初中数学人教版八年级上册 第十二章 全等三角形大单元教学设计
文档属性
| 名称 | 初中数学人教版八年级上册 第十二章 全等三角形大单元教学设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 463.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-14 14:04:40 | ||
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文档简介
《全等三角形》大单元整体学习
图形与几何：全等三角形
单元概述
【单元内容】
全等三角形是三角形一章的延续，从对一个三角形的探究扩展到两个三角形关系的探究.全等三角形是最简单、最基本的全等形，在现实生活中有着广泛的应用.全等形及全等三角形为探究角相等、线段相等提供了一种新的方法，全等三角形的概念、性质与判定是本单元的核心内容，是研究轴对称、等腰三角形、平行四边形和圆等几何图形的基础.
【课标要求】
核心素养：
抽象能力、几何直观、空间观念、推理能力、模型观念、应用意识、创新意识
【内容要求】
1.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角.
2.掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；
三边分别相等的两个三角形全等.
3.证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
4.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。
5.能尺规作图：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；
【学业要求】
在直观理解和掌握图形与几何基本事实的基础上，经历得到和验证数学结论的过程，感悟具有传递性的数学逻辑，形成几何直观和推理能力：经历尺规作图的过程，增强动手能力，能想象出通过尺规作图的操作所形成的图形，理解尺规作图的基本原理与方法，发展空间观念和空间想象力。
【单元目标】
1.通过经历图形重合的过程，认识图形的全等，能够辨认全等形，全等三角形，能识别全等三角形中的对应边、对应角，会用符号表示两个三角形全等。（几何直观、抽象能力、模型观念）
2.通过画图、叠合、思考和交流等活动，探索判定三角形全等的方法，并能用这些方法判定两个三角形全等。（几何直观、推理能力）
3.通过试一试，画一画的活动，能用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，并会利用尺规作图作三角形，会作已知角的平分线。（几何直观）
4.在多种形式的数学活动中，体会合情推理探索数学结论的过程，发展演绎推理的能力，会利用三角形的全等解决简单的实际问题，体验数学与生活的关系。（模型观念、应用意识）
5.通过搭建本章知识结构，画出常见的全等图形，积累数学活动经验，进一步体会知识之间的前后联系。（创新意识）
全等三角形（第一课时）
【学习目标】
1.通过实例理解全等形的概念和特征，能识别图形全等.
2.知道全等三角形的有关概念，能正确找出对应顶点、对应边、对应角；掌握全等三角形对应边相等，对应角相等的性质.
3.能运用性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题.
【学习重难点】
知道全等三角形的有关概念，能正确找出对应顶点、对应边、对应角；掌握全等三角形对应边相等，对应角相等的性质.
【学习任务】 全等三角形的对应关系
学习活动1-----认识全等形
在这幅精美的图画中，你能找到哪些形状和大小都相同的图案？
【问题探究】
1.观察四组图形，你发现了什么？如果把每一对中的两个图形用合适的方式叠在一起它们能够完全重合吗？
2.你能再举出生活中的一些类似例子吗？
3.上述图形的共同特征是？
【归纳生成】
能够重合的两个图形称为全等图形.
---探究全等三角形的性质
【合作探究】
1.将△ABC按要求在三个图中依次操作。体验“平移、翻折、旋转前后的两个图形全等”.
2.把自制的一对全等三角形纸片重合 你发现对应边、对应角有什么关系，并将上述性质用符号语言表示.
3.将手中两个全等的三角形摆放成如图的两种形式，分别找出对应边和对应角.
【归纳生成】
1.在书写两个三角形全等时应当注意什么？
2.总结识别全等三角形中的对应边和对应角的方法.
【学习评测】
1.如图，△ABCDEF,AB=DE,则∠A的对应角是（ ），BC的对应边是( ).
2.如图，已知△ABCCDA,∠BAC=85°,∠ABC=30°,那么∠DCA=( )∠CDA=( ),∠BCA=( ),∠DAC=( ).
3.下图是数学兴趣小组的同学拼接的一个图案，其中△ABCDEF,写出这两个三角形中相等的边和相等的角.
【思维拓展】
如图，已知△ABC△DEB,点E在AB上，AC与BD交于点F,AB=6,BC=3,∠C=55°,∠D=25°.
(1)求AE的长：
(2)求∠AED的度数.
全等三角形（第二课时到第七课时）
【学习目标】
1.通过画图、叠合、实验、观察等数学活动猜想判断三角形全等所需的条件.
