【教案】初中数学湘教版七年级下册第3章 因式分解 大单元教学设计+3.1 因式分解 教案（附练习）
文档属性
| 名称 | 【教案】初中数学湘教版七年级下册第3章 因式分解 大单元教学设计+3.1 因式分解 教案（附练习） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 597.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-15 08:55:05 | ||
图片预览
文档简介
初中数学湘教版七年级下册第3章 因式分解 大单元教学设计
【选用教材】
湘教版义务教育教科书《数学》八年级下册
【单元课题】
因式分解
【单元教材内容】
湘教版义务教育教科书《数学》对“因式分解”进展了较大的调整。将“因式分
解”安排在课本第四章。内容包括“因式分解”、“提公因式法”和“公式法”。共有三节内容：
第一节《因式分解》,利用99 -99例子突出与因数分解的类比，体会因式分解的必要性；并用几何图形的拼图解释因式分解。在了解因式分解的根底上，体会因式分解与整式乘法的关系。
第二节“提公因式法”,它的依据是乘法分配律或者单项式乘多项式的法如此，对于学生来说，难点是怎样在多项式的各项中发现公式。为此，教材安排学生从简单的多
项式ab+ac中发现一样因式，由浅入深地体会如何寻找公因式，并以例题示X的形式学习用提公因式法进展因式分解与其须知事项，形成根本技能。
第三节“公式法”,其关键是熟悉平方差公式、完全平方公式与其特点，学生初学时的一个难点是根据一个多项式的特点选择运用恰当的公式。为此，教材将这两个公式分别分开教学，然后综合运用学习，加深学生对公式特点的认识。
【单元知识网络】
【单元课标解读】
《数学课程标准〔2022年版〕》在第55页要求：能用提公因式法，公式法〔直接利用公式不超过二次〕进展因式分解〔指数是正整数〕。
【单元内容数学分析】
1.因式分解是代数的重要内容，是在学习了“整式的运算”之后提出来的内容。因式分解与整式乘法运算有密切的联系，事实上，它是整式乘法的逆向运用。
2.因式分解是整式的一种重要变形，它在恒等变形、代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用。
3.因式分解为学习分式运算，解方程与方程组与代数式和三角函数式恒等变形提供必要的根底。也是分式运算和化简、恒等变形、解高次方程的根底。
“因式分解”对于与化归的能力、逆向思维的能力的培养会起到一定的作用，又在逆向思维品质培养形成等中有着较重要作用和教育价值。
5.作为今后学习的根底，它起到了承上启下的作用，因式分解与其变形的应用，几乎贯穿了整个中学数学乃至大学数学，学好因式分解对于代数知识的后续学习具有相当重要的意义。
6.通过探索因式分解的过程，比拟和整式乘法的联系与区别，体会逆向思维方法和转化的数学思想。
【单元教育价值分析】
“因式分解”的教育价值主要表现在：
1.通过经历借助拼图解释整式变形的过程，体会几何直观的作用，有助于学生从几何角度认识并理解代数的含义。
2.通过设计因数分解的例子让学生体会因式分解的必要性，开展学生的类比思想，以与从特殊到一般地思考问题的方法。
3.通过分析因式分解与整式乘法之间的互逆过程，体会数学知识之间的联系。
4.进一步开展学生观察、归纳、类比、概括等能力，开展有条理思考与语言表达能力。
【单元学情分析】
学生已经熟悉乘法的分配律与其逆运算，并且学习了整式的乘法运算，因此，对于因数分解的引入，学生不会感到陌生，它为学习分解因式打下了良好根底.由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对于八年级学生还比拟生疏，承受起来还有一定的困难，通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，为深入学习提供了必要的根底.所以对于学生来说，寻求因式分解的方法是一个难点.学生在七年级下册第一章中已经学方差公式与完全平方公式，将其逆用就是主体知识.对于公式逆用，分析公式的结构特征，整体思想换元进展分解因式以与要求分解彻底等是又一个难点。
【单元教学目标】
总目标：经历将一个多项式表示成几个整式的乘积的过程，体会因式分解的意义，开展运算能力，能用提公因式法，公式法〔直接利用公式不超过二次〕进展因式分解〔指数是正整数〕。
1.了解因式分解的意义，会判别各项的公因式，能用提取公因式法分解因式。
2.会用平方差公式、完全平方公式〔直接用公式不超过两次〕分解因式〔指数是正整数〕。
3.通过对平方差公式、完全平方公式的逆向变形，体会类比、换元思想，提高处理数学问题的技能。
【单元教学分析】
1、引导学生多角度理解因式分解的意义
