2.1圆柱的侧面积、表面积和体积（讲义）-2023-2024学年数学六年级下册同步培优讲义（苏教版）（含解析）

2.1圆柱的侧面积、表面积和体积（讲义）
1．圆柱的侧面积、表面积和体积
【知识点归纳】
圆柱的侧面积＝底面的周长×高，用字母表示：
S侧＝Ch（C表示底面的周长，h表示圆柱的高），或S侧＝2πrh
圆柱的底面积＝πr2
圆柱的表面积＝侧面积+两个底面积，用字母表示：
S表＝2πr2+2πrh
圆柱的体积＝底面积×高，用字母表示：
V＝πr2h．
一．选择题（共6小题）
1．一个圆柱形的通风管，底面半径是5厘米，通风管长20厘米，制作该通风管需要铁皮（　　）平方厘米。
A．50π B．200π C．225π D．250π
2．一个圆柱形易拉罐的侧面贴着商标纸，圆柱底面半径是3cm，高是10cm。这张商标纸的面积是（　　）cm2。
A．188.4 B．282.6 C．94.2
3．下列不需要用“转化”策略解决问题的是（　　）
A．计算：1.2×1.5→12×15÷100→ →
B．画对称轴图形
C．推导圆柱的体积公式
4．一个长方形的长是6cm，宽是4cm。如图所示，以长为轴旋转一周形成圆柱甲，以宽为轴旋转一周形成圆柱乙，下面说法正确的是（　　）
A．圆柱甲的底面积比圆柱乙的底面积大
B．圆柱甲的底面积和圆柱乙的底面积相等
C．圆柱甲的表面积和圆柱乙的表面积相等
D．圆柱甲的体积比圆柱乙的体积小
5．把一个正方体木块削成一个最大的圆柱，圆柱的体积是正方体体积的（　　）
A．60% B．66.7% C．78.5%
6．做一个无盖的圆柱形笔筒（如图），底面直径为8cm，高为12cm，至少需要（　　）cm2的材料。
A．351.68 B．502.4 C．301.44 D．401.92
二．填空题（共7小题）
7．圆柱的体积不变，如果底面半径扩大到原来的2倍，高应该 　 　。
8．用一张长20厘米、宽15厘米的长方形纸卷成一个圆柱形纸筒（接头处刚好对接，没有重叠），纸筒的侧面积是 　 　平方厘米。
9．如图正好做成一个圆柱体，这个圆柱体的表面积是 　 　dm2，做成的这个圆柱体的体积 　 　dm3。
10．两个圆柱的高相等，底面半径的比为2：5，则它们的体积之比为 　 　。
11．一根圆柱形木料长3米，把它截成相等的3段后，表面积增加了96平方厘米，这根圆柱形木料原来的体积是 　 　立方厘米。
12．如图，已知圆柱的底面半径是5厘米，高是10厘米，求这个圆柱的体积。小红没用体积公式直接计算，而是根据圆柱的体积计算公式的推导过程，分步求结果。请完成第二步和第三步的列式计算。
第一步：3.14×5×2×10＝314平方厘米；
第二步：　 　平方厘米；
第三步：　 　立方厘米。
13．把一个圆柱沿底面直径切成两个半圆柱（如图），表面积增加了80cm2，如果把它横截成两个圆柱，表面积会增加 　 　cm2。
三．判断题（共7小题）
14．侧面积相等的两个圆柱，表面积可能相等也可能不相等。 　 　
15．把一个圆柱体切拼成一个近似的长方体，表面积和体积都不变。 　 　
16．如果两个圆柱的体积相等，则它们的底面积和高一定相等。 　 　
17．表面积相等的两个圆柱，它们的体积也相等．　 　．
18．如果两个圆柱体积相等，它们不一定是等底等高．　 　．
19．一个圆柱的底面半径扩大到原来的4倍，高不变，体积扩大到原来的8倍。 　 　
20．圆柱的侧面积＝底面周长×高，如果把长方体的前、后、左、右四个面称为侧面，那么，长方体的侧面积也可以用“底面周长×高”计算。 　 　
四．计算题（共3小题）
21．计算下面图形的表面积和体积．（单位：m）
22．计算以长方形AB为轴旋转一周所形成的立体图形的体积．
23．计算下面环形的体积．（单位：cm）
五．应用题（共7小题）
24．小红做实验时要将装在长方体容器中的酒精溶液（如图1），倒入圆柱体容器中（如图2），请问酒精溶液在圆柱体容器中的液面高度是多少分米？（图中单位为“分米”）
25．一个底面内直径是8cm的瓶子里，水的高度是15cm，把瓶盖拧紧，把瓶子倒置放平，无水部分是圆柱形，高度是10cm。这个瓶子的容积是多少毫升？
