第十章单元测试卷（含解析）--人教A版（2019）高数必修二

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第十章　单元测试卷
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．老师讲一道数学题，李峰能听懂的概率是0.8，是指(　　)
A．老师每讲一题，该题有80%的部分能听懂，20%的部分听不懂
B．老师在讲的10道题中，李峰能听懂8道
C．李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80%
D．以上解释都不对
2．下列说法正确的是(　　)
A．在相同条件下，进行大量重复试验，可以用频率来估计概率
B．掷一枚骰子1次，“出现1点”与“出现2点”是对立事件
C．甲、乙两人对同一个靶各射击一次，记事件A＝“甲中靶”，B＝“乙中靶”，则A＋B＝“恰有一人中靶”
D．拋掷一枚质地均匀的硬币，若前3次均正面向上，则第4次正面向上的概率小于
3．从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
4．根据2022年某地统计资料，该地车主购买甲种保险的概率为0.4，购买乙种保险的概率为0.3，由于两种保险作用类似，因而没有人同时购买，设各车主购买保险相互独立，则估计该地100位车主中甲、乙两种保险都不购买的车主平均有(　　)
A．40人 B．30人 C．20人 D．10人
5．掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现奇数点”，B＝“第二枚出现点数不超过3”，则事件A与事件B的关系为(　　)
A．相互独立 B．互斥 C．互为对立 D．相等
6．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生的12组随机数为137，960，197，925，271，815，952，683，829，436，730，257.据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为(　　)
A． B． C． D．
7．已知射击运动员甲击中靶心的概率为0.8，射击运动员乙击中靶心的概率为0.9，且甲、乙两人是否击中靶心互不影响．若甲、乙各射击一次，则至少有一人击中靶心的概率为(　　)
A．0.98 B．0.8 C．0.72 D．0.26
8 1 6
3 5 7
4 9 2
8.刘徽是魏晋时代著名数学家，他给出的(2k＋1)阶幻方被称为“神农幻方”．所谓幻方，即把1，2，…，n2排成n×n的方阵，使其每行、每列和对角线的数字之和均相等．如图是刘徽构作的3阶幻方，现从中随机抽取和为15的三个数，则含有4或6的概率是(　　)
A． B． C． D．
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)
9．下列试验中，随机事件有(　　)
A．某射手射击一次，射中10环 B．同时掷两枚骰子，都出现6点
C．某人购买福利彩票未中奖 D．若x为实数，则x2＋1≥1
10．设A，B是两个概率大于0的随机事件，则下列说法正确的是(　　)
A．若事件A和B是对立事件，则P(A)＋P(B)＝1
B．若事件A和B是互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1
C．若事件A和B相互独立，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
D．若事件A和B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)
11．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出1个红球的概率是，从两袋中各摸出1个球，则(　　)
A．2个球不都是红球的概率是
B．2个球都是红球的概率是
C．至少有1个红球的概率是
D．2个球中恰好有1个红球的概率是
12．一个口袋中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，从中取出2个球，则(　　)
A．若不放回地抽取，则“取出2个红球”和“取出2个白球”是对立事件
B．若不放回地抽取，则第2次取到红球的概率与第1次取到红球的概率相等
C．若有放回地抽取，则取出1个红球和1个白球的概率是
D．若有放回地抽取，则至少取出一个红球的概率是
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．抛掷甲乙两颗骰子，所得点数分别为x，y，样本空间为Ω＝{(x，y)|x，y∈N*，x，y≤6}，点数之和为X，事件P＝“X＝4”，事件Q＝{(1，3)}，则事件P与事件Q的关系是________．
14．中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．张三和李四下棋，张三获胜的概率是，和棋的概率是，则张三不输的概率为________．
15．已知冰箱里有4袋牛奶，其中1袋枣味、3袋原味，若小明从中任取两袋，则取到枣味牛奶的概率为________．
