2.2圆锥的体积（讲义）-2023-2024学年数学六年级下册同步培优讲义（苏教版）（含解析）

2.2圆锥的体积（讲义）
1．圆锥的体积
【知识点归纳】
圆锥体积底面积×高，用字母表示：
VShπr2h，（S表示底面积，h表示高）
一．选择题（共7小题）
1．我国古代数学名著《九章算术》中记载的圆锥体积计算方法是：“下周自乘，以高乘之，三十六而一。”也就是用底面周长的平方乘高，再除以36。这种计算方法，圆周率近似值取3。一个圆锥形的沙堆，底面周长30米，高2米。用这种方法算出的沙堆体积是（　　）立方米。
A．50 B．25 C． D．
2．如图的圆柱与左边圆锥体积相等的是（　　）
A．A B．B C．C D．D
3．一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，圆柱的高是圆锥的高的。圆柱的体积与圆锥的体积比是（　　）
A．2：3 B．3：2 C．2：1
4．把一块长方体锅坯熔铸成一个底面直径为12dm的圆锥形钢件，这个钢件的高是（　　）dm。
A．18 B．6
5．圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，它的体积（　　）
A．不变 B．扩大到原来的2倍
C．缩小到原来的一半 D．扩大到原来的4倍
6．把一个装满水的圆柱形容器中的水倒入与它等底等高的另一个圆锥形容器内，水装满圆锥形容器后还剩下6升。这个圆锥形容器能装水（　　）
A．3升 B．6升 C．9升 D．12升
7．把一根圆柱形钢材削成一个最大的圆锥形后。削掉的部分重6kg，这根圆柱形钢材原来重（　　）
A．8kg B．9kg C．10kg D．12kg
二．填空题（共7小题）
8．如图，将直角三角形以直角边AB为轴旋转一周，所得立体图形的体积是 　 　立方厘米，如果以直角边BC为轴旋转一周，那么所得立体图形的体积是 　 　立方厘米。
9．一个直角三角形的两条直角边分别为a、b，以a为轴旋转一周，我们可以得到一个 　 　，a是它的 　 　，b是它的 　 　；如果a＝1.5厘米，b＝2厘米，那么，按前面要求把直角三角形旋转一周后形成的物体体积是 　 　立方厘米。
10．一个正方体木块的棱长是6分米，把它削成一个最大的圆柱，圆柱的体积是 　 　dm3，再把这个圆柱削成最大的圆锥，圆锥的体积是 　 　dm3。
11．一个圆锥体和一个圆柱体的体积比5：8，它们的底面半径的比是3：2，那么该圆锥体和圆柱体高的比是 　 　。
12．一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和是52dm3，那么这个圆柱的体积是 　 　立方分米。
13．跳跳过生日时，哥哥送给他一个圆锥形的陀螺，陀螺的底面直径是4cm，高是6cm。
（1）这个陀螺的体积是 　 　cm3。
（2）如果用一个长方体的盒子包装这个陀螺，那么这个盒子的容积至少是 　 　cm3。
14．把一个圆柱削成一个最大的圆锥后，削去部分体积比这个圆锥体积大1.2dm3，原来圆柱的体积是 　 　cm3，这个圆锥的体积是 　 　cm3。
三．判断题（共7小题）
15．将一个圆柱形铁块熔铸成一个圆锥，它的体积变小了。 　 　
16．如果圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，那么圆柱的体积是圆锥体积的3倍。 　 　
17．一个圆柱的体积是9.42cm3，和它等底等高的圆锥的体积是28.26cm3。 　 　
18．圆锥体积一定是圆柱体积的三分之一。 　 　
19．圆锥的体积一定，底面积和高成反比例．　 　．
20．圆柱和圆锥的体积比是3：1．　 　．
21．一个圆柱和一个圆锥的高相等，体积也相等，圆柱的底面积是15平方厘米，则圆锥的底面积是5平方厘米．　 　．（判断正误）
四．计算题（共1小题）
22．求圆锥的体积．
五．应用题（共8小题）
23．工地上有一个圆锥形沙堆，沙堆的底面周长是18.84米，高30分米．把它铺在一条长31.4米，宽9米的公路上可以铺多厚？
24．一个长方体容器，从里面量长25cm、宽20cm，里面水深15cm，如果把一个周长62.8cm，高为3cm的圆锥形铁件完全浸没水中，水面将上升多少厘米？
25．一个底面半径为10厘米的圆柱形玻璃杯中装有10厘米深的水，将一个底面直径是2厘米、高是6厘米的圆锥形铅锤放入杯中，水面会上升多少厘米？
