第1章 二元一次方程组（单元测试·培优卷）-2023-2024学年七年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（湘教版）（含解析）

第1章 二元一次方程组（单元测试·培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列语句中正确的是（ ）
A．是二元一次方程组 B．的解表示为，
C．有无数个解 D．由两个二元一次方程组成的方程组一定是二元一次方程组
2．若下表中的x、y的值满足二元一次方程，
x … 0 2 5 …
y … 3 9 …
则当时，y的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．将代入的可得（ ）
A． B． C． D．
4．若，则m，n值是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，满足方程组，则的值是（ ）
A．4 B． C．3 D．
6．关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
7．若单项式与是同类项，则a，b的值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．有一个两位数，两个数位上的数字之和为，已知比的3倍大除以的商是5，余数是5，则这样的两位数（ ）．
A．只有一个 B．有两个 C．有无数个 D．不存在
9．解三元一次方程组要使解法较为简便，首先应进行的变形为（　　）
A．①+② B．①﹣② C．①+③ D．②﹣③
10．我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，则所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．若是关于，的二元一次方程组，则 ， ， ．
12．请你写出一个解为 的二元一次方程组： ．
13．已知，，则x与y的关系是 ．
14．已知x、y、z满足，则 ．
15．若关于的二元一次方程组的解满足，则的值为 ．
16．整体代入就是把某些部分看成一个整体，则能使复杂的问题简单化．例如在解方程组时，把①变形：③，把③代入②中，求得 ， ；利用整体代入思想，已知，则 ．
17．已知方程组的解应为，小明解题时把c抄错了，因此得到的解是，则= ．
18．如图，数轴上有A，B，C三点，个单位长度，A，B，C三点所对应的数分别为a，b，c，且．动点P， Q分别从点A，C处同时出发，在数轴上向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，当点重合时，P，Q两点都停止运动．若运动过程中的某时刻点P，Q满足，则此时动点Q在数轴上对应的数是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）下面是老师布置的数学作业：
已知是方程组的解，求的值．
小明同学想了很久也没有想出所以然，于是他看了一下答案中的提示部分“将式子可求出的值，进而可求的值”．
（1）根据答案提示部分的方法，请求出的值．
（2）该方法所体现出来的数学思想方法是______（填选项即可）．
A．分类思想 B．整体思想 C．数形结合思想
20．（8分）用指定的方法解下列方程组．
（1）（代入法） （2）（加减法）
21．（10分）解方程：．
22．（10分）阅读理解：
已知实数x，y满足…①，…②，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题：
（1）已知二元一次方程组，则______，______．
（2）对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算，已知，，求的值．
23．（10分）某商场第1次用39000元购进甲，乙两种商品，销售完后获得利润6000元，它们的进价和售价如表（总利润单价利润销售量）：
价格商品 进价（元/件） 售价（元/件）
甲 120 135
乙 100 120
（1）该商场第1次购进甲，乙两种商品各多少件？
（2）商场第2次以原进价购进甲，乙两种商品，购进甲商品的件数不变，而购进乙商品的件数是第1次的2倍，甲商品按原售价销售，而乙商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于5400元，则乙种商品是按几折销售的？
24．（12分）阅读以下内容：已知数满足，且，求的值．
以下共有三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
小明：先解以上关于的方程组，再把解代入，从而求的值；
小王：可先将原方程组中的两个方程直接相加，再求的值；
小丽：先解方程组，再把所得解代入，即求的值．
（1）试选择其中一名同学的思路，完整地解答此题；
（2）试说明关于的方程组，不论取何值，的值始终不变．
参考答案：
1．C
