22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
1．在同一直角坐标系中作出函数y＝x2，y＝2x2和y＝3x2的图象，然后根据图象填空：
抛物线y＝x2的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________；
抛物线y＝2x2的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________；
抛物线y＝3x2的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________．
可以发现，抛物线y＝x2，y＝2x2，y＝3x2的开口大小由二次项系数决定，二次项系数的绝对值越大，抛物线的开口越________．
2．在同一直角坐标系中作出函数y＝－x2，y＝－2x2和y＝－3x2的图象，然后根据图象填空：
抛物线y＝－x2的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________；
抛物线y＝－2x2的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________；
抛物线y＝－3x2的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________．
可以发现，抛物线y＝－x2，y＝－2x2，y＝－3x2的开口大小由二次项系数决定，二次项系数的绝对值越大，抛物线的开口越________．
3．(1)抛物线 y＝ax2的开口方向和开口大小由________决定，当a________0时，抛物线的开口向上；当a________0时，抛物线的开口向下；
(2)抛物线y＝ax2的顶点坐标是( )，当a________0时，它是抛物线的最低点，即当x＝________时，函数取得最小值为________；当a________0时，它是抛物线的最高点，即当x＝________时，函数取得最大值为________；
(3)抛物线y＝ax2的对称轴是________．
4．在同一直角坐标系中作出函数y＝－x2，y＝－x2＋2， y＝－x2－3的图象，然后根据图象填空：
抛物线y＝－x2的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________；
抛物线y＝－x2＋2的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________；
抛物线y＝－x2－3的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________．
可以发现，抛物线 y＝－x2＋2，y＝－x2－3与抛物线 y＝－x2的形状、开口大小相同，只是抛物线的顶点位置发生了变化．把抛物线y＝－x2沿y轴向________平移________个单位即可得到抛物线 y＝－x2＋2；把抛物线y＝－x2沿y轴向________平移________个单位即可得到抛物线y＝－x2－3．
5．填空(如果需要可作草图)：
(1)抛物线y＝x2的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________；
(2)抛物线y=x2＋2的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________；
(3)抛物线y＝x2－3的顶点坐标是( )，对称轴是________，开口向________．
可以发现，抛物线y＝x2＋2，y＝x2－3与抛物线 y＝x2的形状、开口大小相同，只是抛物线的顶点位置发生了变化．把抛物线y＝x2沿y轴向________平移________个单位即可得到抛物线 y＝x2＋2；把抛物线 y＝x2沿 y轴向________平移________个单位即可得到抛物线y＝x2－3．
答案：
1． (0，0) ，y轴，上；
(0，0) ，y轴，上；
(0，0) ，y轴，上；小．
2． (0，0) ，y轴，下；
(0，0) ，y轴，下；
(0，0) ，y轴，下；小．
3． (1) a，＞，＜；
(2) (0，0) ，＞，0，0；＜，0，0；
(3) y轴．
4． (0，0) ，y轴，下；
(0，2) ，y轴，下；
(0，－3) ，y轴，下；
上，2；下，3．
5． (1) (0，0) ，y轴，上；
(2) (0，2) ，y轴，上；
(3) (0，－3) ，y轴，上；上，2；下，3．
思考·探索·交流
1．把抛物线y＝x2沿y轴向上平移3个单位能得到抛物线y＝3x2吗？把抛物线y＝－x2沿y轴向下平移3个单位能得到抛物线y＝－3x2吗？
答案：
1．不能，不能．
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
学习目标
1．知道二次函数的图象是一条抛物线；
2．会画二次函数y＝ax2的图象；
3．掌握二次函数y＝ax2的性质，并会灵活应用
教学重点
数形结合是学习函数图象的精髓所在，从图象上学习认识函数
教学难点
数形结合是学习函数图象的精髓所在，从图象上学习认识函数
教学方法
导学训练
学生自主活动材料
【学习过程】
一、依标独学：
1.画一个函数图象的一般过程是① ；② ；③ 。
2.一次函数图象的形状是 ；反比例函数图象的形状是 .
二、围标群学
（一）画二次函数y＝x2的图象．
列表：
在图（3）中描点，并连线
1.思考：图（1）和图（2）中的连线正确吗？为什么？连线中我们应该注意什么？
2.归纳：① 由图象可知二次函数的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做 线；
②抛物线是轴对称图形，对称轴是 ；③的图象开口______；
④ 与 的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是 ；
它是抛物线的最 点（填“高”或“低”），即当x=0时，y有最 值等于0.