26．一个高为20cm的圆柱，如果它的高增加3cm，则它的表面积就增加150.72cm2，这个圆柱的体积是多少？
27．有一个圆柱形无盖铁皮水桶，底面半径是2dm，高是4dm．用这个铁皮水桶装了一些水，水的高度是桶高的．
（1）做这个水桶需要铁皮多少平方分米？
（2）把这些水倒入下面这个长方体玻璃鱼缸中，水面的高度是多少分米？（得数保留一位小数）
28．一个圆柱形零件，它的底面半径是2cm，高是3cm。它的体积是多少立方厘米？
29．小明用一个圆柱形水桶帮奶奶打水，这个水桶从里面量直径是30cm，高是40cm。他一共打了4次水（如图），并全部倒入一个长方体空水缸里，刚好装了这个水缸的。这个水缸的容积是多少升？
30．母亲节时，亮亮送给妈妈一个水杯作为礼物（如图）。图中涂色部分是一层装饰套，既美观又避免烫手，做这个装饰套需要多少平方厘米的材料？
2.1圆柱的侧面积、表面积和体积（讲义）-2023-2024学年数学六年级下册同步培优讲义（苏教版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．【答案】B
【分析】根据题意可知圆柱形通风管需要铁皮的面积是圆柱形通风管的侧面积；根据圆柱的侧面积＝底面周长×高进行计算，即可求出这个圆柱形通风管需要铁皮的面积。
【解答】解：2π×5×20
＝10π×20
＝200π（平方厘米）
答：制作该通风管需要铁皮200π平方厘米。
故选：B。
【点评】本题考查圆柱的侧面积的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。
2．【答案】A
【分析】根据圆柱的侧面积公式：S＝2πrh，把数据代入公式解答。
【解答】解：2×3.14×3×10
＝18.84×10
＝188.4（平方厘米）
答：这张商标纸的面积是188.4平方厘米。
故选：A。
【点评】此题主要考查圆柱侧面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
3．【答案】B
【分析】A.计算第一个算式时把小数乘法转化为整数乘法，计算第二个算式时，把异分母分数加法转化为同分母分数加法，计算第三个算式时，把分数除法转化为分数乘法，都运用了“转化”策略；
B.画对称轴图形时，对称轴的另一半与原来的一半完全相同，不存在“转化”策略；
C.推导圆柱的体积公式时，把圆柱转化为长方体，运用了“转化”策略。据此解答。
【解答】解：由分析可得，计算小数乘法、异分母加减法和分数除法和推导圆柱的体积公式时，都运用了“转化”策略，而画对称轴图形时，没有运用“转化”策略。
故选：B。
【点评】本题考查“转化”策略的应用。关键是熟练掌握“转化”思想在数学中的运用。
4．【答案】D
【分析】利用圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高，圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积，圆柱的体积＝底面积×高分别进行计算即可。
【解答】解：圆柱甲的底面积＝3.14×4×4＝50.24（cm2），
圆柱甲的侧面积＝3.14×4×2×6＝150.72（cm2），
圆柱甲的表面积＝50.24×2+150.72＝251.2（cm2），
圆柱甲的体积＝3.14×4×4×6＝301.44（cm3）；
圆柱乙的底面积＝3.14×6×6＝113.04（cm2），
圆柱乙的侧面积＝3.14×6×2×4＝150.72（cm2），
圆柱乙的表面积＝113.04×2+150.72＝376.8（cm2），
圆柱乙的体积＝3.14×6×6×4＝452.16（cm3），
故选：D。
【点评】本题考查的是圆柱的侧面积，表面积和体积的应用。解决这类问题的关键是熟练记忆公式，并能灵活运算。
5．【答案】C