【分析】由二元一次方程的定义可判断A，D，根据二元一次方程组的解的含义与表示方法可判断B，C，从而可得答案．
解：不是二元一次方程组，故A不符合题意；
的解表示为，故B不符合题意；
有无数个解，表述正确，故C符合题意；
由两个二元一次方程组成的方程组不一定是二元一次方程组，故D不符合题意；
故选C
【点拨】本题考查的是二元一次方程的定义，二元一次方程组的解的表示方法，二元一次方程组的解的含义，熟记概念与二元一次方程组的解的含义是解本题的关键．
2．B
【分析】取两组x，y的值代入二元一次方程，求出a，b的值，再将x=3代入求出y即可得出答案．
解：将x=-1，y=-3和x=0，y=-1分别代入方程：
，解得：
∴，将代入，y=5
故选：B．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组，熟练其解法是解决本题的关键．
3．D
【分析】将代入，再进行整理，即可得到答案．
解：将代入，得：，即
故选D．
【点拨】本题考查的是二元一次方程的解法，先将已知代入方程得出一个关于x的方程，运用代入法是解二元一次方程常用的方法．
4．A
【分析】设m=3k，n=4k，从而得到关于k的方程，进而即可求解．
解：∵，
∴设m=3k，n=4k，则3k+12k=-10，解得：k=，
∴，
故选A．
【点拨】本题主要考查解方程，设m=3k，n=4k，得到关于k的一元一次方程，是解题的关键．
5．C
【分析】此题考查了解二元一次方程组．方程组两方程相加，再整理即可求出的值．
解：，
得：，
∴，即，
故选：C．
6．A
【分析】先把k当做一个已知数，用加减消元法求解方程组，再将求得的x和y的值代入得到关于k的一元一次方程，求解即可．
解：，
得：，
则，
得：，
则，
∴，
解得：，
故选：A．
【点拨】此题考查解二元一次方程组，解一元一次方程，掌握解方程及方程组的解法是解题的关键．
7．D
【分析】本题考查了同类项的定义，解二元一次方程组，掌握两个相同是解题关键．含有相同的字母，并且相同字母的指数也相同的两个单项式是同类项．根据同类项的定义，列出二元一次方程组，进行解答即可．
解：∵单项式与是同类项，
∴，
解得：，．
故选：D．
8．D
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答此题的关键是明确列二元一次方程组解集实际问题的一般步骤．
根据已知列方程组得，解得，验证，即可解答．
解：由题意可得，
解得，而，
∴这样的两位数x不存在．
故选：D．
9．A
【分析】观察发现，第三个方程不含z，故前两个方程相加小区z，可将三元方程转化为二元一次方程组来求解．
解：解三元一次方程组要使解法较为简便，首先应进行的变形为①②．
故选：．
【点拨】本题考查了解三元一次方程组，利用消元的思想，消元的方法有：代入消元法和加减消元法．
10．D
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据题意正确的列方程组是解题的关键．
根据“若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行”，即可得出关于的二元一次方程组，此题得解．
解：依题意得，可列方程组为，
故选：D．
11． 3或2
【分析】二元一次方程组的定义：（1）含有两个未知数；（2）含有未知数的项的次数都是1，据此列式即可求解．
解：是关于，的二元一次方程组，
，或0，，
解得：或2，，，
答案：3或2，，
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的定义，利用它的定义即可求出代数式的解．
12．（答案不唯一）
【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的解，该题是开放题，注意方程组的解的定义．
根据方程组的解的定义，应该满足所写方程组的每一个方程．因此，可以围绕列一组算式，然后用，代换即可．
解：的解是，
故答案为：（答案不唯一）．
13．x+y=5
【分析】利用x=3-k，y=k+2，直接将两式左右相加得出即可．
解：∵x=3-k，y=2+k，
∴x+y=3-k+2+k=5．
故答案为：x+y=5．
【点拨】此题考查了解二元一次方程，利用了消元的思想，消去k是解本题的关键．
14．
【分析】本题考查了解三元一次方程组，掌握加减消元法是解答本题的关键．
把两个方程相加，可得，据此可得；①3②4，可得，据此可得，进而得出答案．
解：，
①②，得，
即，
∴；
①3②4，得，
即，
∴，
∴．
故答案为：．
15．2
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解法，掌握整体代入法是解题的关键．
先把两方程相减，再利用整体代入法得到方程，然后解关于k的一元一次方程即可．
解：，
得：，即，解得：．
故答案为：2．
16． 17
【分析】①②将代入即可解答；②给两边同乘以得到，再减去即可解答；
（1）解：代入式即可得到，进而得到，
故答案为；