16．如图，一个电路中有三个元件A，B，C及灯泡D，每个元件能正常工作的概率都是0.5，且能否正常工作不相互影响，电路的不同连接方式对灯泡D发光的概率会产生影响，在图①所示的电路中灯泡D发光的概率为________；在图②所示的电路中灯泡D发光的概率为________．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题10分)两个口袋，每个袋中有3个大小质地相同的小球，分别标有数字1，2，3.现分别从每一个袋中取一个小球，观察其上标的数字．
(1)写出试验样本空间．
(2)设事件A＝“两个小球都是奇数”，B＝“两个小球的和为4”，求：
①事件A的概率；
②事件B的概率．
18．(本小题12分)某班选派5人，参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：
获奖人数 0 1 2 3 4 5
概率 0.1 0.16 x y 0.2 z
(1)若获奖人数不超过2人的概率为0.56，求x的值；
(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y，z的值．
19．(本小题12分)设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率都为0.5，购买乙种商品的概率都为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．求：
(1)进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率；
(2)进入商场的1位顾客，购买甲、乙两种商品中的一种的概率．
20．(本小题12分)已知箱子内有6张大小相同的卡片，其中2张金卡，4张银卡，从中不放回地依次随机抽取2张，求下列事件的概率．
(1)A＝“第二次抽到金卡”；
(2)B＝“至少抽到一次金卡”．
21．(本小题12分)某地要举办一年一度为期一个月(30天)的大型商业峰会，一商店每天要订购相同数量的一种食品，每个该食品的进价为0.6元，售价为1元，当天卖不完的食品按进价的半价退回，食品按每箱100个包装．根据往年的销售经验，每天对该食品的需求量和当天到会的人数有关，为了确定订购计划，统计了往年的到会人数与需求量和到会人数与天数的有关数据如下：
到会人数/人 [8 000，9 000] (9 000，10 000] (10 000，11 000] (11 000，12 000] (12 000，13 000]
需求量/箱 400 450 500 550 600
天数 5 6 8 7 4
以到会人数位于各区间的频率估计到会人数位于各区间的概率．
(1)估计商业峰会期间，该商店一天对这种食品的需求量不超过500箱的概率；
(2)设商业峰会期间，这种食品一天的销售利润为Y(单位：元)，当商业峰会期间这种食品一天的进货量为550箱时，写出Y的所有可能值，并估计Y不超过15 000元的概率．
22．(本小题12分)甲、乙、丙三个学校进行篮球比赛，各出一个代表队，简称甲队、乙队、丙队．约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两个队，另一队轮空；每场比赛的胜队与轮空队进行下一场比赛，负队下一场轮空，直至有一队被淘汰；当一队被淘汰后，剩余的两队继续比赛，直至其中一队被淘汰，另一队最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙两队首先比赛，丙队轮空．设甲队与乙队每场比赛，甲队获胜概率为0.5，甲队与丙队每场比赛，甲队获胜概率为0.6，乙队与丙队每场比赛，乙队获胜概率为0.4.记事件A1为甲队输给乙队，事件A2为甲队输给丙队，事件B1为乙队输给甲队，事件B2为乙队输给丙队，事件C1为丙队输给甲队，事件C2为丙队输给乙队．
(1)写出用A1，A2，B1，B2，C1，C2表示“乙队连胜四场”的事件，并求其概率；
(2)写出用A1，A2，B1，B2，C1，C2表示“比赛四场结束”的事件，并求其概率；
(3)求“需要进行第五场比赛”的概率．
第十章　单元测试卷
1．解析：概率的意义就是事件发生的可能性大小，即李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80%.故选C.
答案：C
2．解析：在相同条件下，进行大量重复试验，可以用频率来估计概率，A正确；掷一枚骰子1次，“出现1点”与“出现2点”是互斥事件，但不是对立事件，B错误；A＋B＝“靶被击中”，C错误；抛掷一枚质地均匀的硬币，无论哪一次，正面向上的概率都等于，D错误．故选A.
答案：A
3．解析：从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，共有5×4＝20(种)方法，这个两位数大于40的有41，42，43，45，51，52，53，54共8种，故这个两位数大于40的概率为＝.故选B.
答案：B
4．解析：根据题意得该地车主中，甲、乙两种保险都不购买的概率为1－0.4－0.3＝0.3，所以该地100位车主中甲、乙两种保险都不购买的车主平均有100×0.3＝30(人).故选B.
