第二章因数与倍数2.3质因数与公因数全题型分析（讲义）-2023-2024学年五年级下册数学人教版（学案）
文档属性
| 名称 | 第二章因数与倍数2.3质因数与公因数全题型分析（讲义）-2023-2024学年五年级下册数学人教版（学案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 71.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-15 08:21:01 | ||
图片预览
文档简介
人教版2023-2024五年级下册第二章因数与倍数2.3质因数与公因数全题型分析
引例：你能将下面的合数写成几个质数相乘的形式吗？有什么好方法？
20＝□×□×□ 42＝ 50＝ 84＝
一、分解质因数
把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来，就叫做分解质因数。
1、其中每个质数都是这个合数的因数，这种因数就叫做质因数。
2、在分解的过程中，利用2、3、5、7等质数的整除性质。
【例1】把18进行分解质因数
解：方法一：列乘法算式。如下图分析，可得 18＝2×3×3
方法二：“短除法”。如下图分析，可得 18＝2×3×3
这里的2和3就是18的质因数。
练习：从下面的数中圈出合数，并用短除法将合数分解质因数
20 97 156 71
【例2】下列算式中，□里数字各不相同，将符合要求的数字填入下列方框中。
□□×□□=1995
思路分析：将1995分解质因数
1995=3×5×7×19，题目要求是将1995写出两个因数相乘，质因数3、5、7、19其中5×7=35,3×19=57或3×7=21,5×19=95，因此可以有35×57=1995和21×95=1995，因为要满足数字各不相同的条件，所以取35×57或21×95。
你还可以写出其他答案吗？
（7的倍数特征：将数字尾数前的数字减去尾数的2倍，得到的差是7的倍数，这个数就是7的倍数。如602，60-2×2=56，56是7的倍数，故602是7的倍数）
练习：1、在下列算式的框内，各填入一个数字，使算式成立。
□×□□□=1890
2、下面四张小纸片各盖住一个数字，如果这四个数字是连续的偶数，请写出这个完整的算式。
□□×□□=2208
【例3-1】a=85×14×25 b=34×15×35 c=10×51×35，则答案相同的是（ ）
A、a和c B、b和c C、a和b D、无法判断
思路分析：质数只有1和它本身两个因数，因此一个合数的质因数是唯一的，如30=2×3×5，没有其他的分解质因数。
a=85×14×25=5×17×2×7×5×5=2×53×7×17
=29750
b=34×15×35=2×17×3×5×5×7=2×3×52×7×17
=17850
c=10×51×35=2×5×3×17×5×7=2×3×52×7×17
=17850
我们发现b和c在分解质因数后，结果是一样的，因此b和c答案是相同的。
我们发现：一个合数分解质因数的结果是唯一的。
【例3-2】A＝2×2×2×3，那么A=（ ）×（ ）=（ ）×（ ）=（ ）×（ ）=（ ）×（ ）
思路分析：将A表示为两个因数相乘，这两个因数可以不是质因数，而是“合因数”。虽然A分解质因数是唯一的，但是将这4个质因数中的一部分相乘，可以变成A的合因数。如A=（2×2×2）×3=8×3.