【分析】把一个正方体木块削成一个最大的圆柱，正方体的棱长与圆柱的底面直径和高相等，根据正方体的体积公式：V＝a3，圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式分别求出它们的体积，然后根据求一个数是另一个数的百分之几，用除法解答。
【解答】解：设正方体的棱长是1。
正方体的体积是：
1×1×1＝1
圆柱的体积是：
3.14×（1÷2）2×1
＝3.14×0.25×1
＝0.785
0.785÷1×100%＝78.5%
答：圆柱的体积是正方体体积的78.5%。
故选：C。
【点评】本题关键是找出圆柱体的底面直径和高与正方体的棱长之间的关系，然后设出数据，求出它们的体积，进而求解。
6．【答案】A
【分析】已知笔筒无盖，根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。
【解答】解：3.14×8×12+3.14×（8÷2）2
＝25.12×12+3.14×16
＝301.44+50.24
＝351.68（平方厘米）
答：至少需要351.68平方厘米的材料。
故选：A。
【点评】此题主要考查圆柱的侧面积公式、圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
二．填空题（共7小题）
7．【答案】缩小到原来的四分之一。
【分析】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，圆柱的底面积就扩大到原来的4倍，要使圆柱的体积不变，高应该缩小到原来的四分之一。据此解答。
【解答】解：2×2＝4
4÷4＝1
答：高应该缩小到原来的四分之一。
故答案为：缩小到原来的四分之一。
【点评】此题主要考查圆柱体积公式的灵活运用，积不变的性质及应用。
8．【答案】300。
【分析】由题意可知，圆柱形纸筒的侧面积等于长方形纸的面积，利用“长方形的面积＝长×宽”求出纸筒的侧面积，据此解答。
【解答】解：20×15＝300（平方厘米）
答：纸筒的侧面积是300平方厘米。
故答案为：300。
【点评】本题主要考查计算圆柱的侧面积，理解圆柱的侧面积等于长方形的面积是解答题目的关键。
9．【答案】282.6，339.12。
【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高，已知圆柱底面直径的2倍是12分米（也就是圆柱的高是12分米），据此可以求出圆柱的底面直径，根据圆柱的表面积＝侧面积+底面积×2，圆柱的体积＝底面积×高，把数据代入公式解答。
【解答】解：12÷2＝6（分米）
3.14×6×12+3.14×（6÷2）2×2
＝18.84×12+3.14×9×2
＝226.08+56.52
＝282.6（平方分米）
3.14×（6÷2）2×12
＝3.14×9×12
＝28.26×12
＝339.12（立方分米）
答：这个圆柱的表面积是282.6平方分米，体积是339.12立方分米。
故答案为：282.6，339.12。
【点评】此题主要考查圆柱的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
10．【答案】见试题解答内容
【分析】两个圆柱的高相等，它们体积的比等于它们底面积的比，它们底面积的比等于底面半径比的平方，据此解答。
【解答】解：两个圆柱的高相等，底面半径的比为2：5，它们体积的比是：
22：52＝4：25
故答案为：4：25。
【点评】解答此题的关键在于掌握圆柱高不变，体积和底面积成正比例，以及圆半径变化引起面积变化的规律。
11．【答案】7200。
【分析】由题意可知：把圆柱体木料锯成相等的3段，要锯3﹣1＝2次，共增加（2×2）个底面；也就是说，增加的96平方厘米是4个底面的面积，由此可求出一个底面的面积，进而可求出原来木料的体积。
【解答】解：2×（3﹣1）＝4（个）
3米＝300厘米
96÷4×300
＝24×300
＝7200（立方厘米）
答：原来这根木料的体积是7200立方厘米。
故答案为：7200。
【点评】此题是求体积的复杂应用题，要注意分析题中增加的表面积是哪些面的面积。
