝(1，－1)，故2a＋b＝(3，3)，ka－b＝(k－1，2k＋1)，
又向量2a＋b与ka－b垂直，则3(k－1)＋3(2k＋1)＝0，解得k＝0.
18．解析：(1)因为＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.
(2)取BC中点D，
则＋＝2，且AD⊥BC，
∴·(＋)＝2·＝2||2.
又因为AB＝AC＝3，BC＝4，
所以AD＝＝，
所以∴·(＋)＝2||2＝10.
19．解析：(1)因为sin B＝2sin C，a2＝c2＋bc，
由正弦定理，得b＝2c，a2＝c2＋bc＝3c2，
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A，
所以3c2＝4c2＋c2－4c2·cos A，所以3c2＝5c2－4c2·cos A，
∴cos A＝，又A∈(0，π)，
∴A＝.
(2)由(1)可得a＝c，b＝2c，故c＝＝，b＝，
∴l＝2＋＋＝2＋2.
20．解析：若选①，在△BCD中，
∵CD＝2，BD＝6，∠BCD＝120°，
∴由正弦定理可知＝，
解得sin ∠CBD＝，
又∵∠CBD∈(0，)，∴∠CBD＝45°，即∠CDB＝180°－120°－45°＝15°，
∴∠ADB＝∠ADC－∠CDB＝60°，
在△ABD中，∠ADB＝60°，AD＝8，BD＝6.
由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos ∠ADB，解得AB＝2.
若选②，在△BCD中，CD＝2，∠BCD＝120°，∠CBD＝45°，
由正弦定理得＝，解得BD＝6，
在△ABD中，cos ∠ADB＝，AD＝8，BD＝6，
由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos ∠ADB，即AB＝.
若选③，在△ABD中，∠BCD＝120°，∠CBD＝45°，CD＝2，
由正弦定理得＝，解得BD＝6，
在△ABD中，
由S△ABD＝AD·BD sin ∠ADB＝12，
解得sin ∠ADB＝，
则∠ADB＝60°或120°，
由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos ∠ADB，
当∠ADB＝60°时，解得AB＝2，当∠ADB＝120°时，解得AB＝2，
综上所述：AB＝2或2.
21．解析：(1)在△ABC中，由正弦定理及2a sin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C得：a2－b2－bc＝c2.
由余弦定理得cos A＝＝－，
又0(2)AD 是△ABC的角平分线，∠BAD＝∠DAC＝，
由S△ABC＝S△ABD＋S△CAD可得bc sin ＝c×AD×sin ＋b×AD×sin ，
因为b＝3，AD＝2，即有3c＝2c＋6，c＝6，
故S△ABC＝bc sin A＝×3×6×＝.
22．解析：(1)a－b(1－2sin2)＝c，由倍角公式得a－b cosC＝c，
由余弦定理，a－b·＝c，化简得a2＋c2－b2＝ac，
则cos B＝＝，由B∈(0，π)，得B＝.
(2)由正弦定理得：＝＝＝＝4，
∴a＝4sin A, c＝4sin C，A＋C＝π－B＝，
a＋c＝4(sin A＋sin C)＝4 ＝4(sin A＋cos A)＝12(sin A＋cos A)＝12sin (A＋),
由0从而周长的取值范围是(12，18].
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