（2）解：，
②得：，
③②得：，
∴，
∴，
∴，
故答案为．
【点拨】本题考查了带入消元法，加减法解代数式的值，掌握二元一次方程的解法是解题的关键．
17．
【分析】将两对解代入方程组的第一个方程求出a与b的值，将第一对解代入第二个方程求出c的值，即可求出的值．
解：依题意得，，
解得
将代入，解得
则，
故答案为：16．
【点拨】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，正确的计算是解题的关键，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
18．或
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，解二元一次方程组，根据题意易得，则，得出，和，联立求解得出，进而得出，设运动时间为t，则点P表示的数为，点Q标示的数为，根据数轴上两点之间距离的表示方法得出，，根据，列出方程求出t的值，即可求解．
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴联立得：，
解得：，
∴，
设运动时间为t，
∴点P表示的数为，点Q标示的数为，
∴，，
∵，
∴，
即或，
解得：或，
∴点Q标示的数为，或，
故答案为：或．
19．（1）1；（2）B
【分析】（1）根据提示进行运算即可；
（2）体现的数学思想方法是整体思想．
（1）解：，
得：，
即，
∵是方程组的解，
∴；
（2）解：该方法所体现出来的数学思想方法是整体思想，故B正确．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程的解，整体思想的应用，解题的关键是根据方程组得出．
20．（1）；（2）
【分析】（1）把①代入②，消去y求出x的值，进而求出y的值，即可确定出方程组的解．
（2）先将方程组变形为，然后由消去，求出的值，再把代入②求出的值，即可确定出方程组的解．
（1）解：，
把①代入②，得，
解得：，
把代入①，得，
∴；
（2）解：方程组整理得：，
由得：，
解得：
把代入②得：，
解得：，
∴．
【点拨】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
21．或．
【分析】本题考查了解三元二次方程组，因式分解分组分解法．先利用因式分解分组分解法可得：①，②，③，然后进行计算即可解答．
解：，
，
，
①，
，
，
，
②，
，
，
，
③，
①②得：，
④，
把④代入③得：，
解得：或，
当时，
把代入②得：，
解得：，
把代入③得：，
解得：；
当时，
把代入②得：，
解得：，
把代入③得：，
解得：；
原方程组的解为：或．
22．（1）-1，；（2）8
【分析】（1）利用① ②可求出x y的值，利用①＋②进行计算可求出x＋y的值；
（2）根据题意可得，然后利用整体的思想求出a＋b＋c＝8，即可解答．
（1）解：，
① ②得：x y＝-1，
①＋②得：5x＋5y＝17，则x＋y＝，
故答案为：-1，；
（2）根据题意得：，
①×2得：4a＋6b＋2c＝24③，
③ ②得：a＋b＋c＝8，
∵1*1＝a＋b＋c＝8．
【点拨】本题考查了二元一次方程组，加减法的应用，熟练掌握整体思想是解题的关键．
23．（1）商场第1次购进甲商品200件，乙商品150件；（2）乙种商品打九折销售的
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
（1）设第1次购进甲商品x件，乙商品y件，根据该商场第1次用39000元购进甲乙两种商品且销售完后获得利润6000元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设乙商品打m折出售，根据总利润单价利润销售量，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
（1）解：设第1次购进甲商品x件，乙商品y件．
根据题意得：，
解得：．
答：商场第1次购进甲商品200件，乙商品150件．
（2）解：设乙商品打m折出售．
根据题意得：，
解得：．
答：乙种商品打九折销售的．
24．（1）；（2）见分析
【分析】（1）选择其中一名同学的思路利用加减消元法求解即可；
（2）两方程相加求出，再把得到的新方程与方程组中第二个方程相加求出即可得证．
（1）解：选择小明：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∵，
∴，
解得：；
选择小王：，
得：，
∴，
∵，
∴，
解得：；
选择小丽：，
得：，
把代入①得：，
解得：，
把代入得：，
解得：；
（2）证明：，
得：，
得：，
∴，即不论取何值，的值始终不变．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
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