26．一个圆锥形木块，沿底面直径分成形状、大小都相同的两半，表面积比原来增加了48平方厘米。已知木块的高是6厘米，木块的体积是多少？
27．一个长15.7厘米、宽10厘米、高18厘米的长方体容器里，放入一个直径是10厘米的圆锥（完全浸没水中）水面上升了2厘米，圆锥的高是多少？
28．有一个圆锥形铁锤，它的底面周长是25.12cm，高是27cm．每立方厘米铁重7.8g，这个铁锤大约重多少克？（得数保留整数）
29．一个圆柱形容器，底面直径6dm，高8dm。它里面装有一些水，水的高度是7dm，现将一个圆锥完全沉入水中，溢出了3.14升水。这个圆锥的体积是多少？
30．如图是一个近似圆锥形的沙堆，修路工人把这堆沙全部铺在6m宽的笔直的小路上，已知沙的厚度是8厘米，求这条小路有多长？
2.2圆锥的体积（讲义）-2023-2024学年数学六年级下册同步培优讲义（苏教版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．【答案】A
【分析】由题意，“下周自乘，以高乘之，三十六而一。”意思就是用底面周长的平方乘高，再除以36，可以得到这个圆锥的体积。
【解答】解：302×2÷36
＝900×2÷36
＝1800÷36
＝50（立方米）
答：沙堆体积是50立方米。
故选：A。
【点评】本题考查了小数的理解分析能力，解决问题的能力。
2．【答案】C
【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的体积相等，底面积也相等时，圆柱的高是圆锥高的。据此解答即可。
【解答】解：124
所以圆柱C与左边圆锥的体积相等。
故选：C。
【点评】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。
3．【答案】C
【分析】根据圆锥的体积公式：VSh，圆柱的体积公式：V＝Sh，设它们的底面积为S，圆锥的高为3h，则圆柱的高为2h，把数据代入公式解答。
【解答】解：设它们的底面积为S，圆锥的高为3h，则圆柱的高为2h。
2Sh：（S×3h）
＝2Sh：Sh
＝2：1
答：圆柱的体积与圆锥的体积比是2：1。
故选：C。
【点评】此题主要考查圆柱的体积公式、圆锥的体积公式的灵活运用，比的意义及应用，关键是熟记公式。
4．【答案】B
【分析】根据长方体的体积与圆锥的体积相等计算即可。
【解答】解：18.84×4×3÷[3.14×（12÷2）2]
＝226.08÷37.68
＝6（分米）
答：这个钢件的高是6分米。
故选：B。
【点评】本题主要考查长方体和圆锥体积公式的应用。
5．【答案】D
【分析】根据圆锥的体积公式：Vπr2h，可知：圆锥的底面半径扩大到原来的2倍的圆锥的体积为：Vπ（2r）2h，据此解答即可。
【解答】解：[π（2r）2h]÷（πr2h）
＝4r2÷r2
＝4
答：它的体积扩大到原来的4倍。
故选：D。
【点评】本题主要考查了圆锥的体积公式的应用。
6．【答案】A
【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以等底等高的圆柱与圆锥的体积差相当于圆锥体积的（3﹣1）倍，根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法解答。
【解答】解：6÷（3﹣1）
＝6÷2
＝3（升）
答：这个圆锥容器的能装水3升。
故选：A。
【点评】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系及应用。
7．【答案】B
【分析】把一根圆柱形钢材削成一个最大的圆锥，也就是削成的圆锥与圆柱等底等高，因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以削去部分的体积相当于圆柱体积的（1），根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答。
【解答】解：6÷（1）
＝6
＝6
＝9（千克）
答：这根圆柱形钢材原来重9千克。
故选：B。
【点评】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。
二．填空题（共7小题）
8．【答案】37.68，50.24。
