数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.2.3简单复合函数的导数 课件（共18张ppt）

(共18张PPT)
第五章 一元函数的导数及应用
5.2.3 简单复合函数的导数
学习目标
1、理解复合函数的概念
2、掌握复合函数的求导法则
3、能利用复合函数的求导法则与四则运算法则解决综合的求导问题
函数的加、减、乘、除的导数运算法则：
复习回顾
探究新知
思考 如何求函数y=ln(2x－1)的导数？
函数y= ln(2x－1)不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的, 所以无法用现有的方法求它的导数.
若设 ，则y=lnu，从而函数y=ln(2x－1)可以看成是由y=lnu和
复合而成的一个复合函数.
把y与u的关系记作y=f(u)，u与x的关系记作u=g(x)，那么这个“复合”过程可表示为 y=f(u)=f(g(x))= ln(2x－1).
思考 函数y=ln(2x－1)有什么结构特点？
y通过中间变量u表示成x的函数.
探究新知
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数. 记作：y=f(g(x)).
1.复合函数：
函数y=sin2x是由y=sinu和u=2x复合而成.
例如，函数y=ln(2x－1)是由y=lnu和 复合而成.
例题讲解
是
不是
不是
是
不是
是
是
不是
以下函数是由哪些函数复合而成的？
（1）y＝log2(x＋1)
（2）y＝(3x+5)3
（3）y＝e－0.05x＋1
y=log2u和u=x+1
y=u3和u=3x+5
y=eu和u=－0.05x+3
小试牛刀
探究:如何求复合函数的导数？以函数 y=sin2x 为例，研究其导数.
y′ =(sin2x)′=(2sinxcosx)′=2 (sinxcosx)′
=2[ (sinx)′cosx + sinx (cosx)′]
= 2[cos2x-sin2x]=2cos2x
追问：函数y＝sin2x是由y＝sinu和u=2x复合而成的，如果以 y′x 表示 y 对 x 的导数, 以 y′u 表示 y 对 u 的导数, 以 u′x 表示 u 对 x 的导数，那么y′x与y′u及u′x有什么关系呢？
y′u =(sinu)′= cosu, u′x =(2x)′=2.
又 y′x =2cos2x,
可以发现，y′x =2cos2x=cosu·2= y′u · u′x.
一般地，对于由函数y＝f (u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f (g(x))，它的导数与函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
复合函数的求导法则
y′x＝y'u· u′x
结构特点
[f (g(x))]′=f ′(g(x)) · g′(x)
结果显示
思考 如何求函数y=ln(2x－1)的导数？
函数 y＝ln(2x-1)可以看成是由 y＝lnu 和 u＝2x-1 复合而成
以y′u 表示对 u 求导, 以u′x表示对x求导
因为y'u＝(lnu)'＝ , u'x＝2,
所以y'x ＝ y'u · u'x ＝ ·2 =
典例分析
例6 求下列函数的导数:
解：
探究新知
1．求复合函数的导数的步骤
2．求复合函数的导数的注意点
(1)分解的函数通常为基本初等函数；
(2)求导时分清是对哪个变量求导；
(3)计算结果尽量简洁．　
课本P81
巩固2：抽象复合函数的导数
2. 求下列函数在给定点处的导数:
解：
课本P81
例3.某个弹簧震子在震动过程中的位移y(单位:mm) ,关于时间t(单位:s)的函数满足关系式 .求函数y在t=3s时的导数，并解释它的实际意义.
解：函数 是y=18sinu 与 的复合函数,
则
当t=3时，
它表示当t=3时，弹簧震子的瞬时速度为0mm/s.
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数. 记作：y=f(g(x)).
1. 复合函数：
2. 复合函数的导数法则：
3.复合函数求导的步骤：
课堂小结