因此我们可以写出所有A的因数：
A=1×（2×2×2×3）=1×24
A=2×（2×2×3）=2×12
A=(2×2)×(2×3)=4×6
A=(2×2×2)×3=8×3
总结：一个合数的质因数中，任意2个或2个以上的质因数相乘，是这个合数的合因数。
练习：1、一个数是5个2,3个3。2个5，,1个7的连乘积，这个数当然有许多因数是两位数，这些两位数的因数中。最大的是几？
2、如果a是质数，那么19a的因数有（ ）个。
A、2 B、3 C、3或4 D、4
3、从以下算式中找出几对算式，要求每一对中一个算式的得数是另一个算式的得数的倍数，你能找出几对？说说你的方法。
35×4 3×5×7 2×7 3×8×25 3×5 22×5
【例4】用54个大小相同的小正方形拼成一个大长方形，有多少种不同的拼法？
思路分析：将小正方形拼成大长方形：
6行9列 3行18列
2行27列
54=6×9=3×18=2×27
我们发现这些长方形都是由54个小正方形组成的，且行×列=小正方形个数
因此，只要找出所有54的因数就可以。
方法一：54=1×54 方法二：54=2×33=21×33
54=2×27 54的因数有（1＋1）×（3+1）=8个
54=3×18
54=6×9
因此可以拼出4种长方形
注：因数个数的计算方法，可以用质因数的次数加1相乘。
练习：1、两个连续奇数的乘积是675，它们的和是（ ）。
2、一个长方形的面积是72平方厘米，长方形有多少种？如果它的长和宽是两个相邻的自然数。这个长方形的周长是多少？
3、有195名学生排成几队进行花样体操表演，表演时有不同的队形变换，行数和列数都大于1.共有多少种队形变换？
【例5】王老师带领一班同学去植树，学生恰好分成4组。如果王老师和学生每人植树一样多，那么他们一共植了539棵。这个班有多少个学生？每人植树多少棵？
思路分析：根据：每人植树棵数×人数=539棵，把539分解质因数。539=72×11。
因此539的因数个数为（2+1）×（1+1）=6个，即1、7、11、7×7、7×11、7×7×11，这些因数都可以是人数或每人植树棵树。
（1）如果每人植树1棵，那么539=1×539，即每人植1棵树，共有539个人，而539人中有王老师和他的学生，因此这个班就有539－1=538人，其中538÷4=134.5，不符合实际；
（2）如果每人植7棵，那么539=7×77，即每人植7棵树，共有77个人，而77人中有王老师和他的学生，因此这个班就有7×11－1=76人，其中76÷4=19，说明每组19人；
（3）如果每人植树11棵，那么539=11×49，即每人植11棵树，共有49个人，而49人中有王老师和他的学生，因此这个班就有49－1=48人，其中48÷4=12，说明每组12人；
（4）如果每人植树49棵，那么539=49×11，即每人植49棵树，共有11个人，而11人中有王老师和他的学生，因此这个班就有11－1=10人，其中10÷4=2.5，不符合实际；
（5）如果每人植树77棵，那么539=77×7，即每人植77棵树，共有7个人，而7人中有王老师和他的学生，因此这个班就有7－16人，其中6÷4=1.5，不符合实际；
（6）如果每人植树539棵，那么539=539×1，即每人植539棵树，共有1个人，不符合实际。
解：539=7×77 539=11×49
这个班共有76人，每人植树7棵，或共有48人，每人植树11棵。
总结：已知乘积求因数，都可以使用分解质因数，且合因数是质因数的乘积。
练习：1、爷爷今年84岁了，他的3个孙子的年龄的乘积刚好是爷爷的年龄，而且两个孙子的年龄和正好等于另一个孙子的年龄。三个孙子今年的年龄各是几岁？
2、上小学的刘华参加数学竞赛，他说：“我的成绩和我的年龄以及我的名次乘起来是1869分，满分是100分”。你知道刘华的年龄、成绩和名次各是多少吗？
3、3月12日是植树节，李老师带领同学们排成两路人数相等的纵队去植树。已知李老师和同学们每人植树的棵数相等，一共植了111棵树，求有多少个学生。
课后练习一
1、用短除法分解质因数
28 54 92 132 105 351
2、已知300＝2×2×3×5×5，则300一共有多少个不同的因数？
3、27的质因数有（ ）
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
4、判断：一个数是2的倍数，也是5的倍数，一定是10的倍数。（ ）
因为60﹦3×4×5，所以3、4、5都是60的质因数。 （ ）
一个自然数越大，它的因数就越多。 （ ）
5、S=2×2×3×7，那么S有（ ）个因数。
6、已知m﹦2×3×5,那么m的全部因数有（ ）。
7、a、b是不同的两个质数，则ab的因数有（ ）个。