12．【答案】314÷2＝157；157×5＝785。
【分析】圆柱转化成长方体体积不变，长方形的底面积是圆柱的侧面积的一半，此时长方体的高等于圆柱的底面半径，长方体体积＝底面积×高。第一步求圆柱的侧面积，第二步求出长方体的底面积，第二步用“长方体底面积×高”求出体积。
【解答】解：第一步：3.14×5×2×10＝314（平方厘米）
第二步：314÷2＝157（平方厘米）
第三步：157×5＝785（立方厘米）
故答案为：314÷2＝157；157×5＝785。
【点评】本题考查转化思想的应用。关键是找到圆柱侧面积与长方体底面积之间的关系。
13．【答案】25.12。
【分析】根据题意，把一个圆柱沿底面直径切成两个半圆柱，表面积增加了80平方厘米，表面积增加的是两个切面的面积，每个切面的长等于圆柱的高，每个切面的宽等于圆柱的底面直径；如果把它横截成两个圆柱，表面积增加的是与圆柱底面相等的两个切面的面积，根据圆的面积公式：S＝πr2，解答即可。
【解答】解：圆柱的底面直径是：80÷2÷10＝4（厘米）
圆柱的底面半径是：4÷2＝2（厘米）
如果把它横截成两个圆柱，表面积会增加：
3.14×22×2
＝12.56×2
＝25.12（平方厘米）
答：如果把它横截成两个圆柱，表面积会增加25.12平方厘米。
故答案为：25.12。
【点评】本题考查了圆柱表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式，重点先求出圆柱的底面半径，结合题意分析解答即可。
三．判断题（共7小题）
14．【答案】√
【分析】圆柱侧面积＝底面周长×高，圆柱的侧面积相等是底面周长和高的积相等，并不代表两个圆柱的底面半径相同，因为圆柱表面积＝侧面积+底面积×2，所以不能判断两个圆柱的表面积是否相等，据此分析解答即可。
【解答】解：圆柱侧面积＝底面周长×高，圆柱的侧面积相等是底面周长和高的积相等，并不代表两个圆柱的底面半径相同，因为圆柱表面积＝侧面积+底面积×2，虽然侧面积相等，但不确定底面积也相同，所以两个圆柱的表面积可能相等也可能不相等，即原题干说法正确。
故答案为：√。
【点评】解答此题的关键是掌握圆柱的侧面积、表面积计算公式。圆柱侧面积＝底面周长×高，圆柱表面积＝侧面积+底面积×2。
15．【答案】×
【分析】抓住立体图形的切拼方法，分别得出切割前后它们的体积与表面积的变化特点即可解答。
【解答】解：根据立体图形的切拼方法可知：圆柱体切拼成一个长方体后，体积大小不变，表面积增加2个半径乘高的面积，所以表面积变大了。
题干说法错误。
故答案为：×。
【点评】此题考查了圆柱切拼长方体的方法的灵活应用。
16．【答案】×
【分析】圆柱的体积等于底面积乘高，体积相等，底面积和高不一定相等。
【解答】解：圆柱的体积等于底面积乘高，体积相等，底面积和高不一定相等。
故答案为：×。
【点评】理解圆柱体积的计算公式是解决本题的关键。
17．【答案】×
【分析】根据圆柱的表面积、体积公式：圆柱的表面积＝侧面积+底面积×2，圆柱的体积＝底面积×高，除非它们的底面积和高分别相等，体积才会相等，如果它们的底面积和高各不相等，体积就不相等；可以如果举例来证明，由此解答．
【解答】解：比如，第一个圆柱体的底半径是r1＝2，高是h1＝10，
表面积S1＝2×3.14×2×10+3.14×22×2
＝12.56×10+12.56×2
＝125.6+25.12
＝150.72；
第二个圆柱的底半径是r2＝4，高h2＝2，
表面积S2＝2×3.14×4×2+3.14×42×2
＝25.12×2+3.14×16×2
＝50.24+100.48
＝150.72；
显然S1＝S2；
V1＝3.14×22×10
＝3.14×4×10
＝125.6；
V2＝3.14×42×2
＝3.14×16×2
＝100.48；
但是V1≠V2；
所以表面积相等的两个圆柱，它们的体积也相等．此说法错误．
故答案为：×．
【点评】此题主要根据圆柱的体积和表面积的计算方法进行判断，可以通过举例来证明，更有说服力．