2.通过操作验证，探索三角形全等的判定方法，说出它们的联系及判定两个三角形全等的思路.
3.选择合适的判定方法解决三角形边角问题，说出如何用三角形全等求角相等、线段相等.
【学习重难点】
选择合适的判定方法解决三角形边角问题，说出如何用三角形全等求角相等、线段相等.
【学习任务】 探索三角形全等的判定方法
---猜想判定三角形全等所需的条件
用硬纸板任意剪一个三角形，用它做模板，在下面画出两个不重合的三角形，使它们分别满足（1)有一条公共边：(2)有一个公共角.它们都全等吗？
1.通过探究，两个三角形有一对元素（一对边或一对角）相等，能保证它们全等吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举出反例.
2.只根据两个三角形有两对元素（①两对边②两对角③一对边加一对角）分别相等，能保证它们全等吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举出反例.
[猜想]最少几对元素相等，就可以判断两个三角形全等？
---探索三角形全等的判定方法
根据我们对全等三角形定义的理解，满足这六对元素就可以保证,对两个三角形来说六个元素（三条边、三个角）中，至少需要有三个元素分别相等，这两个三角形才全等.
利用拼接条动手实验，或用刻度尺和量角器画三角形（在三角形上标注和字母和数据）,分析自己画的图形，或把你的三角形与其他同学画的三角形进行比较，将你画的三角形剪下，放到其他同学画的三角形上，看看是否完全重合，并记录你的发现.
实验一：已知三条边
如果从边的角度，满足三条边分别相等就能说明这两个三角形全等呢？用拼接条拼接说明.
实验二：已知三个角
如果从角的角度，满足三个角分别相等就能说明这两个三角形全等呢？画图说明.
实验三：已知边和角
如果从边和角的角度，要使得两个三角形全等，需要满足哪几个条件呢？
1.在两个三角形的一边一角分别相等的基础上，若再添加一个条件：另一边也分别相等（举例,等角为70°),可以画出几种情况？怎样画才能确保这两个三角形全等呢？通过实验分别进行研究，并分别画图说明.
2.在两个三角形的一边一角分别相等的基础上，若再添加一个条件：另一角也分别相等（举例， =50°, =80°,相等的边为10cm ),可以画出几种情况？怎样画才能确保这两个三角形全等呢？通过实验分别进行研究，并分别画图说明。
【归纳生成】
实验操作结论梳理：三角形全等的判定方法
仿照下面的书写格式，结合图形，分别用符号语言表示出其它判定方法：
[拓展思考]通过以上问题的研究，小阿认为可以把AAS与ASA概括成“满足两角及一边分别相等的两个三角形全等”.你同意他的意见吗？如果不同意，请举例说明.两个直角三角形全等有特殊的判定方法吗？
——选择合适的判定方法解决边角问题
1.如图所示为参加《趣味数学》的同学做的风筝骨架，已知AB=AC,AD=AE,△ABE △ACD全等吗？说明你的理由.
2.已知多边形ADBC是由两个全等的三角形组合而成的小阿同学不小心将△ABC损坏了，同学们奋力修补之后如图所示，经测量发现∠1=∠2,∠3=∠4,同学们的修补的图案符合要求吗？为什么？
3.如图是简易风筝骨架，已知AD=AE,∠B=∠C.请判断风筝骨架是否合格（若BE和CD相等，则此风筝质量合格）,并说明理由.
4.如图在这个风筝制作过程中，已知AB=CB,AD=CD,若∠A=∠C则风筝合格.请判断是否合格，并说明理由.
5.如图，AC与BD交于点0,AD=CB,E、F是BD上两点，且∠D=∠B,DF=BE.
请证明下列结论：(1)AE=CF:(2)AE//CF.
6.如图所示，AB=CD,点A,E,F,C在同一直线上，DE⊥AC,BF⊥AC,E,F是垂足，DE=BF,求证：AE=CF
7.如图所示，∠ACB和∠ADB都是直角，BC=BD,E是AB上任意一点.
求证：(1)△ABC△ABD; (2) CE = DE.
【归纳生成】
尝试总结如何用三角形全等求角相等、线段相等.
全等三角形（第八课时、第九课时）
【学习目标】
1.用尺规作已知角的平分线.
2.了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的质.
3.会利用角的平分线的性质进行证明与计算.
【学习重难点】
了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的质.