〔1〕类比因数分解理解因式分解。通过类比数式99 -99的分解过程，帮助学生理解a -a的分解，在这一活动过程中学生可以进一步体会字母表示数，我们要给学生足够的时间进展观察、思考，引导学生运用类比的方法进展思考。
〔2〕通过拼图活动帮助理解因式分解。通过拼图前后图形的面积的变化，可以形象地解释多项式x +2x+1变形为〔x+1〕 ,的合理性，以直观的形象的方式，促进学生对因式分解的理解。最好引导学生用自己的语言说明变形过程。因式分解与整式的乘法是互逆的恒等变形，因此在概念引入时应引导学生观察、比照因式分解与整式乘法两者的区别、联系，归纳因式分解与整式乘法的变形特点，真正理解因式分解变形的目的和意义，在这根底上再区分一些似是而非的恒等变形，判断这些较明显恒等变形是不是因式分解变形，从而掌握因式分解的含义。让学生感受因数分解到因式分解的过程，感受类比的方法，经历几何图形解释因式分解的过程，开展几何直观。这对学生理解数学思想、掌握数学方法，提高思维能力方面都有其积极的作用，所以对教材的改编一定要慎重，我们不唯教材，但一定要吃透教材安排的意图和课
标的要求的根底上进展科学的整合和调整。
2、注重开展学生观察、归纳、概括能力。
探索因式分解的方法，事实上是对整式乘法运算的再认识，我们要借助学生已有的整式乘法运算的根底，给学生提供丰富的问题情境，留有充分探索与交流的时间和空间，让他们经历从整式乘法运算到因式分解的转换过程，并能用符号合理地表示出因式分解的方法。
3、要坚持用整式乘法帮助学生理解因式分解、培养学生逆向思考问题的习惯。
因式分解的概念学习和因式分解方法的学习中过程最要坚持运用因式分解和整式乘法具有互为逆过程的关系，更好地促进学生领会提公因式法与因式分解与乘法分配律或单项式乘多项式之间的联系，领会因式分解的公式法与乘法公式之间的联系，进一步巩固因式分解的结论是否正确可用整式乘法或乘法公式来检验，从而培养学生逆向思考问题的习惯。
4、保证根本运算技能，防止复杂的题型训练
运用提公式法和公式法因式分解是学习本章内容的一个重要目标。由于因式分解在后面学习分式、解一元二次方程等内容中，还可以继续巩固，因此教学中要依据教材要求，适当地分阶段进展必要的训练，使学生在具备根本运算技能的同时，能够明白每一步的算理。本章只要求在有理数X围内因式分解，教学要遵循《课标》和教材的要求。教学中要防止过于烦琐的运算，也不要过分追求题目的数量和难度。
因式分解在分式和一元二次方程的学习中特别重要，学不好因式分解分式的运算几乎寸步难行，因此，在教学中总想一步到位，学深、学广，到后继课程运用时得心应手，这样就无形提高了难度，结果会适得其反，导致有些同学使去兴趣，或者跟不上。其实后继课程不仅是因式分解的一个应用过程，更是一个技能熟练和提高过程，一定要循序见进。
【单元重难点分析】
通过本单元的学习，要根本掌握因式分解的常用方法，增强灵活运用因式分解的方法对多项式进展因式分解的能力，进一步拓宽提升数学运算的本领。
教学重点：
能准确、熟练、灵活地运用因式分解的根本方法对多项式进展因式分解。教学难点：
分解要彻底、灵活运用因式分解解决问题
【单元评价分析】
1、关注对因式分解理解的评价
探索因式分解的方法，注重学生对因式分解的理解，事实上是对整式乘法的再认识，经历从整式乘法到因式分解的这种互逆变形的过程，学生不仅能够理解、归纳因式分解变形的特点，同时也可以充分感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性。
2、关注对因式分解技能的评价
运用提公因式法和公式法分解因式是本单元学习内容的一个重要目标，使学生在具备根本的运算技能的同时，能够明白每一步的算理。教学中要防止过多繁琐的运算，不追求做题数量和难度〔如直接用公式不超过两次，指数都为正整数等〕。《标准》中要求学生“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜测，并进一步寻求证据，给出理由或举出反例。能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理，落笔有据；能运用数学语言，符合逻辑的进展讨论与质疑。”
3、关注开展学生分析问题解决问题能力的评价。
在因式分解这一单元的教学中，我们要有意识的培养学生的分析问题解决问题的推理能力，在用符号表示因式分解的公式之前，应引导学生对整式乘法与因式分解互逆变形的规律进展分析、归纳与概括，发现其中的数量关系，并将得到的因式分解的这个关系用符号一般性的表示出来。应鼓励学生通过合情推理进展大胆推测，并经历利用符号间的运算验证猜测或解决问题这一重要的数学探索过程。
4、关注学生对数学问题逆向思维能力的评价