18．【答案】√
【分析】根据圆柱的体积公式V＝sh，可以通过举反例的方法进行判断．
【解答】解：设圆柱1的底面积是5，高是10，则体积是：5×10＝50；
设圆柱2的底面积是10，高是5，则体积是：10×5＝50；
由上述计算可知，圆柱的体积相等，底面积和高不一定相等，
所以原题说法正确．
故答案为：√．
【点评】此题考查了圆柱的体积公式的灵活应用，圆柱的体积＝底面积×高，体积一定时，底面积与高成反比例．
19．【答案】×
【分析】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，再根据因数与积的变化规律，积扩大到原来的倍数等于因数扩大到原来倍数的乘积。据此判断。
【解答】解：4×4＝16
一个圆柱的底面半径扩大到原来的4倍，圆柱的底面积就扩大到原来的16倍，高不变，体积扩大到原来的16倍。
因此题干中的结论是错误的。
故答案为：×。
【点评】此题主要考查圆柱体积公式的灵活运用，因数与积的变化规律及应用。
20．【答案】√
【分析】根据圆柱的侧面积公式：圆柱的侧面积＝底面周长×高，如果把长方体的前、后、左、右四个面称为侧面，那么，长方体的侧面积也可以用“底面周长×高”计算。据此判断。
【解答】解：因为长方体的前后面的面积＝长×高×2，长方体左右面的面积＝宽×高×2，所以长方体的侧面积＝（长+宽）×2×高，也就是长方体的侧面积也可以用“底面周长×高”。
因此题干中的结论是正确的。
故答案为：√。
【点评】此题考查的目的是理解掌握圆柱的侧面积公式及应用，长方体的表面积公式及应用。
四．计算题（共3小题）
21．【答案】见试题解答内容
【分析】圆柱的表面积＝侧面积+底面积×2，圆柱的体积＝底面积×高，将所给数据分别代入相应的公式，即可求出图形的表面积和体积．
【解答】解：表面积：
3.14×8×10+3.14×（8÷2）2×2
＝251.2+100.48
＝351.68（平方米）
体积：
3.14×（8÷2）2×10
＝3.14×16×10
＝502.4（立方米）
答：图形的表面积是351.68平方米，体积是502.4立方米．
【点评】此题主要考查圆柱的表面积和体积的计算方法．
22．【答案】113.04。
【分析】根据题意可知，以长方形的长为轴旋转一周形成一个底面半径是3厘米，高是4厘米的圆柱，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。
【解答】解：3.14×32×4
＝3.14×9×4
＝28.26×4
＝113.04（立方厘米）
答：这个立体图形的体积是113.04立方厘米。
【点评】此题主要考查圆柱体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
23．【答案】见试题解答内容
【分析】观察图形可知，这个图形的体积等于底面直径4厘米、高5厘米和底面直径2厘米、高5厘米的圆柱的体积之差，据此利用圆柱的体积＝πr2h计算即可解答问题．
【解答】解：3.14×（4÷2）2×5﹣3.14×（2÷2）2×5
＝3.14×4×5﹣3.14×1×5
＝62.8﹣15.7
＝47.1（立方厘米）
答：它的体积是47.1立方厘米．
【点评】此题主要考查了圆柱的体积公式的计算应用，熟记公式即可解答问题．
五．应用题（共7小题）
24．【答案】2分米。
【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，圆柱的体积公式：V＝Sh，那么h＝V÷S，把数据代入公式解答。
【解答】解：4×2×3.14＝25.12（立方分米）
3.14×（4÷2）2
＝3.14×4
＝12.56（平方分米）
25.12÷12.56＝2（分米）
答：圆柱体容器中的液面高度是2分米。
【点评】此题主要考查长方体的体积公式、圆柱的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
25．【答案】1256毫升。