8、如果A=4×35×143，B=20×91×11，C=25×13×77，那么你能知道（ ）。
A、A=B B、B=C C、A=B=C
课后练习二
1、王丽参加学校六年级的数学竞赛，并获得了前三名，他高兴地对同学说：“我的得分，名次与我的年龄之积恰好是2328.”你能推算出她的年龄，名次与成绩么？
2、一个三角形的面积是10.5平方分米，这个三角形的底和高是两个用分米做单位的质数，这个三角形的底和高各是多少分米？（高比底长）
3、一个盒子中有96颗棋子，如果不一次拿出，也不一个一个拿出，但每次拿出的个数相等，最后一次正好拿完，那么，共有多少种不同的拿法？
4、刘小华是一名小学生，他参加了学校的数学竞赛。同学问他：“这次数学竞赛你得了多少分？获得了第几名？”刘小华说：“我的分数、名次、年龄都是质数，它们的乘积是1358.”你知道他的分数和名次各是多少吗？
5、有四个小朋友，他们的年龄一个比一个大1岁，四人年龄的乘积为360，他们中年龄最大是多少岁？
引例：你能将下面的合数写成几个质数相乘的形式吗？有什么好方法？
20＝□×□×□ 42＝ 50＝ 84＝
一、分解质因数
把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来，就叫做分解质因数。
1、其中每个质数都是这个合数的因数，这种因数就叫做质因数。
2、在分解的过程中，利用2、3、5、7等质数的整除性质。
【例1】把18进行分解质因数
解：方法一：列乘法算式。如下图分析，可得 18＝2×3×3
方法二：“短除法”。如下图分析，可得 18＝2×3×3
这里的2和3就是18的质因数。
练习：从下面的数中圈出合数，并用短除法将合数分解质因数
20 97 156 71
【例2】下列算式中，□里数字各不相同，将符合要求的数字填入下列方框中。
□□×□□=1995
思路分析：将1995分解质因数
1995=3×5×7×19，题目要求是将1995写出两个因数相乘，质因数3、5、7、19其中5×7=35,3×19=57或3×7=21,5×19=95，因此可以有35×57=1995和21×95=1995，因为要满足数字各不相同的条件，所以取35×57或21×95。
你还可以写出其他答案吗？
（7的倍数特征：将数字尾数前的数字减去尾数的2倍，得到的差是7的倍数，这个数就是7的倍数。如602，60-2×2=56，56是7的倍数，故602是7的倍数）
练习：1、在下列算式的框内，各填入一个数字，使算式成立。
□×□□□=1890
2、下面四张小纸片各盖住一个数字，如果这四个数字是连续的偶数，请写出这个完整的算式。
□□×□□=2208
【例3-1】a=85×14×25 b=34×15×35 c=10×51×35，则答案相同的是（ ）
A、a和c B、b和c C、a和b D、无法判断
思路分析：质数只有1和它本身两个因数，因此一个合数的质因数是唯一的，如30=2×3×5，没有其他的分解质因数。
a=85×14×25=5×17×2×7×5×5=2×53×7×17
=29750
b=34×15×35=2×17×3×5×5×7=2×3×52×7×17
=17850
c=10×51×35=2×5×3×17×5×7=2×3×52×7×17
=17850
我们发现b和c在分解质因数后，结果是一样的，因此b和c答案是相同的。
我们发现：一个合数分解质因数的结果是唯一的。
【例3-2】A＝2×2×2×3，那么A=（ ）×（ ）=（ ）×（ ）=（ ）×（ ）=（ ）×（ ）
思路分析：将A表示为两个因数相乘，这两个因数可以不是质因数，而是“合因数”。虽然A分解质因数是唯一的，但是将这4个质因数中的一部分相乘，可以变成A的合因数。如A=（2×2×2）×3=8×3.
因此我们可以写出所有A的因数：
A=1×（2×2×2×3）=1×24
A=2×（2×2×3）=2×12
A=(2×2)×(2×3)=4×6
A=(2×2×2)×3=8×3
总结：一个合数的质因数中，任意2个或2个以上的质因数相乘，是这个合数的合因数。
练习：1、一个数是5个2,3个3。2个5，,1个7的连乘积，这个数当然有许多因数是两位数，这些两位数的因数中。最大的是几？
2、如果a是质数，那么19a的因数有（ ）个。
A、2 B、3 C、3或4 D、4
3、从以下算式中找出几对算式，要求每一对中一个算式的得数是另一个算式的得数的倍数，你能找出几对？说说你的方法。
35×4 3×5×7 2×7 3×8×25 3×5 22×5
【例4】用54个大小相同的小正方形拼成一个大长方形，有多少种不同的拼法？
思路分析：将小正方形拼成大长方形：
6行9列 3行18列
2行27列
54=6×9=3×18=2×27
我们发现这些长方形都是由54个小正方形组成的，且行×列=小正方形个数
