第1章 二元一次方程组（单元测试·拔尖卷）-2023-2024学年七年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（湘教版）（含解析）

第1章 二元一次方程组（单元测试·拔尖卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．把正确答案的序号填在题后括号内，是方程组的（ ）．
A．一对解 B．两个解 C．一个解 D．以上说法都不对
2．若x、y是两个实数，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．数轴上A、B两点分别表示数a和b，满足，且的长为，其中，则k的值为（ ）
A．2或 B．3或 C．4 D．5或
4．若实数满足，则（ ）
A． B． C． D．不能确定值
5．三角形幻方是锻炼思维的有趣数学问题，例：把数字1、2、3、…、9分别填入如图所示的9个圆圈内，要求和的每条边上三个圆圈内数字之和都等于18，则的和是（ ）
A．6 B．15 C．18 D．24
6．某中学生运动会男、女运动员比例为，组委会决定增加女子艺术体操项目，这样男、女运动员比例变为；后来又决定再增加男子象棋项目，于是这个比例又变为．已知男子象棋运动员比女子艺术体操运动员多30人，那么运动员最后的总人数为（ ）．
A．6280人 B．6370人 C．6450人 D．6615人
7．甲、乙、丙三人进行智力抢答活动，规定：第一个问题由乙提出，由甲、丙抢答．以后在抢答过程中若甲答对题，就可提个问题，乙答对题就可提个问题，丙答对题就可提个问题，供另两人抢答．抢答结束后，总共有个问题没有任何人答对，则甲、乙、丙答对的题数分别是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，， 或 ，，
8．增删算法统宗记载：“今有直田用较除，一百二十步无余．长阔相和该一百，问公三事几何如？”译文：有一块长方形田地，它的面积除以长与宽之差刚好步，长与宽之和等于步．试问这块田地的长、宽及长宽之差分别是多少？设这块田地的长为步，宽为步，则下面所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．甲、乙、丙、丁四位同学对关于x，y的二元一次方程组（其中a，b均为非零常数）进行探究后有以下描述：
甲：若，则；
乙：当时，方程组中的x与y互为相反数；
丙：若是方程组的解，则方程组的解为；
丁：当时，．
则所有正确的描述有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．又依此定九章大法，治理社会，流传下来收入《尚书》中，名《洪范》．《易·系辞上》说：“河出图，洛出书，圣人则之”．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出 x的值应为（ ）．
-4 B．-3 C．3 D．4
填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．把元钱兑换成一元或角的硬币，共有 种不同的兑换方法．
12．设，，其中，是正整数且，若与互补，则 ．
13．若关于x、y的方程的解满足，
（1）y的值为 ；
（2）以方程中的未知数设计的“Y”形图案，如图所示，则此图案的面积为 ．

14．二元一次方程组有可能无解，例如方程组无解，原因是：将，得，它与②式存在矛盾，导致原方程组无解．若关于，的方程组无解，则，满足的条件是 ．
15．现有，，，，五张卡片，卡片上分别写有一个二元一次方程．
（1）若取，卡片，则联立得到的二元一次方程组的解为 ．
（2）若取两张卡片，联立得到的二元一次方程组的解为，则取的两张卡片为 ．
16．关于a、b、x、y的多项式2021am+6bn﹣3xmyn+a3mb2n﹣3﹣4xn﹣1y2m﹣4（其中m、n为正整数）中，恰有两项是同类项，则mn＝ ．
17．《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述：程途八百里，朝去暮还来．某日，戴宗去180里之外的地方打探情报，去时顺风，用了2小时；回来时逆风，用了6小时，则戴宗的速度为 里/小时．
18．在某商场举行的“清凉一夏欢乐购”促销活动中，小杨购买了单价为5元的甲种商品m件，单价为17元的乙种商品n件，共用了203元．那么的最大值是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）已知是方程的解，
（1）求的值．
（2）请将方程变形为用的代数式表示．
20．（8分）计算：
（1）； （2）．
