人教版九年级数学下册第二十二章 二次函数 单元复习题(含解析)

人教版九年级数学下册第二十二章二次函数单元复习题
一、选择题
1．下列关于的函数中，一定是二次函数的是（　　）
A． B．
C． D．
2．二次函数图象的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
3．已知抛物线下列结论错误的是（　　）
A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x=2
C．抛物线的顶点坐标为(2，1) D．当x<2时，y随x的增大而增大
4．形状与抛物线y＝﹣x2+2相同，并且图象有最低点，则抛物线可能是将（　　）
A．y＝x2+5x+6 B．y＝﹣x2﹣5x+6
C．y＝﹣x2+5x+6 D．y＝x2+5x+6或y＝﹣x2﹣5x+6
5．已知抛物线y＝x2+mx+9的顶点在x轴上，则m的值为（　　）
A．6 B．±6 C．±3 D．±9
6．若函数是二次函数，则m的值为（　　）
A．0或-1 B．0或1 C．-1 D．1
7．已知函数（m为常数），当时，函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是（　　）
A．． B．． C．． D．．
8．若y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的另一个解为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
9．在年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度单位：米与飞行的水平距离单位：米之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
10．已知点，，都在函数的图象上，则（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．二次函数经过点，则　 　．
12． 若抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，2），B（3，2），则此抛物线的对称轴是直线 　 　．
13．如图，王叔叔想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈，已知房屋外墙足够长，当矩形的边　 　时，羊圈的面积最大．
14．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①b＞0；②a﹣b+c＝0；③当x＜﹣1或x＞3时，y＞0；④一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根．
上述结论中正确的是　 　．（填上所有正确结论的序号）
三、解答题
15．已知二次函数的图象以点A(－1，4)为顶点，且过点B(2，-5)
（1）求该函数的表达式.
（2）直接写出y随x的增大而增大时自变量x的取值范围.
16．若函数是以x为自变量的二次函数．
（1）求k的值；
（2）当函数值时，求自变量x的值．
17．已知抛物线的对称轴是直线，
（1）求证：；
（2）若关于x的方程，有一个根为5，求方程的另一个根．
18．毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
19．已知 是二次函数，且函数图象有最高点．
（1）求k的值；
（2）求顶点坐标和对称轴，并说明当x为何值时，y随x的增大而减少．
20．设二次函数，a为常数，且.
（1）写出该函数的对称轴和顶点坐标.
（2）若该函数图象经过点，，当时，试比较和的大小关系.
（3）若该函数图象经过点，，设，当时，均有，请求出实数n的取值范围.
21．某公路有一个抛物线形状的隧道ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y＝-x2+c且过顶点C（0，5）.（长度单位：m）
（1）直接写出c＝　 　；
（2）求该隧道截面的最大跨度（即AB的长度）是多少米？
（3）该隧道为双向车道，现有一辆运货卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由.
22．已知抛物线.
（1）若，，求该抛物线与轴公共点的坐标；
（2）若，且当时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求的取值范围；
（3）若，且时，对应的；时，对应的，试判断当时，抛物线与轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：A：，当a=0时，该函数不是二次函数，A不符合题意；
B：，该函数是二次函数，B符合题意；
C：，该函数的一次函数，C不符合题意；
D：，该函数是一次函数，D不符合题意；故答案为：B
【分析】根据二次函数的定义结合题意对选项逐一分析即可求解。
2．【答案】C
【解析】【解答】解：二次函数，
二次函数图象的顶点坐标为．
故答案为：C．
【分析】二次函数y=ax2+c的顶点坐标是（0，c），据此求解。
3．【答案】D
【解析】【解答】解： 抛物线抛物线开口向上，对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2，1)，当时，y随x的增大而增大.
故选项A、B、C说法正确，选项D说法错误.
故答案为：D.
【分析】根据抛物线的性质，逐项判断即可.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：∵形状与抛物线相同，并且图象有最低点，
∴，
∴只有选项A符合题意，
故答案为：A．
【分析】根据二次函数的图象和性质判断即可．
5．【答案】B
【解析】【详解】解：∵抛物线的顶点在x轴上，
∴，
解得．
故答案为：B.
【分析】由题意可得函数图象与x轴的交点个数为1，可得到，即可求解．
6．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得：m2+m+2=2，且m≠0，
解得：m=-1.
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的定义得m2+m+2=2，且m≠0，解出即可.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：函数的对称轴为直线：
∵
∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
∵当时，函数值y随x的增大而增大，
∴
故答案为：A.