【分析】根据圆锥的特征可知，将直角三角形以直角边AB为轴旋转一周，得到一个底面半径是3厘米，高是4厘米的圆锥；如果以直角边BC为轴旋转一周，得到一个底面半径是4厘米，高是3厘米的圆锥，根据圆锥的体积公式：Vπr2h，把数据代入公式解答。
【解答】解：3.14×32×4
3.14×9×4
＝37.68（立方厘米）
3.14×42×3
3.14×16×3
＝50.24（立方厘米）
答：将直角三角形以直角边AB为轴旋转一周，所得立体图形的体积是37.68立方厘米，如果以直角边BC为轴旋转一周，那么所得立体图形的体积是50.24立方厘米。
故答案为：37.68，50.24。
【点评】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
9．【答案】圆锥，高，底面半径，6.28。
【分析】将这个直角三角形的两条直角边分别为a、b.以a为轴旋转一周，我们可以得到一个以旋转轴a为高、另一直角边b为底面半径的圆锥；由此利用圆锥的体积公式求出它们的体积即可。
【解答】解：一个直角三角形的两条直角边分别为a、b.以a为轴旋转一周，我们可以得到一个圆锥体，a是它的高，b是它的底面半径；
如果a＝1.5厘米，b＝2厘米，
体积是：3.14×22×1.5
＝3.14×2
＝6.28（立方厘米）
故答案为：圆锥，高，底面半径，6.28。
【点评】本题是考查将一个简单图形绕一轴旋转一周所组成的图形是什么图形，关键是看这个平面图形，是培养学生的观察、分析能力和空间想象能力。
10．【答案】169.56，56.52。
【分析】由题意知，削成的最大圆柱体的底面直径是6厘米，高也是6厘米，可利用圆柱的体积公式V＝sh求得圆柱的体积是多少；把这个圆柱体削成一个最大的圆锥体，则圆锥体与圆柱体是等底等高的，所以求圆锥的体积可直接用圆柱的体积乘求得即可。
【解答】解：3.14×（）2×6
＝3.14×9×6
＝169.56（立方厘米）
169.5656.52（立方厘米）
故答案为169.56，56.52。
【点评】此题是考查圆柱、圆锥的体积计算，求圆锥的体积可利用其与圆柱的关系解答。
11．【答案】见试题解答内容
【分析】设圆柱的底面半径是2，则圆锥的底面半径是3，设圆柱的体积是8，则圆锥的体积是5，再根据圆柱的体积公式V＝Sh＝πr2h与圆锥的体积公式VShπr2h得出圆柱的高与圆锥的高，进而根据题意，进行比即可。
【解答】解：设圆柱的底面半径是2，则圆锥的底面半径是3，设圆柱的体积是8，则圆锥的体积是5，
则：[5（π×32）]：[8÷（π×22）]
：
＝5：6
答：该圆锥体和圆柱体高的比是5：6。
故答案为：5：6。
【点评】此题主要是根据圆柱的体积公式与圆锥的体积公式推导出圆柱与圆锥的高的关系。
12．【答案】39。
【分析】因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以等底等高的圆柱与圆锥的体积和相当于圆柱体积的（1），然后用除法解答即可。
【解答】解：52÷（1）
＝52
＝39（立方分米）
答：圆柱的体积是39立方分米。
故答案为：39。
【点评】此题主要考查等底等高的圆柱与圆锥体积之间关系的灵活运用。
13．【答案】（1）25.12；（2）96。
【分析】（1）根据圆锥的体积公式：Vπr2h，代入数值，列式解答即可；
（2）根据题意可知，这个长方体的长和宽都是4cm，高是6cm，根据长方体的体积公式：长方体的体积＝长×宽×高，代入数值，列式计算。
【解答】解：（1）3.14×（4÷2）2×6
＝3.14×4×2
＝25.12（立方厘米）
答：这个陀螺的体积是25.12cm3。
（2）4×4×6＝96（cm3）
答：这个盒子的容积至少是96cm3。
故答案为：25.12；96。
【点评】本题主要考查了圆锥的体积公式的应用，关键是根据圆锥的体积公式，计算圆锥的体积。
14．【答案】3.6，1.2。
【分析】把一个圆柱削成一个最大的圆锥，那么这个圆柱和圆锥等底等高，根据等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，设这个圆锥的体积是xcm3，那么原来圆柱的体积是3xcm3，根据削去部分体积比这个圆锥体积大1.2dm3，就是原来圆柱的体积﹣圆锥体积﹣圆锥体积＝1.2，列出方程即可解答。
【解答】解：设这个圆锥的体积是xcm3，那么原来圆柱的体积是3xcm3。