答案：B
5．解析：由题意，P(A)＝，P(B)＝且P(A∩B)＝，即P(A∩B)＝P(A)P(B)，而事件A，B可以同时发生，故它们不互斥，更不相等；由于＝“第一枚出现偶数点”， ＝“第二枚出现点数超过3”，则A，B不是对立事件．综上，A正确，B、C、D错误．故选A.
答案：A
6．解析：由题意可知经随机模拟产生的12组随机数中，137，271，436这三组表示三次投篮恰有两次命中，故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为P＝＝.故选A.
答案：A
7．解析：设甲击中靶心为事件A，乙击中靶心为事件B，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.9，因为A与B相互独立，所以与也相互独立，则甲、乙都不击中靶心的概率为P(·)＝P()P()＝(1－P(A))(1－P(B))＝(1－0.8)(1－0.9)＝0.02，所以甲、乙至少有一人击中靶心的概率为1－0.02＝0.98.故选A.
答案：A
8．解析：随机抽取和为15的三个数包含的基本事件为(8，1，6)，(3，5，7)，(4，9，2)，(8，3，4)，(1，5，9)，(6，7，2)，(8，5，2)，(4，5，6)共8个，
其中含有4或6的基本事件有(8，1，6)，(4，9，2)，(8，3，4)，(6，7，2)，(4，5，6)共5个，则含有4或6的概率是.故选C.
答案：C
9．解析：某射手射击一次，射中10环是随机事件；同时掷两枚骰子，都出现6点是随机事件；某人购买福利彩票未中奖是随机事件；若x为实数，则x2＋1≥1是必然事件．故选ABC.
答案：ABC
10．解析：若A，B是对立事件，则事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，所以A选项正确；若事件A，B互斥，如投掷一枚均匀的骰子，设A＝{向上的点数是1}，B＝{向上的点数是2}，则A，B互斥，P(A)＋P(B)<1，所以B选项错误；只有当A和B互斥时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，所以C选项错误；若A和B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)，所以D选项正确．故选AD.
答案：AD
11．解析：2个球不都是红球的概率为1－×＝，故A不正确；2个球都是红球的概率为×＝，故B正确；至少有一个红球的概率为1－×＝，故C正确；两个球中恰好有一个红球的概率为×＋×＝，故D正确．故选BCD.
答案：BCD
12．解析：由题意知，不放回地抽取2个球包括2个都是红球、2个都是白球和1个红球1个白球，共3种情况，所以“取出2个红球”和“取出2个白球”是互斥事件，但不是对立事件，故A错误；记2个红球分别为a，b，3个白球分别为1，2，3，不放回地从中取2个球的样本空间Ω1＝{ab，a1，a2，a3，ba，b1，b2，b3，1a，1b，12，13，2a，2b，21，23，3a，3b，31，32}共20种，记事件A为“第1次取到红球”，事件B为“第2次取到红球”，则A＝{ab，a1，a2，a3，ba，b1，b2，b3}，B＝{ab，ba，1a，1b，2a，2b，3a，3b}，所以P(A)＝P(B)，故B正确；有放回地从中取2个球的样本空间Ω2＝{aa，ab，a1，a2，a3，bb，ba，b1，b2，b3，1a，1b，11，12，13，2a，2b，21，22，23，3a，3b，31，32，33}共25种，记事件C为“取出1个红球和1个白球”，则C＝{a1，a2，a3，b1，b2，b3，1a，1b，2a，2b，3a，3b}，共12种，所以P(C)＝，故C错误；记事件D为“取出2个白球”，则D＝{11，12，13，21，22，23，31，32，33}，共9种，所以P(D)＝，所以至少取出1个红球的概率为1－＝，故D正确．故选BD.
答案：BD
13．解析：事件P＝{(1，3)，(2，2)，(3，1)}，事件Q＝{(1，3)}，∴Q P.
答案：Q P
14．解析：由题意得，张三不输的情况有和棋或者获胜，所以张三不输的概率P＝＋＝.
答案：
15．解析：设4袋牛奶编号分别为a，b，c，d，其中a为枣味，b，c，d为原味，从中任取两袋，则样本空间Ω＝{ab，ac，ad，bc，bd，cd}，共6个样本点，用事件A表示“取到枣味”，则A＝{ab，ac，ad}，共3个样本点，根据古典概型的概率公式可得P(A)＝＝.