【分析】根据题意可知，瓶子无论正放，还是倒放，瓶子里水的体积不变，由此可知，这个瓶子的容积相当于底面直径是8厘米，高是（15+10）厘米的圆柱的容积，根据圆柱的体积（容积）公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。
【解答】解：3.14×（8÷2）2×（15+10）
＝3.14×16×25
＝50.24×25
＝1256（立方厘米）
1256立方厘米＝1256毫升
答：这个瓶子的容积是1256毫升。
【点评】此题主要考查圆柱的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。
26．【答案】4019.2立方厘米。
【分析】根据题意，把这个圆柱的高增加3厘米，表面积就增加150.72平方厘米，表面积增加的是高为3厘米的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式：S＝2πrh，据此可以求出圆柱的底面半径，然后根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。
【解答】解：150.72÷3÷3.14÷2
＝50.24÷3.14÷2
＝16÷2
＝8（厘米）
3.14×82×20
＝3.14×64×20
＝200.96×20
＝4019.2（立方厘米）
答：这个圆柱的体积是4019.2立方厘米。
【点评】此题主要考查圆柱的侧面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式，重点是先求出圆柱的底面半径。
27．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）做一个圆柱形无盖铁皮水桶，需要多少平方分米铁皮，只需要计算侧面积加一个底的面积即可，底面积等于3.14乘半径的平方，侧面积等于底面周长乘高，然后相加即可；
（2）桶内水的高度占桶高度的，求这个桶盛多少升水就是求这个桶的容积是多少，用底面积乘水高再乘列式计算即可算出有多少立方分米水，因为把这些水倒入下面这个长方体玻璃鱼缸中，再根据长方体体积÷底面积＝高，据此解答解答．
【解答】解：
（1）3.14×22+3.14×2×2×4
＝12.56+50.24
＝62.8（平方分米）
答：做这个水桶需要铁皮62.8平方分米．
（2）3.14×22×（4）÷（6×3）
＝37.68÷18
≈2.1（分米）
答：水面的高度是2.1分米．
【点评】本题考查了圆柱体的表面积和体积及长方体体积的计算方法的灵活运用．
28．【答案】37.68立方厘米。
【分析】圆柱的体积＝底面积×高，用字母表示：V＝πr2h，据此解答。
【解答】解：3.14×22×3
＝3.14×12
＝37.68（立方厘米）
答：它的体积是37.68立方厘米。
【点评】本题考查了圆柱体积公式的应用。
29．【答案】113.04升。
【分析】圆柱形水桶的容积＝底面积×高＝πr2h，由此先求出底面半径是30÷2＝15厘米，代入公式即可解答，然后把4桶水体积相加，除以即可得到答案。
【解答】解：30÷2＝15（厘米）
3.14×152×40
＝3.14×225×40
＝28260（立方厘米）
＝28.26（升）
答：这个水桶的容积是28.26升。
28.26×（0.8+0.6+0.7+0.9）
＝28.26×3
＝84.78（升）
84.78
＝84.78
＝113.04（升）
答：这个水缸的容积是113.04升。
【点评】此题考查圆柱形容器的容积公式的计算应用。
30．【答案】125.6平方厘米。
【分析】根据图示可知，装饰套的面积就是求底面直径是8厘米，高5厘米的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式S＝πdh，据此解答即可。
【解答】解：3.14×8×5
＝25.12×5
＝125.6（平方厘米）
答：做这个装饰套需要125.6平方厘米的材料。
【点评】本题考查了圆柱侧面积公式的灵活运用，结合题意分析解答即可。