因此，只要找出所有54的因数就可以。
方法一：54=1×54 方法二：54=2×33=21×33
54=2×27 54的因数有（1＋1）×（3+1）=8个
54=3×18
54=6×9
因此可以拼出4种长方形
注：因数个数的计算方法，可以用质因数的次数加1相乘。
练习：1、两个连续奇数的乘积是675，它们的和是（ ）。
2、一个长方形的面积是72平方厘米，长方形有多少种？如果它的长和宽是两个相邻的自然数。这个长方形的周长是多少？
3、有195名学生排成几队进行花样体操表演，表演时有不同的队形变换，行数和列数都大于1.共有多少种队形变换？
【例5】王老师带领一班同学去植树，学生恰好分成4组。如果王老师和学生每人植树一样多，那么他们一共植了539棵。这个班有多少个学生？每人植树多少棵？
思路分析：根据：每人植树棵数×人数=539棵，把539分解质因数。539=72×11。
因此539的因数个数为（2+1）×（1+1）=6个，即1、7、11、7×7、7×11、7×7×11，这些因数都可以是人数或每人植树棵树。
（1）如果每人植树1棵，那么539=1×539，即每人植1棵树，共有539个人，而539人中有王老师和他的学生，因此这个班就有539－1=538人，其中538÷4=134.5，不符合实际；
（2）如果每人植7棵，那么539=7×77，即每人植7棵树，共有77个人，而77人中有王老师和他的学生，因此这个班就有7×11－1=76人，其中76÷4=19，说明每组19人；
（3）如果每人植树11棵，那么539=11×49，即每人植11棵树，共有49个人，而49人中有王老师和他的学生，因此这个班就有49－1=48人，其中48÷4=12，说明每组12人；
（4）如果每人植树49棵，那么539=49×11，即每人植49棵树，共有11个人，而11人中有王老师和他的学生，因此这个班就有11－1=10人，其中10÷4=2.5，不符合实际；
（5）如果每人植树77棵，那么539=77×7，即每人植77棵树，共有7个人，而7人中有王老师和他的学生，因此这个班就有7－16人，其中6÷4=1.5，不符合实际；
（6）如果每人植树539棵，那么539=539×1，即每人植539棵树，共有1个人，不符合实际。
解：539=7×77 539=11×49
这个班共有76人，每人植树7棵，或共有48人，每人植树11棵。
总结：已知乘积求因数，都可以使用分解质因数，且合因数是质因数的乘积。
练习：1、爷爷今年84岁了，他的3个孙子的年龄的乘积刚好是爷爷的年龄，而且两个孙子的年龄和正好等于另一个孙子的年龄。三个孙子今年的年龄各是几岁？
2、上小学的刘华参加数学竞赛，他说：“我的成绩和我的年龄以及我的名次乘起来是1869分，满分是100分”。你知道刘华的年龄、成绩和名次各是多少吗？
3、3月12日是植树节，李老师带领同学们排成两路人数相等的纵队去植树。已知李老师和同学们每人植树的棵数相等，一共植了111棵树，求有多少个学生。
课后练习一
1、用短除法分解质因数
28 54 92 132 105 351
2、已知300＝2×2×3×5×5，则300一共有多少个不同的因数？
3、27的质因数有（ ）
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
4、判断：一个数是2的倍数，也是5的倍数，一定是10的倍数。（ ）
因为60﹦3×4×5，所以3、4、5都是60的质因数。 （ ）
一个自然数越大，它的因数就越多。 （ ）
5、S=2×2×3×7，那么S有（ ）个因数。
6、已知m﹦2×3×5,那么m的全部因数有（ ）。
7、a、b是不同的两个质数，则ab的因数有（ ）个。
8、如果A=4×35×143，B=20×91×11，C=25×13×77，那么你能知道（ ）。
A、A=B B、B=C C、A=B=C
课后练习二
1、王丽参加学校六年级的数学竞赛，并获得了前三名，他高兴地对同学说：“我的得分，名次与我的年龄之积恰好是2328.”你能推算出她的年龄，名次与成绩么？
2、一个三角形的面积是10.5平方分米，这个三角形的底和高是两个用分米做单位的质数，这个三角形的底和高各是多少分米？（高比底长）
3、一个盒子中有96颗棋子，如果不一次拿出，也不一个一个拿出，但每次拿出的个数相等，最后一次正好拿完，那么，共有多少种不同的拿法？
4、刘小华是一名小学生，他参加了学校的数学竞赛。同学问他：“这次数学竞赛你得了多少分？获得了第几名？”刘小华说：“我的分数、名次、年龄都是质数，它们的乘积是1358.”你知道他的分数和名次各是多少吗？
5、有四个小朋友，他们的年龄一个比一个大1岁，四人年龄的乘积为360，他们中年龄最大是多少岁？