【学习任务】 角的平分线的性质
--用尺规完成基本作图
尺规作图是起源于古希腊的数学课题，是指用没有刻度的直尺和圆规作图.最基本、最常用的尺规作图通常称“基本作图”，一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的.利用尺规作图可以解决许多几何作图问题，动手试一试吧！
问题1: 用尺规作一条线段等于已知线段.
请用尺规作出线段AB=a .对比用刻度尺画出的线段，你认为哪一种方式绘制的图形是精确的？
问题2:用尺规作一个角等于已知角.
(1)如图，已知：∠AOB
求作：∠AOB,使
(保留作图痕迹，并写出作法）
(2)上述作图的依据是什么？
问题3:用尺规作已知角的角平分线.
【实践生成】
总结尺规作图中直尺和圆规的特点及作用.尺规作图过程中需要注意什么？
--探索角的平分线的性质
在S区有一个集贸市场P,它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路.
问题1:怎样修建道路最短？
问题2:从P点到哪条路的距离更近呢？
如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边）,然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？试着证明你的结论.
【归纳生成】
角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
--利用角的平分线的性质进行证明
1.如图所示，BD是∠ABC的平分线，AB BC,点P在BD上，PM AD,PN⊥CD,垂足分别是M.N.求证：PM=PN.
2.如图所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P,且PET
AB,PF⊥AC,垂足分别为E, F.
(1)求证：PE=PF;
(2)若∠BAC=60°,连接AP,求∠EAP的度数.
3.如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC,∠C=90°,DE」AB于点E,点F在AC上，BD = DF.
(1)求证：CF=EB;
(2)若AB=12,AF=8,求CF的长.
全等三角形（第十课时）
【学习目标】
围绕全等三角形性质、判定进行二次过关，灵活应用全等三角形思想解决综合问题.
【学习重难点】
围绕全等三角形性质、判定进行二次过关，灵活应用全等三角形思想解决综合问题.
【学习任务】
应用全等三角形解决综合问题.
【单元拓展】
1.如图，在正方形网格中，∠1+∠2+∠3=
2.如图，AB=8cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=6cm,点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动它们运动的时间为ts.
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，判断线段PC与PQ满足的关系，并说明理由；
(2)如图，将AC⊥AB,BD⊥AB改为∠CAB=∠DBA=a°,其他条件不变.设点Q的运动速度为x cm/s,是否存在x,使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由.
图形与几何：全等三角形
单元概述
【单元内容】
全等三角形是三角形一章的延续，从对一个三角形的探究扩展到两个三角形关系的探究.全等三角形是最简单、最基本的全等形，在现实生活中有着广泛的应用.全等形及全等三角形为探究角相等、线段相等提供了一种新的方法，全等三角形的概念、性质与判定是本单元的核心内容，是研究轴对称、等腰三角形、平行四边形和圆等几何图形的基础.
【课标要求】
核心素养：
抽象能力、几何直观、空间观念、推理能力、模型观念、应用意识、创新意识
【内容要求】
1.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角.
2.掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；
三边分别相等的两个三角形全等.
3.证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
4.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。
5.能尺规作图：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；
【学业要求】
在直观理解和掌握图形与几何基本事实的基础上，经历得到和验证数学结论的过程，感悟具有传递性的数学逻辑，形成几何直观和推理能力：经历尺规作图的过程，增强动手能力，能想象出通过尺规作图的操作所形成的图形，理解尺规作图的基本原理与方法，发展空间观念和空间想象力。
【单元目标】
1.通过经历图形重合的过程，认识图形的全等，能够辨认全等形，全等三角形，能识别全等三角形中的对应边、对应角，会用符号表示两个三角形全等。（几何直观、抽象能力、模型观念）
2.通过画图、叠合、思考和交流等活动，探索判定三角形全等的方法，并能用这些方法判定两个三角形全等。（几何直观、推理能力）
3.通过试一试，画一画的活动，能用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，并会利用尺规作图作三角形，会作已知角的平分线。（几何直观）
4.在多种形式的数学活动中，体会合情推理探索数学结论的过程，发展演绎推理的能力，会利用三角形的全等解决简单的实际问题，体验数学与生活的关系。（模型观念、应用意识）
5.通过搭建本章知识结构，画出常见的全等图形，积累数学活动经验，进一步体会知识之间的前后联系。（创新意识）
全等三角形（第一课时）
【学习目标】
1.通过实例理解全等形的概念和特征，能识别图形全等.