⑤在对称轴的左侧，图象从左往右呈 趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈 趋势；即<0时，随的增大而 ，>0时，随的增大而 。
（二）例1在图（4）中，画出函数，，的图象．
解：列表：
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
…
…
归纳：抛物线，，的图象的形状都是 ；顶点都是__________；对称轴都是_________；二次项系数_______0；开口都 ；顶点都是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ．
教学反思：
自我评价专栏(分优良中差四个等级)
自主学习： 合作与交流： 书写： 综合：
22.1.2 二次函数的图象和性质
学习目标
1.会用描点法画出的图象，理解抛物线的概念。
2.掌握形如的二次函数图象的特性质，并会应用.
教学过程
一、情境导入
自由落体公式h=gt2(g为常量)，h与t之间是什么关系呢？它是什么函数？它的图象是什么形状呢？
二、合作探究
探究点一：二次函数的图象
【类型一】图象的识别
例1已知，在同一直角坐标系中，函数与的图象有可能是（ ）
解析：本题进行分类讨论：（1）当时，函数的图象开口向上，函数图象经过一、三象限，故排除选项B；（2）当时，函数的图象开口向下，函数图象经过二、四象限，故排除选项D；又因为在同一直角坐标系中，函数与的图象必有除原点（0，0）以外的交点，故选择C.
方法总结: 分与两种情况加以讨论，并且结合一些特殊点，采取“排除法”.
【类型二】实际问题中图象的识别
例2已知h关于t的函数关系式为，（为正常数，t为时间），则函数图象为（ ）
解析：根据h关于t的函数关系式为，其中为正常数，t为时间，因此函数图象是受一定实际范围限制的，图象应该在第一象限，是抛物线的一部分，故选A.
方法总结:在识别二次函数图象时，应该注意考虑函数实际意义.
探究点二：二次函数的性质
【类型一】利用图象判断二次函数的增减性
例3作出函数的图象，观察图象，并利用图象回答下列问题：
（1）在轴左侧图象上任取两点A（）,B（），使，试比较与的大小；（2）在轴右侧图象上任取两点C（）,D（），使，试比较与的大小；
（3）由（1）、（2）你能得出什么结论？
解析：根据画出的函数图象来确定有关数值大小比较，是一种比较常用的方法.
解：（1）图象如图所示,由图象可知（2）由图象可知
方法总结:解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物线的草图，进行观察和分析以免解题时产生错误.
【类型二】二次函数的图象与性质的综合题
例4已知函数是关于x的二次函数。
（1）求m的值；
（2）当m为何值时，该函数图象的开口向下？
（3）当m为何值时，该函数有最小值？
（4）试说明函数的增减性.
分析：（1）由二次函数的定义可得故可求m的值.
（2）图象的开口向下，则m＋3＜0
（3）函数有最小值，则m＋3＞0
（4）函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定.
解：（1）根据题意，得
，解得
∴当m＝－4或m＝1时，原函数为二次函数
（2）∵图象开口向下，∴m＋3＜0，∴m＜－3，∴m＝－4
∴当m＝－4时，该函数图象的开口向下
（3）∵函数有最小值，∴m＋3＞0，m＞－3
∴m取1 ∴当m＝1时，原函数有最小值
（4）当m＝－4时，此函数为，开口向下，对称轴为y轴，当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小.
当m＝1时，此函数为，开口向上，对称轴为y轴，当x＜0时，y随x的增大而减少；当x＞0时，y随x的增大而增大.
方法总结: 二次函数的最值是顶点的纵坐标，当a＞0时，开口向上，顶点最低，此时纵坐标为最小值；当a＜0时，开口向下，顶点最高，此时纵坐标为最大值.考虑二次函数的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素，因此最好画图观察.
探究点三：确定二次函数的表达式
【类型一】利用图象确定的解析式
例5一个二次函数y=ax2（a≠0）的图象经过点A（2，-2）关于坐标轴的对称点B，求其关系式.
分析：坐标轴包含x轴和y轴，故点A（2，－2）关于坐标轴的对称点不是一个点，而是两个点.点A（2，－2）关于x轴的对称点B1（2,2），点A（2，－2）关于y轴的对称点B2（－2,－2），
解：∵点B与点A（2，－2）关于坐标轴对称，∴B1（2,2），B2（－2,－2）．
当y=ax2的图象经过点B1（2,2）时，2=a×22，∴a=，∴y=x2；
当y=ax2的图象经过点B1（－2,－2）时，－2=a×（-2）2，∴a=－，∴y=－x2；
∴二次函数的关系式为y=x2或y=－x2.
方法总结：当题目给出的条件不止一个答案时，应运用分类讨论的方法逐一进行讨论，从而求得多个答案.
【类型二】二次函数的图象与几何图形的综合应用
例6已知二次函数y=ax2（a≠0）与直线y=2x-3相交于点A（1，b），求：
（1）a，b的值；
（2）函数y=ax2的图象的顶点M的坐标及直线与抛物线的另一个交点B的坐标；
（3）△AMB的面积.