有意识的培养学生思考问题的习惯，通过对整式乘法与因式分解之间的互逆关系的探究过程培养学生有条理的思考、表达与交流的能力，引导学生在活动中运用类比的思想进展思考，并自觉地用语言说明变形过程。对学生能想到的有效方法都应与时予以充分肯定。
【单元教学规划】
本单元教学时间约6课时：
1.因式分解 1课时
2.提公因式法 2课时
3.公式法 2课时
回顾与思考 1课时
【第一课时教学设计】
【课题】因式分解
【总体说明】
因式分解是代数的重要内容，它与整式和它在分式有密切联系，因式分解是在学习有理数和整式四如此运算上进展的，它为今后学习分式运算，解方程与方程组与代数式和三角函数式恒等变形提供必要的根底。因此学好因式分解对于代数知识的后继学初中数学精品资源
1.使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念；通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力.
2.认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能利用这种关系寻求因式分解的方法；通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为用所学到的数学知识解决问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识.
3.培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度.
【教学重点】
因式分解的概念.
【教学难点】
难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并利用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法.
一.情景导入，初步认知
下题简便运算怎样进行？
问题1：736×95+736×5
问题2：-2.67× 132+25×2.67+7×2.67
【教学说明】对乘法公式进行分析，为因式分解作铺垫.
二.思考探究，获取新知
问题：(1)993-99能被99整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。
993-99 = 99×992-99 = 99(992-1)
∴993-99能被99整除.
(2)993-99能被100整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。
小明是这样做的：993-99 = 99×992－99×1 = 99（992－1）= 99（99+1）（99-1）= 99×98×100
所以993-99能被100整除.
想一想：
（1）在回答993-99能否被100整除时，小明是怎么做的？
（2）请你说明小明每一步的依据.
（3）993-99还能被哪些正整数整除？为了回答这个问题，你该怎做？
【教学说明】
老师点拨：回答这个问题的关键是把993-99化成了怎样的形式？
【归纳结论】
以上三个问题解决的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式.
可以了解:993-99可以被98、99、100三个连续整数整除.
将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗
学生探究发现：用a表示任意一个大于1的整数，则：a3-a=a×a2-a=a×(a2-1)=a×(a+1)(a-1)=(a-1)×a×(a+1)
能理解吗 你能与同伴交流每一步怎么变形的吗？
这样变形是为了达到什么样的目的？
【教学说明】
经历从分解因数到分解因式的类比过程，探究概念本质属性.
【归纳结论】
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式.
三.运用新知，深化理解
1.下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？
（1）4a（a+2b）=4a2+8ab；
（2）6ax－3ax2=3ax（2－x）；
（3）a2－4=（a+2）(a－2）；
（4）x2－3x+2=x（x－3）+2.
答案：（2）（3）是因式分解.
2.试将下列各式化成几个整式的积的形式
（1）3x2-2x=______- (2)m2-4n2 =____
答案：（1）x(3x-2) （2）(m+2n)(m-2n)
3.分解因式.
4m2-4m=______ 2a3+2a=______ y2+4y+4=______
答案：4m(m-1) 2a(a2+1) (y+2)2
4.如果a+b=10,ab=21,则a2b+ab2的值为.
