课件14张PPT。等腰三角形（一）如图12.3-1拿出一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它打开，得到的三角形ABC有什么特点？探究腰—相等的两边底—除腰外的一边顶角—两腰的夹角底角—腰与底的夹角有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
(如AB=AC， △ABC为等腰三角形)概念：想一想1、上面剪出的等腰三角形是抽对称图形吗？2、把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出
其中重合的线段和角。3、由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角
形的哪些性质呢？说一说你的猜想。 AC B D AB＝AC BD＝CD AD＝AD ∠B ＝ ∠C.∠BAD ＝ ∠CAD∠ADB ＝ ∠ADC 等腰三角形除了两腰相等以外, 你还能发现它的其他性质吗?猜想猜想与论证等腰三角形的两个底角相等。已知：△ABC中，AB=AC求证：∠B=?C分析：1.如何证明两个角相等？ 2.如何构造两个全等的三角形？则有∠1＝∠2D12在△ABD和△ACD中证明: 作顶角的平分线AD，AB＝AC ∠1＝∠2 AD＝AD （公共边） ∴ △ABD≌ △ACD （SAS） ∴ ∠B＝∠C （全等三角形对应角相等） 方法一则有 BD＝CDD在△ABD和△ACD中证明: 作△ABC 的中线ADAB＝AC BD＝CDAD＝AD （公共边） ∴ △ABD≌ △ACD （SSS） ∴ ∠B＝∠C （全等三角形对应角相等） 方法二则有 ∠ADB＝∠ADC ＝90oD在Rt△ABD和Rt△ACD中证明: 作△ABC 的高线ADAB＝AC AD＝AD （公共边） ∴Rt△ABD≌Rt△ACD （HL） ∴ ∠B＝∠C （全等三角形对应角相等） 方法三性质1：
等腰三角形的两个底角相等（简写为“等边对等角”）
性质2：
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合。
（简称为”三线合一”）
我们可以发现等腰三角形的性质:例1：如图在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD求△ABC各角的度数.
解：∵AB=AC， BD=BC=AD
∴∠ABC=∠C=∠BDC
∠A=∠ABD
设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x
于是在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180
解得x=36
在△ABC中，∠A=36, ∠ABC=∠C=72例题解析练一练1、等腰三角形的一个角是40度，它的另外两个
角的度数是多少呢？2、等腰三角形的一个角是100度，它的另外两个
角的度数是多少呢？3、等腰三角形的底边长为7cm，一腰长的中线把周长分为两部分，其差为3cm，则等腰三角形的腰长为多少？概念：有两条边相等的三角形是等腰三角形等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边中线或底边上的高线）所在直线是它的对称轴.1. 等腰三角形2. 能根据等腰三角形的概念与性质求等腰三角形的边长、周长及其知道一角求其它两角
小结习题12.3
1，2，4，7作业布置课件21张PPT。等腰三角形回顾复习：1、等腰三角形的性质定理是什么？等腰三角形的两个底角相等。
（可以简称：等边对等角）2、这个定理的逆命题是什么？如果一个三角形有两个角相等，
那么这个三角形是等腰三角形。3、这个命题正确吗？你能证明吗？导入新课如图，位于在海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？ 现在我们把这个问题一般化，在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
会相等吗？如若相等怎么证明，同学们思考一下，给出一个简单的证明．想一想已知：△ABC中，∠B=∠C求证：AB=AC证明：作∠BAC的平分线AD在△ BAD和△ CAD中，∠1=∠2，
∠B=∠C，
AD=AD∴ △ BAD≌ △ CAD（AAS）∴AB=AC（全等三角形的对应边
相等）12等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．注意：使用“等边对等角”前提是－－－在同一个三角形中例2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。例题解析已知： 如图，∠CAE是△ ABC的外角，∠1=∠2， AD∥BC。求证：AB=AC分析：从求证看：要证AB=AC，需证∠B=∠C，从已知看：因为∠1=∠2，AD∥BC
可以找出∠B，∠C与的关系。证明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B（两直线平行， 同位角相等），∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）。
∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC（等边对等角）。练习1已知：如图，
AD ∥BC，BD平分∠ABC。
求证：AB=AD
证明： ∵ AD ∥BC
∴∠ADB=∠DBC
∵∠ABD=∠DBC
∴∠ABD=∠ADB
∴AB=AD如图（1），标杆AB的高为5米，为了将它固定，需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的D、E两点拉两条绳子，使得D、B、E在一条直线上，量得DE=4米，绳子CD和CE要多长？[例2]这是一个与实际生活相关的问题，解决这类型问题，需要将实际问题抽象为数学模型．本题是在等腰三角形中已知等腰三角形的底边和底边上的高，求腰长的问题． 解：选取比例尺为1：100（即为1cm代表1m）． （1）作线段DE=4cm； （2）作线段DE的垂直平分线MN，与DE交于点B； （3）在MN上截取BC=2.5cm； （4）连接CD、CE，△CDE就是所求的等腰三角形，量出CD的长，就可以算出要求的绳长．
练习2已知：如图， ∠A= ∠DBC =360， ∠C=720。计算∠1和∠2，并说明图中有哪些等腰三角形？
解：∠1=720 ∠2=360等腰三角形有：△ABC， △ ABD， △ BCD练习32．如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠．重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？答案：是等腰三角形．因为，如图可证∠1=∠2．练习4如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB，求证：OC=OD．
证明： ∵OA=OB， ∴∠A=∠B．（等边对等角）又∵AB∥DC， ∴∠A=∠C，∠B=∠D．（两直线平行，内错角相等） ∴∠C=∠D （等量代换） ∴OC=OD（等角对等边） ①定义，②判定定理 条件和结论刚好相反。在同一个三角形中小结作业布置：习题12.3 5，6，9，13题课件17张PPT。等边三角形（一）有两边相等的三角形是等腰三角形。2.等边对等角,3. 三线合一。4.是轴对称图形.2.等角对等边,1.两边相等。1.两腰相等. 复习等边三角形 在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边相等。 我们把三条边都相等的三角形
叫做等边三角形（正三角形）。1.等边三角形的内角都相等吗?为什么?
由已知:AB=AC=BC,
∵AB=AC
∴∠B=∠C (为什么?)
同理 ∠A=∠C
∴∠A=∠B=∠C
∵ ∠A+∠B+∠C=180°
∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °
结论:等边三角形的内角都相等,且等于60 °.
等边三角形性质探索:ABC2.等边三角形是轴对称图形吗？若是，
有几条对称轴？
结论:等边三角形是轴对称图形，
有三条对称.等边三角性质探索:3.等边三角形每边上的中线,高和所对角的平分线都三线合一吗?为什么?
结论:等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一,它们交于一点,这点叫三角形的中心.等边三角性质探索:ABCO等边三角形的性质1.等边三角形的内角都相等,且等于60 °
2.等边三角形是轴对称图形，有三条对称.
3.等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线
都三线合一.1.三个内角都等于60 °的三角形是等边三角形.
∵∠A=∠B=∠C=60 °
∴AB=AC=BC (为什么)
∴三角形△ABC是等边三角形.等边三角形判定探索:AaBCAC2.有一个内角等于60 °的等腰三角形是等边三角形.
假若AB=AC.则∠ B= ∠ C
当顶角∠A=60 °时,
∠ B= ∠ C= 60 °
∴ ∠A= ∠ B= ∠ C=60 ° ∴ △ABC是等边三角形.
当底角∠ B= 60时,
∠ C=60 °, ∠A=180 —(60° +60 °)=60. °
∴ ∠A= ∠ B= ∠ C=60 ° ∴ △ABC是等边三角形.ABC等边三角形的判定方法:1.三边相等的三角形是等边三角形.
2.三个内角都等于60 °的三角形是等边三角形.
3.有一个内角等于60 °的等腰三角形是等边三角形.
1如图,等边△ABC中,三条内角平分线AD,BE,CF相交于点O.
(1) △ AOB. △ BOC和△ AOC有什么关系?请说明理由.
(2) 求∠ AOB, ∠ BOC, ∠ AOC的度数.△ABC绕O旋转,问要旋转多少度,就能和原来的三角形重合(只要求说出一个旋转度数.)AFBDCEF例题1.三边都相等的三角形叫做____三角形.
2.等边三角形的每个内角都等于____度.
3.等边三角形有____条对称轴.
4.等边三角形的对称轴的交点叫___.
等边三角形绕中心至少旋转___度.才能和原来的三角形重合.等边603中点120练习2.已知:等边△ABC中,DB是AC边上的高,E是BC延长线上一点,且DB=DE,求∠ E的度数.BCDAE例题3.如图, △ABC为等边三角形, ∠ 1= ∠ 2= ∠ 3
(1)求BEC的度数.
