第1章 二元一次方程组（单元测试·基础卷）-2023-2024学年七年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（湘教版）.docx（含解析）

第1章 二元一次方程组（单元测试·基础卷）
【要点回顾】
【考点一】二元一次方程组的相关概念
1. 二元一次方程的定义
定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.
2.二元一次方程的解
定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
3. 二元一次方程组的定义
定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
4. 二元一次方程组的解
定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
【考点二】二元一次方程组的解法
1.解二元一次方程组的思想
2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法
（1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：
①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式；
②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出（或）的值；
④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；
⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解.
（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：
①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；
②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；
⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可.
【考点三】三元一次方程组
1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.
2．三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是：
（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
（3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
（5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
3. 三元一次方程组的应用
列三元一次方程组解应用题的一般步骤：
（1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；
（2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系；
（3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
（4）解这个方程组，求出未知数的值；
（5）写出答案(包括单位名称)．
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列4组数值中，不是二元一次方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
2．方程组的解为，则被遮盖的两个数分别为（ ）
A．1，2 B．1，3 C．5，1 D．2，4
3．已知二元一次方程，用含的代数式表示，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．用加减法解方程组时，若要求消去，则应（ ）
A． B． C． D．
5．已知关于x，y的方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．若二元一次方程，，有公共解，则k的取值为（ ）
A．3 B．-3 C．-4 D．4
8．解三元一次方程组，如果消掉未知数，则应对方程组变形为（　　）
A．①③，①② B．①③，③②
C．②①，②③ D．①②，①③
9．我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱，问人数、货物总价各多少？设人数为x人，货物总价为y钱，可列方程组（　　）
A． B． C． D．
10．如图所示，小明要定制边长为的正方形榻榻米，中间有一个边长为的正方形升降桌，外围用张形状、大小都一样的长方形垫子进行无缝拼接，则长方形垫子的长和宽分别是（ ）
A．长为，宽为 B．长为，宽为
C．长为，宽为 D．长为，宽为
填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．已知 是关于x， y的二元一次方程， 则 ．
12．若是方程的解，则 ．
13．对x，y定义一种新运算▲，规定：（其中a，b均为非零常数），例如：．已知，．则a，b的值分别是 ．
14．若x，y满足方程组，则 ．
15．如果二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解，那么a的值是 ．
16．已知三元一次方程组，则 ．
17．如图，点C在直线上，的度数比的度数的3倍少，设的度数为，的度数为，那么可列出关于x、y的方程组是 ．
18．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两”根据题意可列方程组为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）已知是方程组的解，求k和m的值．
20．（8分）按要求解方程组，（1）题用代入法，（2）题用加减法：
（1）； （2）．
21．（10分）已知关于、的二元一次方程组和关于、的二元一次方程组的解相同，求、的值．
22．（10分）阅读以下材料：
解方程组：，小阳在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下：
解：由①得x+y＝1③，将③代入②得：
（1）请你替小阳补全完整的解题过程；
（2）请你用这种方法解方程组：．
23．（10分）如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形．
（1）若，分别求S1，S2的面积；
（2）若将图1的阴影部分沿虚线剪开，重新拼成图2的长方形，且长为，宽为，求S1∶S2的值．
24．（12分）某文具店用280元购进，两种钢笔，按标价售出后可获得总利润100元，这两种钢笔的进价，标价如表所示
类型
进价（元/支） 8 10
标价（元/支） 10 14
（1）求这两种钢笔各购进的件数；
（2）如果种钢笔按标价的9折出售，种钢笔按标价的折出售，那么这批钢笔全部售完后，文具店比按标价出售少收入多少元？
参考答案：
1．A
【分析】本题科考查了二元一次方程的解，能使二元一次方程左右两边相等的值，即为二元一次方程的解，据此即可作答．
解：A、把代入，则，故不是二元一次方程的解；
B、把代入，则，故是二元一次方程的解；
C、把代入，则，故是二元一次方程的解；
D、把代入，则，故是二元一次方程的解；
故选：A
2．C
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，根据题意，把代入方程中可求出的值，由此即可求解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
解：根据题意，把代入方程得，
，
把代入方程得，
，
∴被遮盖的两个数分别是，
故选：．
3．A
【分析】本题考查了用一个字母的代数式表示另一个字母，会将该字母看作常数，用解方程的步骤求解是解题的关键．
解：移项得：，
系数化为得：；
故选：A．
4．D
【分析】由得：，从而可得答案．
解：，
得：，
故选D
【点拨】本题考查的是二元一次方程的解法步骤，掌握利用加减消元法解方程组是解本题的关键．
5．C
【分析】用换元法求解方程组的解．
解：方程组可以变形为：方程组，
设，，则方程组可变为，
∴m＝3，n＝4，
即，，
解得．
故选：C．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．弄清题意是解本题的关键．
6．C
【分析】根据任何数的绝对值与平方是非负数，两个非负数的和是0，则每个数等于0，即可得到关于x，y的方程组，即可求解．
解：由题意得：，
解得：，
故选：C．
【点拨】本题考查绝对值与平方的非负性，解二元一次方程组，根据题意列出方程组是解题的关键．
7．D
【分析】先利用方程和组成方程组，求出x、y，再代入求出k值.