答案：210.
5.如果a-3b=-3,那么5-a+3b的值是（ ）
A.0 B.2 C.5 D.8
答案：D.6.9993-999能被998整除吗？能被1000整除吗？
解：9993-999=999（9992-1）=999（999+1）（999-1）=999×1000×998所以9993-999能被998整除，能被1000整除。
【教学说明】
通过练习，使学生理解因式分解与整式乘法的区别.
四.师生互动，课堂小结
1.你能说说什么是分解因式吗？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式。
2.应该怎样认识“因式分解”？
（分解因式与整式乘法是互逆过程.）
3.分解因式要注意以下几点：分解的对象必须是多项式；分解的结果一定是几个整式的乘积的形式；要分解到不能分解为止.
五.教学板书
布置作业:书本第1、2 题.
根据课下学生的反馈情况来看，本节课的教学设计基本上达到了预期的目的.学生对因式分解有了清晰的认识,理解了因式分解与整式乘法的相互关系—互逆关系（即相反变形），在寻求因式分解的方法上还存在一定的困难.在下一课时，我对本课时所反馈的情况，争取让所有的学生能对因式分解有更进一步的学习.
同步练习巩固：
【知识点1】因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
【知识点2】提公因式法：
如多项式
其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．
【知识点3】公式法：
运用公式法，即用：
【知识点4】分组分解法：
（一）分组后能直接提公因式
分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。
（二）分组后能直接运用公式
分组后，每组内至少一组能用完全平方公式，组与组之间又有公因式或公式法进行因式分解。
【知识点5】十字相乘法：
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——进行分解。
（二）二次项系数不为1的二次三项式——
条件：（1）
（2）
（3）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列式子从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．多项式的公因式为（ ）
A． B． C． D．
3．下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
4．对于：
①；
②；
③；
④．
其中因式分解正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
5．一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，3，，，分别对应下列六个字：国，爱，我，数，学，祖，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．爱数学 B．我爱数学 C．爱祖国 D．我爱祖国
6．因式分解：，那么，的值可以是（ ）
A．， B．， C．， D．，
7．一定能够整除任意两个奇数的平方差的数最大是（ ）．
A．2 B．4 C．8 D．16
8．设M为多项式，且，则M应为（ ）
A． B． C． D．
9．我们已经知道，整式可以分解成几个因式的积的形式，类比数的整除，整式也能被其每一个因式整除，下列多项式不能被整除的是（ ）
A． B． C． D．
10．将边长为m的三个正方形纸片按如图1所示摆放并构造成边长为n的大正方形时，三个小正方形的重叠部分是两个边长均为1的正方形；将其按如图2所示摆放并构造成一个邻边长分别为3m和n的长方形时，所得长方形的面积为35．则图2中长方形的周长是（ ）
A．24 B．26 C．28 D．30
填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．把分解因式得，则的值为 ．
12．面积为的长方形的长为，则宽为 ．
13．利用因式分解简便运算：＝ ．
14．如果，，那么代数式的值是 ．
15．分解因式： .