（3）定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一方程”．如：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一方程”．
①直接写出二元一次方程的“反对称二元一方程”______；②二元一次方程的解又是它的“反对称二元一方程”的解，求出的值；
21．（10分）已知关于x，y的方程组和有相同解，求的值．
22．（10分）关于的二元一次方程组
（1）是否存在的值，使方程组的解为．若存在，请求的值；若不存在，请说明理由．
（2）当的值互为相反数时，求的值．
（3）当取不同的值时，代数式的值是否为定值．若是定值，请求出改定值；若不是定值，请说明理由．
23．（10分）某商场销售员小红对当日的进出账时作如下记录：销售、两种商品共105件，商品的售价分别为8元和12元，期初余额为418元，期末余额为1500元，店长算了一下说：“你肯定搞错了”．
（1）店长为什么说小红搞错了？试用方程的知识做出解释．
（2）小红经过查看货物进出明细表，发现自己还卖出了一件商品，只记得价格应该是小于8元的整数，请问商品的单价可能是多少元？
24．（12分）某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．
（1）如图为该化工厂与A、B两地的距离，已知公路运价为1.5元/（吨 千米），铁路运价为1.2元/（吨 千米），这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元．请计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元？
①根据题意，甲、乙同学分别列出尚不完整的方程组如下：
甲：乙：
根据甲，乙两名同学所列方程组，请你分别指出未知数x，y，，表示的意义，然后在等式右边补全甲乙两名同学所列方程组
甲：x表示　　，y表示　　；乙：表示　　，表示　　；
②甲同学根据他所列方程组解得x＝300，请你帮他解出y的值，并解决该实际问题．
（2）工厂原计划从A地购买的原料和送往B地的产品一共20吨，若要增加c吨的产品，就要再购买c吨原料，此时产品的销售款与原料的进货款之差等于66000元，同时满足原料总重量的2倍，求需要再购买多少吨的原料？
参考答案：
1．C
【分析】根据二元一次方程组解的定义，把代入方程组，可得结论．
解：把代入方程组，可得
∴是方程组的一个解
故选：Ｃ
【点拨】考核知识点：二元一次方程组的解．理解方程组的解的意义是关键．
2．C
【分析】根据x、y的取值范围，去绝对值符号并分别讨论求得方程组的解，再代入代数式计算求解即可．
解：当，时，原方程组为：，方程组无解；
当，时，原方程组为：，解得，；
当，时，原方程组为：，方程组无解；
当，时，原方程组为：，方程组无解；
综上得，原方程组的解为：，
∴，
故答案选C．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，涉及到绝对值计算，根据未知数的范围判断去绝对值后的符号是解此题的关键．
3．C
【分析】解方程组，求出a，b的值，得到AB的长，根据且的长为，求出k即可．
解：解方程组，
解得，
∴AB=a-b=（2t-2）-（2-2t）=4t-4或AB=（2-2t）-（2t-2）=4-4t，
∵t>1，
∴AB=4t-4，
∵AB=kt-k，
∴4t-4=kt-k，
得k=4
故选：C．
【点拨】此题考查了解二元一次方程组，数轴上两点之间的距离公式，正确解二元一次方程组是解题的关键．
4．A
【分析】方程①乘以3得到方程③，方程②乘以2得到方程④，③-④即可得答案．
解：
①×3得：③，
②×2得：④，
③-④得：=-3，
故选：A．
【点拨】本题考查三元一次方程组，把两个方程正确变形是解题关键．
5．B
【分析】把填入A，B，C三处圈内的三个数之和记为a；D，E，F三处圈内的三个数之和记为b；其余三个圈所填的数位之和为c．列出关于a，b，c的方程，进行求解即可．
解：把填入A，B，C三处圈内的三个数之和记为a；
D，E，F三处圈内的三个数之和记为b；
其余三个圈所填的数位之和为c．
显然有…①，
图中六条边，每条边上三个圈中之数的和为18，所以有②，
②﹣①，得③，
把，，每一边上三个圈中的数的和相加，则可得④，
联立③，④，解得，，
则．
故选：B．
【点拨】此题考查了三元一次方程组和二元一次方程组，读懂题意正确列出方程是解题的关键．
6．B
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，理清题意、确定等量关系列出方程组是解题的关键．
设原来男、女运动员的人数分别为人、人，女子艺术体操运动员人，男子象棋运动员人；再根据运动员男女比例变化列方程组求得男、女人数，最后求和即可．