解析：直线与函数y=ax2的图象交点坐标可利用方程求解，而求出△AMB的面积，一般应画出草图进行解答.
解：（1）∵点（1，b）是直线与函数y=ax2的图象交点，
∴点A的坐标满足二次函数和直线的关系式，
∴，∴.
（2）由（1）知二次函数为y=－x2，顶点M（即坐标原点）的坐标为（0,0）
由－x2=2x－3，解得x1=1，x2=－3，
∴y1=－1，y2=－9，
∴直线与二次函数的另一个交点B的坐标为（－3，－9）
（3）如图6-2-7所示，作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C、D，根据点的坐标的意义，可知MD=3，MC=1，CD=1+3=4，BD=9，AC=1
∴S△AMB=S梯形ABDC－S△ACM－S△BDM=.
【类型三】二次函数的实际应用
例7如图所示，有一抛物线形状的桥洞.桥洞离水面最大距离OM为3m，跨度AB=6m.
（1）请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式；
（2）一艘小船上平放着一些长3m，宽2m且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米？
解析：可以O为坐标原点，平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则可设此抛物线函数关系式为y=ax2.由题意可得B点的坐标为（3，﹣3），由此可求出抛物线的函数关系式，然后利用此抛物线的函数关系式去探究其他问题.
解：(1)以O点位坐标原点，平行于线段AB的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的函数关系式为y=ax2.
由题意可得B点坐标为（3，-3），
∴﹣3=a×32，解得a=﹣，
∴抛物线的函数关系式为y=﹣x2.
（2）当x=1时，y=﹣×12=﹣.
∵OM=3，∴木板最高可堆放3－=（米）
方法总结：（1）解决实际问题时，要善于把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型解决实际问题的思想.
四、板书设计
教学反思
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法方法.
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
教学目标：
1、使学生会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。
2、使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯
重点难点：
重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象是教学的重点。难点：用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质是教学的难点。
教学过程：
一、提出问题
1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的?
(先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质)
2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么?
(可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象)
3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么?
二、范例
例1、画二次函数y=ax2的图象。
解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y
…
9
4
1
0
1
4
9
…
(2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点
(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x2的图象，如图所示。
提问：观察这个函数的图象，它有什么特点?
让学生观察，思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一点交点。
抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。
顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．
三、做一做
1．在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别?
2．在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么?
3．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?
对于1，在学生画函数图象的同时，教师要指导中下水平的学生，讲评时，要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点。两个函数图象的共同点以及它们的区别，可分组讨论。交流，让学生发表不同的意见，达成共识，两个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，顶点坐标都是(0，0)，区别在于函数y=x2的图象开口向上，函数y=-x2的图象开口向下。
对于2，教师要继续巡视，指导学生画函数图象，两个函数的图象的特点；教师可引导学生类比1得出。
对于3，教师可引导学生从1的共同点和2的发现中得到结论：四个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，它的顶点坐标都是(0，0)．
四、归纳、概括
函数y＝x2、y=-x2、y=2x2、y=-2x2是函数y=ax2的特例，由函数y＝x2、y=-x2、y＝2x2、y=-2x2的图象的共同特点，可猜想：
函数y=ax2的图象是一条________，它关于______对称，它的顶点坐标是______。
如果要更细致地研究函数y=ax2图象的特点和性质，应如何分类？为什么?
让学生观察y＝x2、y＝2x2的图象，填空；
当a>0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。
图象的这些特点反映了函数的什么性质?
先让学生观察下图，回答以下问题；
(1)XA、XB大小关系如何?是否都小于0？
(2)yA、yB大小关系如何?
(3)XC、XD大小关系如何?是否都大于0?
(4)yC、yD大小关系如何?
(XAyB；XC0，XD>0，yC 其次，让学生填空。
当X<0时，函数值y随着x的增大而______，当X>O时，函数值y随X的增大而______；当X＝______时，函数值y=ax2 (a>0)取得最小值，最小值y=______
以上结论就是当a>0时，函数y=ax2的性质。
思考以下问题：
观察函数y＝-x2、y=-2x2的图象，试作出类似的概括，当a 让学生讨论、交流，达成共识，当aO时，函数值y随x的增大而减小，当x=0时，函数值y＝ax2取得最大值，最大值是y＝0。
五、课堂练习：P6练习1、2、3、4。
六、作业： 1．如何画出函数y=ax2的图象?
2．函数y＝ax2具有哪些性质?