【分析】先确定对称轴，再根据二次函数的增减性求解．
8．【答案】B
9．【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意
小康的成绩是函数值为0时的x值
即
解得x1=12 x2=-2（不符合题意舍去）
故答案为：B
【分析】二次函数图象是抛物线，可作为实心球飞行轨迹的数学模型，根据建立的坐标系分析出实心球的落地点横坐标就是函数值为0时的自变量x的值。
10．【答案】C
【解析】【解答】解：，
抛物线的对称轴是直线，开口向上，
当时，随的增大而减小，
，
，
故答案为：C．
【分析】利用二次函数的解析式确定抛物线的增减性，再利用增减性判定即可．
11．【答案】2
【解析】【解答】解：将P（-1，2）代入中得：，
解得：，
故答案为：2.
【分析】将点P（-1，2）代入y=ax2，可求出a的值.
12．【答案】x＝1
【解析】【解答】 ∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，2），B（3，2）
∴抛物线的对称轴=
∴ 对称轴是直线x=1
【分析】本题考查二次函数的对称轴与对称性。二次函数的图象具有对称性，则函数图象上的两点纵坐标相同时，对称轴=横坐标和的一半，据此可得答案。
13．【答案】15
【解析】【解答】解：设AB=x，面积为S，由题意可得S=x(60-2x)=-2(x-15)2+450，
∴当x=15时，羊圈的面积最大.
故答案为：15.
【分析】设AB=x，面积为S，则BC=(60-2x)，根据矩形的面积公式可得S=x(60-2x)，然后根据二次函数的性质进行解答.
14．【答案】②③④
【解析】【解答】解：图像开口向上，，
对称轴x=1，，
，，故①错误；
由图像可知对称轴x=1，与x轴的一个交点为（3,0），另一个交点为（-1,0），
当x=-1时，可知，故②正确；
由图像可知， 当x＜﹣1或x ＞3时，y＞0 ，故③正确；
一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）可以看成二次函数y ＝ax 2+bx +c （a≠0）与y=-1的交点，结合图像可知y ＝ax2+bx +c（a≠0）与y=-1有两个不同的交点，一元二次方程ax2+bx +c+1＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，故④正确.
故答案为：②③④.
【分析】根据开口方向可判断，再根据对称轴x=1即可判定b的符号，即可判定①；根据二次函数的图像关于对称轴对称，结合图像可知另一个与x轴的交点为（-1,0），代入函数关系式即可判定②；观察图像即可判定③；方程ax 2+bx+c+1＝0（a≠0）可以看成二次函数y ＝ax 2+bx +c （a≠0）与y=-1的交点，结合图像可判断④.
15．【答案】（1）解：设二次函数表达式为y=a（x+1）2+4，
把（2，-5）代入得9a+4=-5，解得a=-1，
∴二次函数的表达式为y=-1（x+1）2+4，或即y=-x2-2x+3
（2）解：抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1，
∴y随x的增大而增大时自变量x的取值范围是x≤-1
【解析】【分析】本题主要考查二次函数的顶点式以及二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的顶点式以及二次函数的图象性质是解题的关键．
（1）根据题意将二次函数设为顶点式，再将代入即可；
（2）根据二次函数的对称轴以及函数图象写出答案即可．
16．【答案】（1）解：依题意有，
解得：，∴k的值为3
（2）解：把代入函数解析式中得：，
当，时，，
【解析】【分析】（1）根据二次函数的定义得出，求出k的值即可；
（2）把代入函数解析式中得出，再把代入得出，解关于x的方程即可．
17．【答案】（1）证明：∵抛物线的对称轴是直线，
∴，∴
（2）解：∵关于x的方程有一个根为5，
∴抛物线与x轴的一个交点坐标为，
∵抛物线的对称轴是直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
∴关于x的方程，另一个根为－1
【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴为x=2，得到，即可求证；
（2）根据题意得到抛物线与x轴的一个交点坐标为，进而根据抛物线的对称轴为x=2，得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，进而即可求解.
18．【答案】（1）解：设y与x的函数解析式为y＝kx+b，
将（12，28）、（15，25）代入，得：
解得：，
所以y与x的函数解析式为y＝﹣x+40（10≤x≤20）；
（2）解：根据题意知，W＝（x﹣10）y
＝（x﹣10）（﹣x+40）
＝﹣x2+50x﹣400
＝﹣（x﹣25）2+225，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜25时，W随x的增大而增大，
∵10≤x≤20，
∴当x＝20时，W取得最大值，最大值为200，
答：每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．
【解析】【分析】(1)根据图形，一次函数图象经过点（12，28），（15，25），设y与x的函数解析式为y＝kx+b，用待定系数法即可求得y与x的函数解析式.