2.知道全等三角形的有关概念，能正确找出对应顶点、对应边、对应角；掌握全等三角形对应边相等，对应角相等的性质.
3.能运用性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题.
【学习重难点】
知道全等三角形的有关概念，能正确找出对应顶点、对应边、对应角；掌握全等三角形对应边相等，对应角相等的性质.
【学习任务】 全等三角形的对应关系
学习活动1-----认识全等形
在这幅精美的图画中，你能找到哪些形状和大小都相同的图案？
【问题探究】
1.观察四组图形，你发现了什么？如果把每一对中的两个图形用合适的方式叠在一起它们能够完全重合吗？
2.你能再举出生活中的一些类似例子吗？
3.上述图形的共同特征是？
【归纳生成】
能够重合的两个图形称为全等图形.
---探究全等三角形的性质
【合作探究】
1.将△ABC按要求在三个图中依次操作。体验“平移、翻折、旋转前后的两个图形全等”.
2.把自制的一对全等三角形纸片重合 你发现对应边、对应角有什么关系，并将上述性质用符号语言表示.
3.将手中两个全等的三角形摆放成如图的两种形式，分别找出对应边和对应角.
【归纳生成】
1.在书写两个三角形全等时应当注意什么？
2.总结识别全等三角形中的对应边和对应角的方法.
【学习评测】
1.如图，△ABCDEF,AB=DE,则∠A的对应角是（ ），BC的对应边是( ).
2.如图，已知△ABCCDA,∠BAC=85°,∠ABC=30°,那么∠DCA=( )∠CDA=( ),∠BCA=( ),∠DAC=( ).
3.下图是数学兴趣小组的同学拼接的一个图案，其中△ABCDEF,写出这两个三角形中相等的边和相等的角.
【思维拓展】
如图，已知△ABC△DEB,点E在AB上，AC与BD交于点F,AB=6,BC=3,∠C=55°,∠D=25°.
(1)求AE的长：
(2)求∠AED的度数.
全等三角形（第二课时到第七课时）
【学习目标】
1.通过画图、叠合、实验、观察等数学活动猜想判断三角形全等所需的条件.
2.通过操作验证，探索三角形全等的判定方法，说出它们的联系及判定两个三角形全等的思路.
3.选择合适的判定方法解决三角形边角问题，说出如何用三角形全等求角相等、线段相等.
【学习重难点】
选择合适的判定方法解决三角形边角问题，说出如何用三角形全等求角相等、线段相等.
【学习任务】 探索三角形全等的判定方法
---猜想判定三角形全等所需的条件
用硬纸板任意剪一个三角形，用它做模板，在下面画出两个不重合的三角形，使它们分别满足（1)有一条公共边：(2)有一个公共角.它们都全等吗？
1.通过探究，两个三角形有一对元素（一对边或一对角）相等，能保证它们全等吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举出反例.
2.只根据两个三角形有两对元素（①两对边②两对角③一对边加一对角）分别相等，能保证它们全等吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举出反例.
[猜想]最少几对元素相等，就可以判断两个三角形全等？
---探索三角形全等的判定方法
根据我们对全等三角形定义的理解，满足这六对元素就可以保证,对两个三角形来说六个元素（三条边、三个角）中，至少需要有三个元素分别相等，这两个三角形才全等.
利用拼接条动手实验，或用刻度尺和量角器画三角形（在三角形上标注和字母和数据）,分析自己画的图形，或把你的三角形与其他同学画的三角形进行比较，将你画的三角形剪下，放到其他同学画的三角形上，看看是否完全重合，并记录你的发现.
实验一：已知三条边
如果从边的角度，满足三条边分别相等就能说明这两个三角形全等呢？用拼接条拼接说明.
实验二：已知三个角
如果从角的角度，满足三个角分别相等就能说明这两个三角形全等呢？画图说明.
实验三：已知边和角
如果从边和角的角度，要使得两个三角形全等，需要满足哪几个条件呢？
1.在两个三角形的一边一角分别相等的基础上，若再添加一个条件：另一边也分别相等（举例,等角为70°),可以画出几种情况？怎样画才能确保这两个三角形全等呢？通过实验分别进行研究，并分别画图说明.
