第七章单元测试卷（含解析）--人教A版（2019）高数必修二

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第七章　单元测试卷
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．已知i是复数单位，求i2023＝(　　)
A．1　　　　B．－i　　　　C．－1　　　　D．i
2．在复平面内，复数z对应的点在第四象限，对应向量的模为3，且实部为，则复数z＝(　　)
A．3－i B．－3i C．＋2i D．－2i
3．若a为实数，且＝3＋i，则a＝(　　)
A．－4 B．－3 C．3 D．4
4．复数z＝在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．复数z＝在复平面内对应向量的坐标为(　　)
A．(2，1) B．(2，－1) C．(1，2) D．(1，－2)
6．已知复数z在复平面内对应的点为(1，2)，是z的共轭复数，则＝(　　)
A．－＋i B．－－i C．＋i D．－i
7．已知复数z＝，则|z2＋1|＝(　　)
A．2 B． C． D．
8．设复数z满足z＋||＝2＋i，那么z＝(　　)
A．－＋i B．＋i C．－－i D．－i
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)
9．下面关于复数z＝，正确的是(　　)
A．|z|2＝2 B．z2＝－2i
C．z的虚部为－i D．z的共轭复数为1＋i
10．已知i为虚数单位，复数z1＝a－2i，z2＝2＋ai，(a∈R)，下列结论正确的有(　　)
A．|z1|＝|z2| B．1＝z2
C．若2(z1＋z2)＝z1·z2，则a＝2 D．若z2＝－i，则a＝0
11．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论错误的是(　　)
A．z对应的点在第一象限 B．z一定不为纯虚数
C．对应的点在实轴的下方 D．z一定为实数
12．欧拉公式exi＝cos x＋isin x(其中i为虚数单位，x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数之间的关系，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，依据欧拉公式，下列选项正确的是(　　)
A．复数e2i对应的点位于第三象限
B．ei为纯虚数
C．复数的模等于
D．ei的共轭复数为－i
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．已知i为虚数单位，则复数i(2－3i)对应的点的坐标为________．
14．在复平面内，复数3＋4i与5＋6i所对应的向量分别为和，其中O为坐标原点，则对应的复数为________．
15．已知复数z＝m＋(2m－1)i的模是且其虚部大于0，则实数m＝________．
16．在代数发展史上，解一元多项式方程一直是人们研究的一个中心问题．数学有如下代数基本定理：任何一元n(n∈N*)次复系数方程f(x)＝0至少有一个复数根．进而可得到：一元n项式方程有n个复数根(重根按重数计).早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程.16世纪上半叶，数学家得到了一元三次方程、一元四次方程的解法，实系数一元二次方程a2x2＋a1x＋a0＝0在复数集C内的根x1，x2满足x1＋x2＝－，x1x2＝，实系数一元三次方程a3x3＋a2x2＋a1x＋a0＝0在复数集C内的根x1，x2，x3满足x1＋x2＋x3＝－，x1x2＋x1x3＋x2x3＝，x1x2x3＝－，则方程x3－x＋6＝0的实数根为________，虚数根为________．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题10分)计算下列各式的值：
(1)已知a∈R，i是虚数单位，若z＝＋ai，||＝2，求a的值；
(2)设6＋x＋(3－2x)i＝3＋(y＋5)i(i是虚数单位)，其中x，y是实数，求|x＋yi|.
18．(本小题12分)已知复数z＝(m2－7m＋10)＋(m2－5m＋6)i，i为虚数单位，m∈R.
(1)若z为纯虚数，求m的值；
(2)若在复平面上表示复数z的点位于直线2x－y－14＝0上，求m的值．
19．(本小题12分)已知z1＝1＋2i，z2＝3－4i，i是虚数单位．
(1)求z1·2；
(2)设复数z1、z2、z3在复平面内所对应的点分别为Z1、Z2、Z3，O为坐标原点，若O、Z1、Z2、Z3所构成的四边形为平行四边形，求复数z3.
20．(本小题12分)设复数z1＝1－ai(a∈R)，z2＝3－4i.
(1)若z1＋z2是实数，求z1·z2；
(2)若是纯虚数，求z1的共轭复数．
21．(本小题12分)设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，已知|z|＝，且·(3＋i)为纯虚数．
(1)求z；
(2)若a>0，且复数z1＝在复平面内对应的点位于第一象限，求实数m的取值范围．
22．(本小题12分)设z是虚数，且ω＝z＋满足－1<ω<2，设u＝.
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围．
(2)求证：u为纯虚数．
(3)求ω－u2的最小值．
第七章　单元测试卷
1．解析：由i2023＝i505×4＋3＝(i4)505·i3＝－i.故选B.
答案：B
2．解析：设z＝＋bi(b<0)，则|z|2＝()2＋b2＝32，解得b＝－2，所以z＝－2i.故选D.
答案：D
3．解析：由题意可得，2＋ai＝(1＋i)(3＋i)＝3＋4i＋i2＝2＋4i, 解得a＝4.故选D.
答案：D
4．解析：因为z＝＝＝＝－i，所以复数z＝在复平面内对应的点位于第四象限．故选D.
答案：D
5．解析：z＝＝·＝＝＝2－i，所以＝(2，－1).故选B.
答案：B
6．解析：依题意，z＝1＋2i，则＝1－2i，所以＝＝＝＝－＋i.故选A.
答案：A
7．解析：因为z＝，所以z2＝＝＝－i，所以|z2＋1|＝|1－i|＝.故选B.