16．根据下边图形写一个关于因式分解的等式 ．
17．与之积等于的因式为 ．
18．观察下列多项式的因式分解过程：
；
；
；
……；
按此规律，把多项式因式分解的结果是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）因式分解．
（1）； （2）．
20．（8分）分解因式：
（1）； （2）．
21．（10分）因式分解：
（1）； （2）．
22．（10分）利用乘法公式简便计算．
（1） （2）
23．（10分）观察下列式子的因式分解做法：
①；
②；
③；…
（1）模仿以上做法，尝试对进行因式分解；
（2）观察以上结果，猜想：______；（n为正整数）
（3）根据以上结论，试求的值．
24．（12分）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程：
解：设 原式 （第一步） （第二步） （第三步） （第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了______进行因式分解（填“A”、“B”或“C”）；
A．提取公因式 B．平方差公式 C．完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______；
（3）模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，根据“把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，也叫分解因式”，逐一判断即可．
解：A、的右边不是积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B、不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C、的右边不是积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D、，属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
2．A
【分析】本题考查公因式，根据公因式的定义“多项式各项都含有的相同因式”求解即可．
解：多项式的公因式为，
故选A．
3．B
【分析】公式法分解因式是指利用完全平方公式或平方差公式进行分解因式，完全平方公式形式，平方差公式形式．
解：A选项，式子中单项式有两项，且符号相同，不满足平方差公式分解因式形式，故选项错误；
B选项，式子中单项式有三项，且平方项符号相同，满足完全平方公式分解因式形式，故选项正确；
C选项，式子中单项式有两项，且符号相同，不满足平方差公式分解因式形式，故选项错误；
D选项，式子中单项式有两项，且含有相同的字母，应用提取公因式法分解因式，故选项错误；
故选：B．
【点拨】本题考查公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式形式和平方差公式形式是公式法分解因式的关键．
4．D
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
解：①，此项错误；
②，此项正确；
③，此项错误；
④，此项正确．
故选D．
【点拨】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
5．D
【分析】先题干提取公因式和平方差公式因式分解，再根据结果求解．
解：
∴结果呈现的密码信息可能是：我爱祖国，
故选：D．
【点拨】本题考查了因式分解，分解要彻底是解题的关键．
6．B
【分析】利用十字相乘法分解因式即可得．
解：，
观察四个选项可知，只有选项B符合，
故选：B．
【点拨】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解题关键．
7．C
【分析】本题主要考查了平方差公式的应用．设任意两个奇数分别为，可得，设为偶数．可得中一定含有因数8，但不一定含有因数16，即可求解．
解：设任意两个奇数分别为，
，
∵与奇偶性相反，
∴可设为偶数．
∵偶数的最小为2，
∴中一定含有因数8，但不一定含有因数16，
∴一定能够被8整除，但不一定能被16整除．
即一定能够整除任意两个奇数的平方差的数最大是8．
故选：C
8．B
【分析】利用平方差公式进行因式分解，求解即可．
解：由题意可得：
故选：B
【点拨】此题考查了利用平方差公式进行因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式．
9．C
【分析】利用提公因式法和公式法进行因式分解，从而作出判断
解：A. ，此多项式能被整除，故此选项不符合题意；
B. ，此多项式能被整除，故此选项不符合题意；
C. ，此多项式不能被整除，故此选项符合题意；
D. ，此多项式能被整除，故此选项不符合题意；
故选：C
【点拨】本题考查提公因式法和公式法因式分解，掌握平方差公式的公式结构和提取公因式的技巧准确分解因式是解题关键．
10．A
【分析】由题意：按如图1所示摆放并构造成边长为n的大正方形时，三个小正方形的重叠部分是两个边长均为1的正方形；将其按如图2所示摆放并构造成一个邻边长分别为3m和n的长方形时，所得长方形的面积为35，列出方程组，求出3m=7，n=5，即可解决问题．
