18.1.1 第2课时 平行四边形对角线的性质 课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
第十八章 平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质
第2课时 平行四边形对角线的性质
学习目标
1.掌握平行四边形对角线互相平分的性质；（重点）
2.经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗透转化思想，体会图形性质探究的一般思路.（难点）
讲授新课
平行四边形对角线的性质
问题：我们知道平行四边形的边角这两个基本要素的性质，那么平行四边形的对角线又具有怎样的性质呢
A
B
C
D
O
OA与OC,OB与OD有什么关系
猜一猜
OA=OC,OB=OD
怎样证明这个猜想呢？
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC，AD∥BC,
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4,
∴ △AOD≌△COB（ASA）,
∴ OA=OC，OB=OD.
已知：如图,□ ABCD的对角线AC、BD相交于点O.
求证：OA=OC，OB=OD.
A
C
D
B
O
3
2
4
1
如图，□ABCD的对角线AC,BD交于点O.过点O作直线EF,分别交AB,CD于点E，F.求证：OE=OF.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ODF=∠OBE,
∠DFO=∠BEO,
∴△DOF≌△BOE（AAS）,
∴AB∥CD, OD=OB,
∴OE=OF.
A
B
C
D
F
E
O
练一练：
要点归纳
平行四边形对角线的性质
平行四边形的对角线互相平分.
A
C
D
B
O
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC，OB=OD.
例1：如图，在□ABCD中，AB=10，AC=14，BD=8. △AOB 的周长是多少 △ABC与△ABD的周长哪个长？长多少？
解：在□ABCD中，AB＝CD＝10，AD＝BC.
因为AC＝14，BD＝8，
所以OA＝OC＝ AC＝ ×8＝7，
OB＝OD＝ BD＝ ×14＝4.
∴△AOB的周长为OA＋OB＋AB＝7＋4＋10＝21，△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝10＋14＋BC＝24＋BC，△ABD的周长为AB＋BD＋AD＝10＋8＋AD＝18＋AD，
∴△ABC的周长>△ABD的周长，
又∵AD＝BC，
∴△ABC的周长－△ABD的周长＝24＋BC－(18＋AD)
＝24＋BC－18－AD＝6，
即△ABC的周长比△ABD的周长长，长6.
变式1：已知□ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.
∵△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，
∴AB－AD＝5cm.
又∵□ABCD的周长为60cm，
∴AB＋AD＝30cm，
则AB＝CD＝17.5cm,AD＝BC＝12.5cm.
2.在□ABCD中，AC=24,BD=38,AB=m, 则m的取值范围是 ( )
A. 24C.7B
C
D
A
O
C
讲授新课
平行四边形的面积
问题1 ：如图，在□ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC. 求BC，CD，AC，OA的长，以及□ABCD的面积．
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
根据勾股定理得
∴BC=AD=8,CD=AB=10.
是直角三角形.
又∵OA=OC,
讲授新课
平行四边形的面积
问题2：平行四边形的对角线分平行四边形ABCD为四个三角形，它们的面积有怎样的关系呢？
解：相等.理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵△ADO与△ODC等底同高，
∴S△ADO=S△ODC.
同理可得S△ADO=S△ODC=S△BCO=S△AOB.
练一练：
如图，平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若平行四边形ABCD的周长为48，DE=5，DF=10，求平行四边形ABCD的面积.
解：设AB=x，则BC=24-x.
根据平行四边形的面积公式可得
5x=10(24-x)，
解得x=16．
则平行四边形ABCD的面积为5×16=80．
要点归纳
平行四边形的面积
1．面积公式：平行四边形的面积＝底×高(底为平行四边形的任意一条边，高为这条边与其对边间的距离)．
2．等底等高的平行四边形的面积相等．
3．平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的三角形，且都等于平行四边形面积的四分之一.相对的两个三角形全等.
例2. 如图，若□ABCD的周长为36 cm，过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE＝4 cm，DF＝5 cm，□ABCD的面积为(　 　)cm2.
A．40
B．32
C．36
D．50
A
变式2:把一个平行四边形分成3个三角形，已知两个阴影三角形的面积分别是9cm2和12cm2，求平行四边形的面积．
解：（9+12）×2
=21×2
=42（cm2）
答：平行四边形的面积是42cm2．
例3： 如图，AC,BD交于点O，EF过点O,□ABCD被EF所分的两个四边形面积相等吗？
A
B
C
D
O
F
E
M
N
解：设直线EF交AD,BC于点N,M.
∵AD∥BC,
∴∠NAO=∠MCO,∠ANO=∠CMO.
又∵AO=CO,
∴△NAO≌△MCO，
∴S四边形ANMB=S△NAO+S△AOB+S△MOB=S△MCO+S△AOB+S△MOB
=S△AOB+S△COB= S△ABC ＝ S□ABCD .
∴S四边形ANMB=S四边形CMND,
即平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等.
变式3 如图，欢欢看到平行四边形的草地中间有一水井，为了浇水的方便，欢欢建议我们经过水井修小路，一样可以把草地分成面积相等的两部分，同学们，你知道聪明的欢欢是怎么分的吗？
B
M
C
●
D
A
O
解：如图所示．
当堂练习
1.如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且 AC+BD=16,CD=6,则△ABO的周长是（ ）
A. 10 B. 14 C. 20 D. 22
B
C
D
A
O
B
3.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，则下列结论：
①CF＝AE；
②OE＝OF；
③DE＝BF；
④图中共有四对全等三角形．
其中正确结论的个数是(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
B
4.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O与AD，BC分别相交于E，F，如果AB=4，BC=5，OE=1.5，那么四边形EFCD的周长为（　　）
A.16
B.14
C.12
D.10
A
D
C
B
F
E
O
C
5.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，则BD的长是 .
6.如图，平行四边形ABCD的面积为20，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，CD上的点，且AE=DF，则图中阴影部分的面积为_______．
5
7.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD，交BC于点E.若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长是多少？
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD，OB=OD.
∵OE⊥BD，
∴BE=DE.
∵△CDE的周长为10，
∴DE+CE+CD=BE+CE+CD=BC+CD=10，
∴平行四边形ABCD的周长为
2×(BC+CD)=20．
8. 如图，已知 ABCD与 EBFD的顶点A，E，F，C 在一条直线上，求证：AE＝CF.
证明：如图，连接BD交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)．
∵四边形EBFD是平行四边形，
∴OE＝OF(平行四边形的对角线互相平分)，
∴OA－OE＝OC－OF，即AE＝CF(等式的性质)．
课堂小结
平行四
边形对角线的
性质
平行四边形对角线互相平分
两条对角线分平行四边形为面积相等的四个三角形
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等.
过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.且与对角线围成的三角形相对的两个全等.