(2)销售利润=每件利润×销量，销售利润=售价-成本价，所以W＝（x﹣10）y=（x﹣10）（﹣x+40）=﹣（x﹣25）2+225，由a＝﹣1＜0可知，函数图象开口向下，故当x＜25时，W随x的增大而增大，当x＝20时，W取得最大值，最大值为200.
19．【答案】（1）解：∵ 是二次函数，
∴k2+k﹣4=2且k+2≠0，解得k=﹣3或k=2．
∵函数有最高点，
∴抛物线的开口向下，
∴k+2＜0，
解得k＜﹣2，∴k=﹣3；
（2）解：当k=﹣3时，二次函数为y=﹣x2，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而减少．
【解析】【分析】（1）根据二次函数的定义，可得出k2+k﹣4=2且k+2≠0，再根据函数图象有最高点．得出k+2＜0，求解即可得出k的值。
（2）利用y=ax2的性质，可直接写出抛物线的对称轴、顶点坐标y随x的增大而减少时，x的取值范围。
20．【答案】（1）解：，
∴该函数的对称轴为直线，顶点坐标为
（2）解：∵，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵该函数图象经过点，，且，
∴当时，
（3）解：∵，对称轴为直线，且当时，均有，
∴，
则或，
∴或，
∵，
∴，
∵该函数图象经过点，，设，当时，均有，
∴，则.
【解析】【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式，进而可得对称轴以及顶点坐标；
（2）根据二次函数的性质可得：当x>-2时，y随x的增大而减小，据此进行比较；
（3）由题意可得|x1+2|≤|x2+2|=x2+2，即-x1-2≤x2+2，则-x2-4≤-7，进而得到n≥-7且n+1≤3，求解可得n的范围.
21．【答案】（1）5
（2）解：由题意可得：0＝-x2+5，
解得：x1＝5，x2＝-5，
故AB＝2×5＝10米.
（3）解：把x＝3代入得y＝-x2+5＝4.1＞4，
故能安全通过.
【解析】【解答】解：（1）∵顶点C（0，5）
∴c＝5，
故答案为：5；
【分析】（1）根据函数的顶点坐标即可直接得出c的值；
（2）把y=0代入抛物线的解析式算出对应的自变量的值，即A、B两点的横坐标，从而即可求出AB的长；
（3）将x=3代入抛物线的解析式算出对应的函数值，再将该函数值与4进行比较即可得出答案.
22．【答案】（1）解：∵
∴
即
该抛物线与x轴公共点的坐标为 和
（2）解：当a=b=1时，抛物线y = 3x2＋2x+ c与x轴有公共点，则所对应方程的根的判别式△=4-12c≥0，有c≤
①当 时，由 ，得 ，符合题意；
②当 时，x1=-1 时， y1=1+c， 当 x=1时，y=5+c.由已知 时，抛物线与 轴有且只有一个公共点，且对称轴为 ，应有 ，即1+c≤0，5+c＞0解得-5
综合可得， 或
（3）解：在0＜x＜1的范围内，抛物线与x轴有两个公共点
理由：∵x1=0，y1＞0，
∴c＞0，
∵x2=1，y2＞0，
∴3a+2b+c＞0，
∵a+b+c=0
∴2a+b＞0，
∵b=-a-c，
∴2a-c-a＞0，即a-c＞0，
∴a＞c＞0；
当y=0时，3ax2+2bx+c=0
∴4b2-12ac=4（-a-c）2-12ac=4[（a-c）2+ac]＞0，
∴抛物线y=3ax2+2bx+c与x轴有两个公共点，顶点在x轴的下方，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵a+b+c=0，c＞0，2a+b＞0，
∴-2a＜b＜-a，
∴
∴对称轴大于0小于1，
∴在0＜x＜1的范围内，抛物线与x轴有两个公共点
【解析】【分析】（1）利用a，b，c的值，可得到函数解析式，再由y=0，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到抛物线与x轴的交点坐标.
（2）将a=b=1代入函数解析式，利用抛物线与x轴有且只有一个公共点，可知b2-4ac≤0，分情况讨论：当 时；当 时；可得到关于c的不等式，然后求出不等式的解集，可得到c的取值范围.
（3）由题意可知c＞0，3a+2b+c＞0，可得到2a+b＞0，a＞c＞0；当y=0时，3ax2+2bx+c=0，可证得b2-4ac＞0，可知抛物线y=3ax2+2bx+c与x轴有两个公共点，顶点在x轴的下方，利用抛物线的函数解析式求出抛物线的对称轴，可得到抛物线的对称轴的取值范围，再根据x1=0，y1＞0，x2=1，y2＞0，可知在0＜x＜1的范围内，抛物线与x轴有两个公共点.
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