解：依题意，由图1可得，，由图2可得，
即
解得或者（舍）
时，
则图2中长方形的周长是．
故选A．
【点拨】本题考查了利用因式分解解方程，找准等量关系，列出方程是解题的关键．
11．
【分析】根据整式的运算，将展开，再与比较，即可求解．
解：，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查整式的乘法运算，掌握多项式乘以多项式的运算法则即可求解．
12．
【分析】本题考查的是多项式的因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法；
根据长方形的面积等于长乘以宽可知，将多项式提出公因式，即可得出答案．
解：，
面积为的长方形的长为，则宽为，
故答案为：．
13．
【分析】利用平方差法进行因式分解，再进行计算；
解：原式＝
＝
＝．
故答案为：．
【点拨】本题考查利用公式法因式分解进行简便运算．熟练掌握公式法因式分解是解题的关键．
14．-64
【分析】先提公因式再利用平方差公式分解因式，然后将已知整体代入求值，即可．
解：=
=
∵，，
∴原式=2×（-4）×8
=-64，
故答案是：-64．
【点拨】本题主要考查代数式求值，掌握平方差公式，进行分解因式，是解题的关键．
15．
【分析】前三项利用完全平方公式分解，再进一步利用平方差公式分解可得．
解：原式=（a+b）2-22
=（a+b+2）（a+b-2），
故答案为（a+b+2）（a+b-2）．
【点拨】本题考查了分组分解法分解因式，分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．
16．
【分析】根据图形的面积大长方形的面积，又等于各部分的面积之和，即可得到等式．
解：图形的面积，
又图形的面积，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了因式分解的应用，用两种方法求出大长方形的面积是解题的关键．
17．/
【分析】根据平方差公式将分解因式，并变形为，即可得出答案．
解：∵
，
∴与之积等于的因式为．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了分解因式的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式．
18．/
【分析】根据所给的因式分解的方式，对所求的式子进行运算即可．
解：
故答案为：
【点拨】本题考查提公因式法分解因式，根据所给的因式分解的方式，总结出规律是解题关键．
19．（1）；（2）
【分析】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，熟练平方差公式与完全平方公式是解本题的关键；
（1）先提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
（1）解：
（2）
．
20．（1）；（2）
【分析】本题主要考查了因式分解法则；熟悉因式分解的一般步骤，并正确运用其法则是解题的关键．
（1）本题先用提公因式法提出公因式，再运用十字相乘法进行因式分解；
（2）本题先进行分组，再运用平方差公式进行因式分解．
（1）解：
（2）
21．（1）；（2）
【分析】本题考查因式分解．
（1）先利用整式乘法展开括号，合并之后，再通过完全平方公式进行因式分解；
（2）先利用整式乘法展开括号，合并之后，再进行分组分解，通过完全平方公式、平方差公式进行因式分解．
（1）解：
；
（2）解：
．
22．（1）；（2）
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟知平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
（1）把原式变形为，再利用平方差公式进行求解即可；
（2）原式根据完全平方公式变形为，据此求解即可．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
23．（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查的是因式分解的规律探究，熟练的从题干信息中总结规律并灵活应用是解本题的关键；
（1）仿照题干信息，把分解因式即可；
（2）根据题干信息总结归纳出结论即可；
（3）由（2）中规律可得，从而可得答案．
（1）解：；
（2）；
（3）∵，
∴．
24．（1）C；（2）；（3）
【分析】本题主要考查了因式分解：
（1）根据分解因式的过程可得答案；
（2）将结果再次因式分解即可；
（3）将看作整体进行因式分解即可；
（1）解：由题意得，第二步到第三步运用了完全平方公式，
故答案为：C；
（2）解：，
故答案为：；
（3）解：设，
∴原式
．
【选用教材】
湘教版义务教育教科书《数学》八年级下册
【单元课题】
因式分解
【单元教材内容】
湘教版义务教育教科书《数学》对“因式分解”进展了较大的调整。将“因式分
解”安排在课本第四章。内容包括“因式分解”、“提公因式法”和“公式法”。共有三节内容：
第一节《因式分解》,利用99 -99例子突出与因数分解的类比，体会因式分解的必要性；并用几何图形的拼图解释因式分解。在了解因式分解的根底上，体会因式分解与整式乘法的关系。