(2)DEF为等边三角形吗?为什么?ABBBCDFE312BDF例题1.等边三角形三条对称轴的交点到各边的距离都相等吗?请说明理由.
2.已知△ABC是等边三角形,D,E,F分别是各边上的一点,且AD=BE=CF.试说明△ DEF是等边三角形.
3.D,E是△ABC中BC上的两点,且BD=DE=EC=AD=AE.求∠ B与∠ BAC的度数.ADCFBEABDEC练习(1).等边三角形的性质.
1.等边三角形的内角都相等,且等于60 °
2.等边三角形是轴对称图形，有三条对称.
3.等边三角形各边上中线,高和所对角的平 分线都三线合一.(2) 等边三角形的判定:1.三边相等的三角形是等边三角形.
2.三个内角都等于60 °的三角形是等边三角形.
3.有一个内角等于60 °的等腰三角形是等边三角形.小结习题12.3 6、11作业布置课件13张PPT。等边三角形知识回顾:等边三角形的性质
1.等边三角形的内角都相等,且都等于60 °
2.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴
3.等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一.
1.三边相等的三角形是等边三角形.
2.三个内角都等于60 °的三角形是等边三角形.
3.有一个内角等于60 °的等腰三角形是等边三角形.等边三角形的判定:含30 °直角三角形性质探索：
在△ABＤ中，ＡＢ＝ＢＤ＝ＤＡ，ＡＣ是底边ＢＤ上的高，探究ＢＣ与ＡＢ之间的数量有什么关系？
分析：∵ ＡＣ是等边△ABＤ的高
∴ △ABＤ关于直线ＡＣ对称
∴ＢＣ＝ＣＤ
∵ＡＢ＝ＢＤ
∴ＢＣ＝ＣＤ＝ ＡＢ
新知探究
在一个直角三角形中，如果一个角是30 °，那么30 °的角所对的直角边与斜边又有什么关系呢？
如图右： △ABC 中，∠A＝ 30 °，
∠BＣＡ＝ ９0°，问ＢＣ与ＡＢ有怎样的关系？
由上述的探究便知：
ＢＣ＝ ＡＢ
你还有其它的方法证吗？
在直角三角形中，如果一个锐角等30°，
那么，它所对的直角边等于斜边的一半。
即在Rt△ABC 中，如果
∠ＡＣB ＝ ９0° ∠A＝ 30 °
那么 ＢＣ＝ ＡＢ
定理： 1、在Rt△ABC 中， 如果
∠BＣＡ＝ ９0° ， ∠A＝ 30 °
AB=4，求BC之长。
解：由定理知识得
BC= AB
而AB=4
∴BC=2
练一练
2、在Rt△ABC 中， 如果∠BＣＡ＝ ９0° ， ∠A＝ 30 °，CD是高，
（1）BD=1，则BC、AB各等于多少；
（2）求证：BD= BC= AB
解：（1）由已知可求得
∠BＣD= 30 °
于是在Rt△ADC 与Rt△BDC
中用本定理得BC=2，AB=4
（2）在Rt△ADC 与Rt△BDC运用本定理
BD= BC BC= AB
∴ BD= BC= AB
3.右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m, ∠A＝ 30 °,立柱BC、DE要多长？
解： ∵DE⊥AC，BC⊥AC， ∠A＝ 30 °
由上述定理可得：
BC=1/2AB，DE=1/2AD，
∴BC=1/2×7.4=3.7(m)
又AD=1/2AB,=
∴DE=1/2AD=1/2×3.7=1.85(m).
答：立柱BC、DE分别要3.7m、1.85m.1.在Rt△ABC 中， ∠Ｃ＝ ９0°，
∠B＝ 2 ∠Ａ，问∠B 、∠A各是多少度？
边AB与BC之间有什么关系？随堂练习
2.如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC，立柱AD⊥BC，且顶角
∠BAＣ＝ 100° ∠Ｃ、∠BAD 、∠ＣAD各是多少度？ 1 .如图,在△ABC 中∠C=90°,∠B=15°,AB的垂直平分线交BC于D,交AB于M,且BD=8㎝,求AC之长.作业
2. 如图,在△ABC 中,AB=AC, ∠A=120°,AB的垂直平分线
MN交BC于M,交AB于N,
求证:CM=2BM
含30°的直角三角形的定理：
在直角三角形中，如果一个锐角等30°，
那么，它所对的直角边等于斜边的一半。
小结