3．谈谈你对本节课学习的体会。
课件13张PPT。课件17张PPT。一、情景引入二、合作探究三、课堂小结四、课后作业探究点一 二次函数y=ax2的图象和性质提出
问题知识
要点典例
精析巩固
训练
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质学习目标：
1．知道二次函数的图象是一条抛物线；
2．会画二次函数y=ax2的图象；
3．掌握二次函数y=ax2的性质，并会灵活应用．xy一次函数的图象是一条_____，反比例函数的图象是________.(2) 通常怎样画一个函数的图象？直线双曲线列表、描点、连线一、情景导入忆一忆，填一填：二次函数的图像是什么呢，该怎么画呢？00.2512.2540.2512.2540-0.25-1-2.25-4-0.25-1-2.25-4二、合作探究探究点一 二次函数y=ax2的图象和性质 函数图象画法列表描点连线 图象法用平滑曲线连结时要
自左向右顺次连结注意：列表时自变量
取值要均匀和对称。下面是两个同学画的 y=0.5x2 和 y=-0.5x2的图象,你认为他们的作图正确吗?为什么?00.524.50.524.5888例1：画出y=0.5x2的图像.8二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时
所经过的路线，我们把它叫做抛物线。这条抛物线关于y轴
对称，y轴就是它的
对称轴。 这条抛物线关于y轴
对称，y轴就是它的
对称轴。 对称轴与抛物线的交点
叫做抛物线的顶点。对称轴与抛物线的交点
叫做抛物线的顶点。（0，0）（0，0）y轴y轴在x轴的上方（除顶点外）在x轴的下方（除顶点外）向上向下当x=0时，最小值为0。当x=0时，最大值为0。二次函数y=ax2的性质１、顶点坐标与对称轴２、位置与开口方向３、增减性与极值2、练习23、想一想
在同一坐标系内，抛物线y=x2与抛物线
y= -x2的位置有什么关系？ 如果在同一坐标系内
画函数y=ax2与y= -ax2的图象，怎样画才简便？
4、练习4动画演示当a>0时，在对称轴的
左侧，y随着x的增大而
减小。 当a>0时，在对称轴的
右侧，y随着x的增大而
增大。 当a<0时，在对称轴的
左侧，y随着x的增大而
增大。 当a<0时，在对称轴的
右侧，y随着x的增大而
减小。 见《学练优》第1页 第1、2、4、8、9题首页见《学练优》第27页第1、2、3、4、5、6、7、8题
1、抛物线y=ax2的顶点是原点，对称轴是y轴。
2 、当a>0时，抛物线在x轴的上方（除顶点外），开口向上.
当a<0时，抛物线在x轴的下方（除顶点外），开口向下
3、当a>0时， 在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；
在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大；
顶点是抛物线的最低点，有最小值。
当a<0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；
在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小；
顶点是抛物线的最高点，有最大 值。
二次函数y=ax2的性质三、课堂小结2、根据左边已画好的函数图象填空：
（1）抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,
对称轴是 ，在 侧，
y随着x的增大而增大；在 侧，
y随着x的增大而减小，当x= 时，
函数y的值最小，最小值是 ,抛物
线y=2x2在x轴的 方（除顶点外）。（2）抛物线 在x轴的 方（除顶点外），在对称轴的
左侧，y随着x的 ；在对称轴的右侧，y随着x的
，当x=0时，函数y的值最大，最大值是 。学.科.网（0，0）y轴对称轴的右对称轴的左00上下增大而增大增大而减小04、已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。学.科.网
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。
（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得
-8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为
y= -2x2.（2）因为 ，所以点B（-1 ，-4）
不在此抛物线上。（3）由-6=-2x2 ,得x2=3,
所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是
y=-2x2见《学练优》本课时课后巩固提升学.科.网四、课外作业课件9张PPT。22.1 二次函数的图象和性质22.1.2 二次函数y=ax 的
图象和性质一次函数的图象是一条_____，反比例函数的图象是________.(2) 通常怎样画一个函数的图象？直线双曲线(3) 二次函数的图象是什么形 状呢？列表、描点、连线1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：2. 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）画最简单的二次函数 y = x2 的图象01491493. 如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象． 二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ， y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称轴的交点（0，0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点． 二次函数的图象都是抛物线， 它们的开口或者向上或者向下． 一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c 实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．例1 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象．解：分别填表，再画出它们的图象，如图84.520.5084.520.584.520.5084.520.5函数 的图象与函数 y=x2 的图象相比，有什么共同点和不同点？相同点：开口都向上，顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是 y 轴不同点：a 要越大，抛物线的开口越小． 你画出的图象与图中相同吗？－8－4.5－2－0.50－8－4.5－2－0.5－8－4.5－2－0.50－8－4.5－2－0.5对比抛物线，y=x2和y=－x2.它们关于x轴对称吗？一般地，抛物线y=ax2和y=－ax2呢？一般地，抛物线 y=ax2 的对称轴是y轴，顶点是原点．当a>0
时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物
线的开口越小；当a<0时，抛物线的开口向_______,顶点是抛物
线的最________点，a越大，抛物线的开口越_________．下
高大