3x﹣x﹣x＝1.2
x＝1.2
3x＝3×1.2
＝3.6
答：原来圆柱的体积是3.6cm3，这个圆锥的体积是1.2cm3。
故答案为：3.6，1.2。
【点评】本题考查的是等底等高圆锥体积和圆柱体积的关系，知道等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍是解答关键。
三．判断题（共7小题）
15．【答案】×
【分析】根据体积的意义，物体所占空间的大小叫作物体的体积。将一个圆柱形铁块熔铸成一个圆锥，虽然形状变了，它的体积不变。据此判断。
【解答】解：将一个圆柱形铁块熔铸成一个圆锥，虽然形状变了，它的体积不变。
因此题干中的结论是错误的。
故答案为：×。
【点评】此题考查的目的是理解掌握圆柱、圆锥体积的意义及应用。
16．【答案】√
【分析】根据圆柱的体积公式：体积＝π×半径2×高；圆锥的体积公式：体积＝π×半径2×高；半径相等，也就是底面相等，高相等；圆柱的体积圆锥的体积，即圆柱的体积是圆锥体积的3倍，据此解答。
【解答】解：根据分析可知，如果圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，那么圆柱的体积是圆锥体积的3倍。
原题干说法正确。
故答案为：√。
【点评】熟练等底等高的圆柱体积与圆锥体积之间的关键。
17．【答案】×
【分析】等底等高的圆锥的体积是圆柱的体积的，所以可用圆柱的体积乘进行解答即可得到圆锥的体积，据此即可解答。
【解答】解：9.423.14（立方厘米）
答：和它等底等高的圆锥体积是3.14立方厘米。
原题说法是错误的。
故答案为：×。
【点评】此题考查了等底等高的圆柱与圆锥的体积关系的灵活应用。
18．【答案】×
【分析】因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以没有确定圆锥与圆柱是否等底等高的前提条件下，无法比较圆锥与圆柱体积之间的大小。据此判断。
【解答】解：因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以没有确定圆锥与圆柱是否等底等高的前提条件下，无法比较圆锥与圆柱体积之间的大小。
因此题干中的结论是错误的。
故答案为：×。
【点评】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。
19．【答案】见试题解答内容
【分析】判断圆锥的底面积和高是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，如果是乘积一定，就成反比例，如果是乘积不一定，就不成反比例．
【解答】解：圆锥的底面积×高＝体积×3（一定），是乘积一定，圆锥的底面积和高成反比例．
故答案为：√．
【点评】此题属于辨识成反比例的量，就看这两种量是否是对应的乘积一定，再做出判断．
20．【答案】见试题解答内容
【分析】圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积底面积×高，由此可以得出，等底等高的圆柱和圆锥的体积之比为：3：1，由此即可进行判断．
【解答】解：等底等高的圆柱和圆锥的体积之比为：3：1，
所以原题说法错误．
故答案为：×．
【点评】此题考查了等底等高的圆柱和圆锥的体积的特点的应用．
21．【答案】见试题解答内容
【分析】根据圆柱的体积公式V＝sh，圆锥的体积公式Vsh，当圆柱和圆锥的体积、高分别相等时，圆锥的底面积是圆柱的底面积的3倍，由此求出圆锥的底面积即可．
【解答】解：15×3＝45（平方厘米）．
答：圆锥的底面积是45平方厘米．
故答案为：×．
【点评】此题主要考查了利用圆柱与圆锥的体积公式，推导出在体积、高分别相等时，圆柱的底面积与圆锥的底面积的关系．
四．计算题（共1小题）
22．【答案】见试题解答内容
【分析】依据圆锥的体积πr2h，把数值代入公式即可求解．
【解答】解：3.14×52×12
3.14×25×12
＝314（cm3）；
答：这个圆锥的体积是314cm3．
【点评】此题考查了圆锥的体积公式的应用．
五．应用题（共8小题）
23．【答案】见试题解答内容
【分析】由题意知沙堆由圆锥体变为长方体，形状变了但体积没变，由此可利用它们的体积公式Vπr2h先求出圆锥形沙堆的体积，再根据V＝abh可得h＝V÷ab求铺多厚．注意要统一单位．