解：设原来男、女运动员的人数分别为人、人，女子艺术体操运动员人，男子象棋运动员人，
则，解得：．
最后运动员的总人数为：（人）．
故选B．
7．D
【分析】设甲、乙、丙三人答对的题数分别为x题，y题，z题，根据总共有个问题没有任何人答对列出方程，进而得到，再根据x、y、z都是非负整数进行讨论求解即可．
解：设甲、乙、丙三人答对的题数分别为x题，y题，z题，
由题意得，，
∴，
∵x、y、z都是非负整数，
∴当时，，则；
当时，则，此时y、z无非负整数解，不符合题意；
当时，，则，即此时乙、丙没有答对任何一道题，那么甲只有第一次乙出题时有答题机会，即甲最多答对一道题，这与矛盾，故此种情况不符合题意；
当时，，则或，，
∵当，时，那么甲没有出题机会，乙只有一开始出一道题的机会，那么丙只有一次答题机会，即丙最多答对一道题，这与矛盾；
综上所述，，或，，
故选D．
【点拨】本题主要考查了三元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
8．B
【分析】由“长方形田地的面积除以长与宽之差刚好步，长与宽之和等于步”即可得出方程组，此题得解．
解：设这块田地的长为步，宽为步，
依题意得：．
故选：．
【点拨】此题考查了由实际问题抽象出方程组，找准等量关系，正确列出方程组是解题的关键．
9．A
【分析】若，则整理为，，加减消元解得，进而可判断甲的正误，当时，则整理为，，加减消元解得，即x与y互为相反数，进而可判断乙的正误；由是方程组的解，则，将代入得，，整理得，，进而可判断丙的正误；由，可得，整理为，，加减消元解得，将代入，解得，则，进而可判断丁的正误．
解：若，则整理为，，加减消元解得，甲正确，故符合要求；
当时，则整理为，，加减消元解得，即x与y互为相反数，乙正确，故符合要求；
∵是方程组的解，
∴，
将代入得，，整理得，，丙正确，故符合要求；
∵，
∴，
将代入整理为，，加减消元解得，
将代入，解得，
∴，丁正确，故符合要求；
故选：A．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
10．A
【分析】如图所示，其中a、b、c、d表示此方格中表示的数，则可得由此即可得到④，⑤，然后把④⑤代入③中即可求解．
解：如图所示，其中a、b、c、d表示此方格中表示的数，
由题意得：，
由①得④，
由②得⑤，
把④和⑤代入③中得，
∴，
故选A．
【点拨】本题主要考查了解方程组，解题得关键在于能够利用整体代入的思想进行求解．
11．6
【分析】设可兑换成1元的x张，5角的y张，且根据钱数和是5元，且x，y都为非负整数可确定解．
解：设可兑换成1元的x张，5角的y张，
∴
∴
因为都为非负整数
所以
共6种不同的兑法．
故答案为：6．
【点拨】本题考查理二元一次方程的应用，理解题意能力，设出钱的张数，且知道钱数是5元，根据为非负整数确定解是解题的关键．
12．
【分析】与互补，得到关于a、b的二元一次方程，找到方程的正整数解，即可求得.
解：由题意得：+=，
即+=，
，
，
、是正整数且，
，
，
故答案为：
【点拨】此题考查了二元一次方程的特殊解，由两角互补得到二元一次方程是解答此题的关键.
13．
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，整式的化简求值：
（1）根据题意可得方程组，解方程组即可得到答案；
（2）根据题意可知该图案的面积等于一个长方形面积加上两个平行四边形的面积再减去一个三角形面积，据此先列出代数式，再把x、y分别用a和数值替换进行化简即可得到答案．
解：（1）由题意得，，
解得，
故答案为：；
（2）∵，
∴该图案的面积
，
故答案为：．
14．且
【分析】根据题意，方程组两边系数相等，得出矛盾，即可求解．
解：∵关于，的方程组无解，
，得，
∴，
解得：且，
故答案为：且．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，理解题意是解题的关键．
15． B和C
【分析】（1）根据二元一次方程组加减消元法即可解得；
（2）把解代入卡片逐项验证即可．
（1）解：
得
，
把代入①得
，
解得；
（2）把代入，，，，五张卡片中，
可得，，不成立，
代入B得：，成立，
代入C得：，成立，
故答案为：B和C．
【点拨】此题考查了二元一次方程组，解题的关键是熟记加减消元法解方程组．
16．或/或
【分析】分两种情况讨论：当是同类项时，当是同类项时，再根据同类项的定义列方程组，解方程组可得答案.
解：当是同类项时，
可得：
经检验：符合题意；
当是同类项时，
则
解得：
经检验，符合题意；
故答案为：或
【点拨】本题考查的是同类项的概念，二元一次方程组的解法，掌握“含有相同字母，相同字母的指数也相同的单项式是同类项”是解题的关键.