解：由题意，得：
解得：
将代入中，得：，
解得：.
故选D.
【点拨】本题考查二元一次方程组和三元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单.
8．C
【分析】注意到方程组z前面的系数都为1，所以直接相减消去．
解：解三元一次方程组，
得：
得：
方程组变形为，刚好消去z，
故选：C．
【点拨】本题考查对三元一次方程组的消元，善于观察是解题关键，根据系数的特征灵活应用加减消元法．
9．A
解：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识．根据“今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵今有人合伙购物，每人出七钱，
∴；
∵每人出六钱，又差三钱，
∴．
∴根据题意可列方程组．
故选：A．
10．B
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设长方形垫子的长为，宽为，根据“小明要定制边长为的正方形榻榻米，中间有一个边长为的正方形升降桌，外围用张形状、大小都一样的长方形垫子进行无缝拼接”可得关于和的二元一次方程，求解即可．正确理解题意并建立二元一次方程组是解题的关键．
解：设长方形垫子的长为，宽为，
依题意，得：，
解得：，
∴长方形垫子的长为，宽为．
故选：B．
11．
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，由定义得，即可求解；理解“含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，二元一次方程的标准形式（，）．”是解题的关键．
解：由题意得
，
解得：，
故答案：．
12．3
【分析】根据使方程成立的未知数的值，是方程的解，把代入方程，计算即可．
解：把代入，
得：，解得：；
故答案为：3．
13．2，
【分析】本题考查二元一次方程组的解法，理解新运算的定义是解题关键．
解：∵，，
∴，解得，
故答案为：2，．
14．5
【分析】由，即可求解．
解：，
由得：．
故答案为：5
【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
15．2
【分析】根据二元一次方程组的解法，用含的式子表示出和；将其代入二元一次方程，求出的值即可．
解：
①②，得：，解得：，
将代入①，得：，
把，代入，
得：，解得：，
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查二元一次方程的解、解二元一次方程组．能够利用二元一次方程组的解法，用含的式子表示出和是解决此题的关键．
16．6
【分析】方程组中三个方程左右两边相加，变形即可得到x+y+z的值．
解：，
①+②+③，得
2x+2y+2z＝12，
∴x+y+z＝6，
故答案为:6．
【点拨】此题考查了解三元一次方程组，本题的技巧为将三个方程相加．
17．
【分析】设的度数为，的度数为，根据邻补角互补及的度数比的度数的3倍少，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
解：设的度数为，的度数为，
依题意，得：．
故答案为：．
【点拨】本题考查了由几何问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
18．
【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案．
解：设马每匹x两，牛每头y两，
，
故答案为：．
【点拨】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．
19．k和m的值分别为2和3
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，根据题意将x和y代入方程组，即可解得k和m的值．
解：根据题意，把代入方程组，得
，解得．
即k和m的值分别为2和3．
20．（1）；（2）
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
（1）根据代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）根据加减消元法解二元一次方程组即可．
解：（1），
由①得，③，
把③代入②得，，
解得，
把代入③得，，
∴方程组的解是；
（2），
②-①得，，
解得，
把代入②得，，
∴方程组的解是．
21．，
【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题及解二元一次方程组，根据同解方程定义可以重新组合得到二元一次方程组将其方程组的解代入即可求解；
解：∵和的解相同，
∴，解得：，
将代入中，得：，
解得：
∴，
22．（1）；（2）
【分析】（1）利用整体代入法进行求解即可；
（2）利用整体代入法进行求解即可．
（1）解：由①得：，
将③代入②得：，
解得，
把代入①得，
，
解得，
故原方程组的解是；
（2）整理得，
，
把①代入②得，
，
解得，
把代入①得，
，
解得，
故原方程组的解是．
【点拨】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
23．（1），；（2）
【分析】本题考查了二元一次方程组以及列代数式求值，正确表示出阴影部分的面积是解题关键．
（1）根据、即可求解；
（2）由题意得，求出即可．
（1）解：由题意得：，
（2）解：由题意得：，
∴
由（1）得，
∴
24．（1）A型钢笔支，购进B型钢笔支；（2）元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数的混合运算的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
（1）设购进A型钢笔x支，购进B型钢笔y支，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）根据（1）的结论列出算式进行计算即可求解．
（1）解：设购进A型钢笔x支，购进B型钢笔y支，根据题意得：
，解得：，
答：设购进A型钢笔支，购进B型钢笔支．
（2）解：元），
答：文具店比标价出售少收入元．
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