2.在两个三角形的一边一角分别相等的基础上，若再添加一个条件：另一角也分别相等（举例， =50°, =80°,相等的边为10cm ),可以画出几种情况？怎样画才能确保这两个三角形全等呢？通过实验分别进行研究，并分别画图说明。
【归纳生成】
实验操作结论梳理：三角形全等的判定方法
仿照下面的书写格式，结合图形，分别用符号语言表示出其它判定方法：
[拓展思考]通过以上问题的研究，小阿认为可以把AAS与ASA概括成“满足两角及一边分别相等的两个三角形全等”.你同意他的意见吗？如果不同意，请举例说明.两个直角三角形全等有特殊的判定方法吗？
——选择合适的判定方法解决边角问题
1.如图所示为参加《趣味数学》的同学做的风筝骨架，已知AB=AC,AD=AE,△ABE △ACD全等吗？说明你的理由.
2.已知多边形ADBC是由两个全等的三角形组合而成的小阿同学不小心将△ABC损坏了，同学们奋力修补之后如图所示，经测量发现∠1=∠2,∠3=∠4,同学们的修补的图案符合要求吗？为什么？
3.如图是简易风筝骨架，已知AD=AE,∠B=∠C.请判断风筝骨架是否合格（若BE和CD相等，则此风筝质量合格）,并说明理由.
4.如图在这个风筝制作过程中，已知AB=CB,AD=CD,若∠A=∠C则风筝合格.请判断是否合格，并说明理由.
5.如图，AC与BD交于点0,AD=CB,E、F是BD上两点，且∠D=∠B,DF=BE.
请证明下列结论：(1)AE=CF:(2)AE//CF.
6.如图所示，AB=CD,点A,E,F,C在同一直线上，DE⊥AC,BF⊥AC,E,F是垂足，DE=BF,求证：AE=CF
7.如图所示，∠ACB和∠ADB都是直角，BC=BD,E是AB上任意一点.
求证：(1)△ABC△ABD; (2) CE = DE.
【归纳生成】
尝试总结如何用三角形全等求角相等、线段相等.
全等三角形（第八课时、第九课时）
【学习目标】
1.用尺规作已知角的平分线.
2.了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的质.
3.会利用角的平分线的性质进行证明与计算.
【学习重难点】
了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的质.
【学习任务】 角的平分线的性质
--用尺规完成基本作图
尺规作图是起源于古希腊的数学课题，是指用没有刻度的直尺和圆规作图.最基本、最常用的尺规作图通常称“基本作图”，一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的.利用尺规作图可以解决许多几何作图问题，动手试一试吧！
问题1: 用尺规作一条线段等于已知线段.
请用尺规作出线段AB=a .对比用刻度尺画出的线段，你认为哪一种方式绘制的图形是精确的？
问题2:用尺规作一个角等于已知角.
(1)如图，已知：∠AOB
求作：∠AOB,使
(保留作图痕迹，并写出作法）
(2)上述作图的依据是什么？
问题3:用尺规作已知角的角平分线.
【实践生成】
总结尺规作图中直尺和圆规的特点及作用.尺规作图过程中需要注意什么？
--探索角的平分线的性质
在S区有一个集贸市场P,它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路.
问题1:怎样修建道路最短？
问题2:从P点到哪条路的距离更近呢？
如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边）,然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？试着证明你的结论.
【归纳生成】
角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
--利用角的平分线的性质进行证明
1.如图所示，BD是∠ABC的平分线，AB BC,点P在BD上，PM AD,PN⊥CD,垂足分别是M.N.求证：PM=PN.
2.如图所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P,且PET
AB,PF⊥AC,垂足分别为E, F.
(1)求证：PE=PF;
(2)若∠BAC=60°,连接AP,求∠EAP的度数.
3.如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC,∠C=90°,DE」AB于点E,点F在AC上，BD = DF.
(1)求证：CF=EB;
(2)若AB=12,AF=8,求CF的长.
全等三角形（第十课时）
【学习目标】
围绕全等三角形性质、判定进行二次过关，灵活应用全等三角形思想解决综合问题.
【学习重难点】
围绕全等三角形性质、判定进行二次过关，灵活应用全等三角形思想解决综合问题.
【学习任务】
应用全等三角形解决综合问题.
【单元拓展】
1.如图，在正方形网格中，∠1+∠2+∠3=
2.如图，AB=8cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=6cm,点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动它们运动的时间为ts.
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，判断线段PC与PQ满足的关系，并说明理由；
(2)如图，将AC⊥AB,BD⊥AB改为∠CAB=∠DBA=a°,其他条件不变.设点Q的运动速度为x cm/s,是否存在x,使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由.