17．60
【分析】设戴宗的速度为x里/小时，风速为y里/小时，根据顺风行走的速度等于戴宗的速度加上风速，逆风行走的速度等于戴宗的速度减去风速，列出二元一次方程组，即可求解．
解：戴宗顺风行走的速度为：（里/小时），
戴宗逆风行走的速度为：（里/小时），
设戴宗的速度为x里/小时，风速为y里/小时，
由题意得：
解得：
∴设戴宗的速度为60里/小时，
答：戴宗的速度为60里/小时．
故答案为：60．
【点拨】本题考查二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是能够根据题意找到相应的等量关系．
18．
【分析】根据购买两种商品共用203元，可二元一次方程，求出自然数解即可．
解：依题意得：，
∴，
∵m、n均为正整数，
∴为5的倍数，
∴满足的自然数解为：
，此时
或
时，
综上所述：的最大值是，
故答案为．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程的应用，掌握二元一次方程的整数解求法是解题关键．
19．（1）8；（2）
【分析】（1）将代入原方程，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值；
（2）将代入原方程，整理后，即可用还含的代数式表示．
（1）解：将代入原方程得：，
解得：，
的值为8；
（2）解：当时，原方程为，
．
【点拨】本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
20．（1）；（2）；（3）①②
【分析】（1）利用代入消元法求解即可．
（2）利用加减消元法求解即可．
（3）①根据定义解答即可．
②根据定义计算，解方程即可．
解：（1），
把①代入②，得，
解得，
把代入①得
，
故方程组的解为．
（2），
，得，
解得，
把代入①得
，
故方程组的解为．
（3）①∵中，
∴其反对称二元一次方程，
故答案为：．
②是的解，
，
的“反对称二元一方程”为
且是的解，
．
【点拨】本题考查了代入消元法，加减消元法解方程，新定义方程解法，熟练掌握解方程组，准确求解新定义方程问题时解题的关键．
21．
【分析】先求出方程组的解，再把代入得出，求出a、b的值，最后把a、b的值代入计算即可．
解：∵关于x，y的方程组和有相同解，
∴解方程组得：，
把代入得：，解得：，
∴．
【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解本题的关键．
22．（1）不存在，理由见分析；（2）存在，的值为8；（3）代数式的值为定值
【分析】（1）将分别代入两个方程，求出的值再对比即可得出答案；
（2）根据题意可知，再和联立，求解即可得出答案；
（3）要取定值就要消去a，故由②①得，再化简即可得出答案
解：（1）不存在
理由：把代入方程①，得：，
解得的值，
把代入方程②，得：，
解得的值，
因为，所以不存在的值，使方程组的解为．
（2）存在，的值为8，理由如下：
由题得，
则可得解得
所以的值为8．
（3）代数式的值为定值．
理由：由②①得
整理得：．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解法，根据式子特点选择合适的解题方法是解题的关键．
23．（1）见分析；（2）2元或6元
【分析】本题主要考查了一元一次方程和二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
（1）设商品件，则商品件，根据题意列出一元一次方程并求解，结合实际，即可获得答案；
（2）设商品件，商品单价为，由题意列出二元一次方程并整理，可得，根据、都是整数，易知应被4整除，所以为偶数，然后分类讨论，即可获得答案．
（1）解：设商品件，则商品件，
由题可得，
解得（不符合题意）
所以小红搞错了；
（2）设商品件，商品单价为，由题意得
，
解得，因为、都是整数，
且应被4整除，所以为偶数，
又因为为小于8的数，所以可能为2、4、6
当时解得，符合题意；
当时解得，不符合题意；
当时解得，符合题意；
所以商品的单价可能是2元或6元．
24．（1）①产品的重量，原料的重量，产品销售额，原料费，5000，97200，5000，97200，；②1887800；（2）8吨
【分析】（1）①仔细分析题意根据题目中的两个方程表示出，的值并补全方程组即可；
②将的值代入方程组即可得到结论．
（2）依据题意列出方程可求出的值，进而可得出结论．
（1）解：甲：表示产品的重量，表示原料的重量，
乙：表示产品销售额，表示原料费，
甲方程组右边方框内的数分别为：15000，97200，乙同甲；
则甲：
乙：，
故答案为：产品的重量；原料的重量；产品销售额；原料费．
②将代入原方程组解得，
产品销售额为元，
原料费为元，
运费为元，
（元），
答：这批产品的销售额比原料费和运费的和多1887800元．
（2）解：设工厂原计划从地购买的原料为吨，则送往地的产品为吨，
原料总重量是产品总重量的2倍，
．
解得：．
则原料的总重量为：吨，产品的总重量为：吨．
产品的销售款与原料的进货款之差等于66000元，
．
解得：．
．
答：需要再购买8吨的原料．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确建立方程组进行求解．
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