【解答】解：30分米＝3米
3.14×（18.84÷3.14÷2）2×3（31.4×9）
＝28.26×1÷282.6
＝28.26÷282.6
＝0.1（米）
答：可以铺0.1米厚．
【点评】此题考查了圆锥体积的求法和长方体底面积的求法，求圆锥体积时不要忘了乘．
24．【答案】0.00628厘米。
【分析】根据圆锥的体积公式：Vπr2h，把数据代入公式求出这个圆锥形铁块的体积，用圆锥形铁块的体积除以长方体容器的底面积即可。
【解答】解：3.14×（6.28÷3.14÷2）2×3÷（25×20）
3.14×1×3÷500
＝3.14÷500
＝0.00628（厘米）
答：水面将上升0.00628厘米。
【点评】此题主要考查圆锥的体积公式、长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
25．【答案】0.02厘米。
【分析】因圆锥形铅锤的高小于玻璃杯内水的高度，所以铅锤能全部浸没在水中，根据圆锥的体积公式求出铅锤的体积，再除以玻璃杯的底面积，就是水面上升的高度。
【解答】解：3.14×（2÷2）2×6÷（3.14×102）
3.14×12×6÷（3.14×100）
3.14×1×6÷314
＝6.28÷314
＝0.02（厘米）
答：水面会上升0.02厘米。
【点评】本题主要考查了学生对圆锥和圆柱体积公式的掌握，熟记：圆柱的体积计算公式：V圆柱＝πr2h＝Sh、圆锥的体积公式：V圆锥πr2hSh，是解答此题的关键。
26．【答案】100.48立方厘米。
【分析】表面积比原来增加了48平方厘米，说明增加的两个三角形的面积是48平方厘米，根据三角形的面积公式，求出圆锥的底面直径，再根据圆锥的体积＝底面积×高÷3，求出体积即可。
【解答】解：48÷2＝24（厘米）
24×2÷6＝8（厘米）
8÷2＝4（厘米）
3.14×4×4×6÷3
＝50.24×2
＝100.48（立方厘米）
答：木块的体积是100.48立方厘米。
【点评】求出圆锥的底面直径，是解答此题的关键。
27．【答案】12厘米。
【分析】上升2厘米的水的体积就是底面直径为10厘米的圆锥的体积，由此利用圆柱的体积公式求出上升的水的体积，再利用圆锥的高＝体积×3÷底面积，求圆锥的高。
【解答】解：15.7×10×2
＝157×2
＝314（立方厘米）
314×3＝942（立方厘米）
（10÷2）2×3.14
＝25×3.14
＝78.5（平方厘米）
942÷78.5＝12（厘米）
答：圆锥的高是12厘米。
【点评】本题考查了圆柱和圆锥的体积计算公式的灵活运用。
28．【答案】见试题解答内容
【分析】要求这个铁锤重多少千克，应先求出圆锥的体积，运用圆锥的体积计算公式：Vπr2h，代入数据解答，然后乘单位体积的重量，解决问题．
【解答】解：圆锥形铁锤的体积：
3.14×（25.12÷3.14÷2）2×27
3.14×42×27
＝3.14×16×9
＝452.16（立方厘米）
这个铁锤重：
7.8×452.16＝3526.848≈3527（克）
答：这个铁锤重3527克．
【点评】此题是把问题转换为求圆锥的体积，要注意单位的换算．
29．【答案】31.4立方分米。
【分析】已知圆柱形容器的高是8分米，水面高7分米，现将一个圆锥完全沉入水中，溢出了3.14升水，容器内无水部分的体积加上溢出水的体积就是这个圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。
【解答】解：3.14升＝3.14立方分米
3.14×（6÷2）2×（8﹣7）+3.14
＝3.14×9×1+3.14
＝28.26+3.14
＝31.4（立方分米）
答：这个圆锥的体积是31.4立方分米。
【点评】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
30．【答案】62.8。
【分析】根据圆锥的体积＝底面积×高÷3，求出沙子的体积，再根据长方体的体积公式：V＝a×b×h，解答即可。
【解答】解：8÷2＝4（米）
8厘米＝0.08米
3.14×4×4×1.8÷3÷（6×0.08）
＝30.144÷0.48
＝62.8（米）
答：这条小路有62.8米。
【点评】此题考查圆锥的体积公式VSh和长方体的体积公式V＝a×b×h在实际生活中的应用。