答案：B
8．解析：方法一　设z＝a＋bi(a，b∈R)，由已知a＋bi＋＝2＋i，由复数相等可得解得a＝，b＝1，故z＝＋i.
方法二　由已知得z＝2－||＋i＝2－|z|＋i，①，两边取模后平方可得|z|2＝(2－|z|)2＋1＝4－4|z|＋|z|2＋1，所以|z|＝，代入①得z＝＋i.故选B.
答案：B
9．解析：因为z＝＝＝1－i，所以|z|＝，|z|2＝2，故A正确；z2＝(1－i)2＝－2i，故B正确；z的虚部为－1，故C错误；z的共轭复数为1＋i，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
10．解析：A选项，|z1|＝＝|z2|，A选项正确；B选项，1＝a＋2i，1不一定与z2相等，B选项错误；C选项，2(z1＋z2)＝2a＋4＋(2a－4)i，z1·z2＝4a＋(a2－4)i，若2(z1＋z2)＝z1·z2，则解得a＝2，所以C选项正确；D选项，当a＝0时，z2＝2≠－i，所以D选项错误．故选AC.
答案：AC
11．解析：∵2t2＋5t－3＝2(t＋)2－≥－，t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1≥1，∴z对应的点在实轴的上方，A错误；若t＝－3或t＝，则z＝5i或z＝i，则z为纯虚数，B错误；∵＝(2t2＋5t－3)－(t2＋2t＋2)i，则－(t2＋2t＋2)≤－1，∴对应的点为(2t2＋5t－3，－t2－2t－2)位于实轴下方，C正确；对于D，∵t2＋2t＋2≠0，∴z不是实数，D错误．故选ABD.
答案：ABD
12．解析：由题知e2i＝cos 2＋isin 2，而cos 2<0，sin 2>0，则复数e2i对应的点位于第二象限，故A错误；ei＝cos ＋isin ＝i，则ei为纯虚数，故B正确；＝＝＝＋i，则的模为＝＝，故C正确；ei＝cos＋isin ＝＋i，其共轭复数为－i，故D错误．故选BC.
答案：BC
13．解析：i(2－3i)＝3＋2i，所以复数3＋2i在复平面内对应的点的坐标为(3，2).
答案：(3，2)
14．解析：因为复数3＋4i与5＋6i所对应的向量分别为和，所以＝(3，4)，＝(5，6)，所以＝－＝(5，6)－(3，4)＝(2，2)，即对应的复数为2＋2i.
答案：2＋2i
15．解析：由题可知＝，m＝或m＝－1，且2m－1>0，所以m＝.
答案：
16．解析：x3－x＋6＝0即(x＋2)(x2－2x＋3)＝0，解得实数根x1＝－2，又x2－2x＋3＝0有(x－1)2＝－2，故x－1＝±i，解得x＝1±i.
答案：－2　1±i
17．解析：(1)∵z＝＋ai，∴＝－ai，
∵||＝|－ai|＝＝2，∴a2＝1，∴a＝±1.
(2)∵6＋x＋(3－2x)i＝3＋(y＋5)i，
∴解得
∴|x＋yi|＝|－3＋4i|＝＝5.
18．解析：(1)z为纯虚数，则解得m＝5.
(2)复数z对应的点位于直线2x－y－14＝0上，则2(m2－7m＋10)－(m2－5m＋6)－14＝0，
解得m＝0或m＝9.
19．解析：(1)2＝3＋4i，
z1·2＝(1＋2i)(3＋4i)＝(1×3－2×4)＋(1×4＋2×3)i＝－5＋10i.
(2)若OZ1Z3Z2为平行四边形，则z3＝z1＋z2＝4－2i，
若OZ1Z2Z3为平行四边形，则z2＝z1＋z3，得z3＝z2－z1＝2－6i，
若OZ3Z1Z2为平行四边形，则z1＝z2＋z3，得z3＝z1－z2＝－2＋6i.
20．解析：(1)∵z1＋z2＝4－(4＋a)i是实数，
∴4＋a＝0，a＝－4，z1＝1＋4i，
∴z1·z2＝(1＋4i)(3－4i)＝19＋8i.
(2)∵＝＝＝是纯虚数，所以解得a＝－，
所以z1＝1＋i，故z1的共轭复数为1－i.
21．解析：(1)·(3＋i)＝(a－bi)(3＋i)＝(3a＋b)＋(a－3b)i，
∵·(3＋i)为纯虚数，|z|＝，∴
解得或
∴z＝1－3i或z＝－1＋3i.
(2)∵a>0，∴z＝1－3i，
z1＝＝，
又∵复数z1在复平面内对应的点在第一象限，
∴
解得m>，即实数m的取值范围是(，＋∞).
22．解析：(1)设z＝a＋bi，a、b∈R，b≠0，
则ω＝a＋bi＋＝(a＋)＋(b－)i，
∵－1<ω<2，∴ω是实数，又b≠0，∴a2＋b2＝1，即|z|＝1，
∴ω＝2a，－1<ω＝2a<2，－(2)证明：u＝＝＝＝－i，
∵a∈(－，1)，b≠0，∴u为纯虚数．
(3)ω－u2＝2a＋＝2a－＝2a－1＋＝2[(a＋1)＋]－3，
∵a∈(－，1)，∴a＋1>0，
故ω－u2≥2×2－3＝4－3＝1，
当a＋1＝，即a＝0时，ω－u2取得最小值1.
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