答案：
16．解析：由题意，要使得灯泡D发光，则满足A，B，C三个元件同时正常工作，根据相互独立事件的概率乘法公式，图①中灯泡D发光的概率为××＝；在图②所示的电路中灯泡D发光，则满足元件A正常工作，元件B，C中至少要有一个正常工作，所以图②的电路中灯泡D发光的概率为×[1－(1－)(1－)]＝.
答案：　
17．解析：(1)样本空间如下：
{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)}．
(2)①事件A包括的基本事件为(1，1)，(1，3)，(3，1)，(3，3)，共4种，
所以P(A)＝.
②事件B包括的基本事件为(1，3)，(2，2)，(3，1)，共3种，
所以P(B)＝＝.
18．解析：记事件“在竞赛中，有k人获奖”为Ak(k∈N，k≤5)，则事件Ak彼此互斥．
(1)∵获奖人数不超过2人的概率为0.56，
∴P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋x＝0.56.解得x＝0.3.
(2)由获奖人数最多4人的概率为0.96，得P(A5)＝1－0.96＝0.04，即z＝0.04.
由获奖人数最少3人的概率为0.44，得P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44，即y＋0.2＋0.04＝0.44.
解得y＝0.2.
19．解析：(1)设事件A为顾客购买甲商品，事件B为顾客购买乙商品，且A与B相互独立，
依题意可知，P(A)＝0.5，P(B)＝0.6.
所以甲、乙两种商品都购买的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.
(2)设事件C为“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”，
则C＝A＋B，
所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝0.5×(1－0.6)＋(1－0.5)×0.6＝0.5.
20．解析：(1)将2张金卡编号为1，2，4张银卡编号为3，4，5，6，
从中不放回地依次随机抽取2张，
所有的可能有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，共30种，
其中满足事件A的有(1，2)，(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(5，1)，(5，2)，(6，1)，(6，2)，共10种，
所以P(A)＝＝.
(2)满足事件B的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(5，1)，(5，2)，(6，1)，(6，2)，共18种，
所有P(B)＝＝.
21．解析：(1)由表中数据可知商业峰会期间30天内，该商店一天对这种食品的需求量不超过500箱的天数为5＋6＋8＝19，
所以商业峰会期间该商店一天对这种食品的需求量不超过500箱的概率为.
(2)当峰会期间这种食品一天的进货量为550箱时，
若到会人数位于区间[8 000，9 000]内，
则Y＝400×100×(1－0.6)＋150×100×(0.3－0.6)＝11 500(元)，
若到会人数位于区间(9 000，10 000]内，
则Y＝450×100×(1－0.6)＋100×100×(0.3－0.6)＝15 000(元)，
若到会人数位于区间(10 000，11 000]内，
则Y＝500×100×(1－0.6)＋50×100×(0.3－0.6)＝18 500(元)，
若到会人数超过11 000，则Y＝550×100×(1－0.6)＝22 000(元)，
即Y的所有可能值为11 500，15 000，18 500，22 000，
Y不超过15 000元，意味着到会人数不超过10 000，
到会人数不超过10 000的频率为＝，
所以Y不超过15 000元的概率的估计值为.
22．解析：(1)依题意，P(A1)＝0.5，P(C2)＝0.4, “乙队连胜四场”的事件为A1C2A1C2，
所以P(A1C2A1C2)＝P(A1)P(C2)P(A1)P(C2)＝0.5×0.4×0.5×0.4＝0.04.
(2)“比赛四场结束”共有三种情况，分别是：“甲队连胜四场”为事件B1C1B1C1;
“乙队连胜四场”为事件A1C2A1C2；
“丙队上场后连胜三场”为事件A1B2A2B2和事件B1A2B2A2，
所以，“比赛四场结束”的概率为P1＝P(B1C1B1C1)＋P(A1C2A1C2)＋P(A1B2A2B2)＋P(B1A2B2A2)
＝(0.5×0.6×0.5×0.6)＋(0.5×0.4×0.5×0.4)＋(0.5×0.6×0.4×0.6)＋(0.5×0.4×0.6×0.4)
＝0.09＋0.04＋0.072＋0.048＝0.25.
(3)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，
所以，需要进行第五场比赛的概率为P＝1－P1＝0.75.
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