第二节“提公因式法”,它的依据是乘法分配律或者单项式乘多项式的法如此，对于学生来说，难点是怎样在多项式的各项中发现公式。为此，教材安排学生从简单的多
项式ab+ac中发现一样因式，由浅入深地体会如何寻找公因式，并以例题示X的形式学习用提公因式法进展因式分解与其须知事项，形成根本技能。
第三节“公式法”,其关键是熟悉平方差公式、完全平方公式与其特点，学生初学时的一个难点是根据一个多项式的特点选择运用恰当的公式。为此，教材将这两个公式分别分开教学，然后综合运用学习，加深学生对公式特点的认识。
【单元知识网络】
【单元课标解读】
《数学课程标准〔2022年版〕》在第55页要求：能用提公因式法，公式法〔直接利用公式不超过二次〕进展因式分解〔指数是正整数〕。
【单元内容数学分析】
1.因式分解是代数的重要内容，是在学习了“整式的运算”之后提出来的内容。因式分解与整式乘法运算有密切的联系，事实上，它是整式乘法的逆向运用。
2.因式分解是整式的一种重要变形，它在恒等变形、代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用。
3.因式分解为学习分式运算，解方程与方程组与代数式和三角函数式恒等变形提供必要的根底。也是分式运算和化简、恒等变形、解高次方程的根底。
“因式分解”对于与化归的能力、逆向思维的能力的培养会起到一定的作用，又在逆向思维品质培养形成等中有着较重要作用和教育价值。
5.作为今后学习的根底，它起到了承上启下的作用，因式分解与其变形的应用，几乎贯穿了整个中学数学乃至大学数学，学好因式分解对于代数知识的后续学习具有相当重要的意义。
6.通过探索因式分解的过程，比拟和整式乘法的联系与区别，体会逆向思维方法和转化的数学思想。
【单元教育价值分析】
“因式分解”的教育价值主要表现在：
1.通过经历借助拼图解释整式变形的过程，体会几何直观的作用，有助于学生从几何角度认识并理解代数的含义。
2.通过设计因数分解的例子让学生体会因式分解的必要性，开展学生的类比思想，以与从特殊到一般地思考问题的方法。
3.通过分析因式分解与整式乘法之间的互逆过程，体会数学知识之间的联系。
4.进一步开展学生观察、归纳、类比、概括等能力，开展有条理思考与语言表达能力。
【单元学情分析】
学生已经熟悉乘法的分配律与其逆运算，并且学习了整式的乘法运算，因此，对于因数分解的引入，学生不会感到陌生，它为学习分解因式打下了良好根底.由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对于八年级学生还比拟生疏，承受起来还有一定的困难，通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，为深入学习提供了必要的根底.所以对于学生来说，寻求因式分解的方法是一个难点.学生在七年级下册第一章中已经学方差公式与完全平方公式，将其逆用就是主体知识.对于公式逆用，分析公式的结构特征，整体思想换元进展分解因式以与要求分解彻底等是又一个难点。
【单元教学目标】
总目标：经历将一个多项式表示成几个整式的乘积的过程，体会因式分解的意义，开展运算能力，能用提公因式法，公式法〔直接利用公式不超过二次〕进展因式分解〔指数是正整数〕。
1.了解因式分解的意义，会判别各项的公因式，能用提取公因式法分解因式。
2.会用平方差公式、完全平方公式〔直接用公式不超过两次〕分解因式〔指数是正整数〕。
3.通过对平方差公式、完全平方公式的逆向变形，体会类比、换元思想，提高处理数学问题的技能。
【单元教学分析】
1、引导学生多角度理解因式分解的意义
〔1〕类比因数分解理解因式分解。通过类比数式99 -99的分解过程，帮助学生理解a -a的分解，在这一活动过程中学生可以进一步体会字母表示数，我们要给学生足够的时间进展观察、思考，引导学生运用类比的方法进展思考。
〔2〕通过拼图活动帮助理解因式分解。通过拼图前后图形的面积的变化，可以形象地解释多项式x +2x+1变形为〔x+1〕 ,的合理性，以直观的形象的方式，促进学生对因式分解的理解。最好引导学生用自己的语言说明变形过程。因式分解与整式的乘法是互逆的恒等变形，因此在概念引入时应引导学生观察、比照因式分解与整式乘法两者的区别、联系，归纳因式分解与整式乘法的变形特点，真正理解因式分解变形的目的和意义，在这根底上再区分一些似是而非的恒等变形，判断这些较明显恒等变形是不是因式分解变形，从而掌握因式分解的含义。让学生感受因数分解到因式分解的过程，感受类比的方法，经历几何图形解释因式分解的过程，开展几何直观。这对学生理解数学思想、掌握数学方法，提高思维能力方面都有其积极的作用，所以对教材的改编一定要慎重，我们不唯教材，但一定要吃透教材安排的意图和课
标的要求的根底上进展科学的整合和调整。
2、注重开展学生观察、归纳、概括能力。
探索因式分解的方法，事实上是对整式乘法运算的再认识，我们要借助学生已有的整式乘法运算的根底，给学生提供丰富的问题情境，留有充分探索与交流的时间和空间，让他们经历从整式乘法运算到因式分解的转换过程，并能用符号合理地表示出因式分解的方法。
3、要坚持用整式乘法帮助学生理解因式分解、培养学生逆向思考问题的习惯。
因式分解的概念学习和因式分解方法的学习中过程最要坚持运用因式分解和整式乘法具有互为逆过程的关系，更好地促进学生领会提公因式法与因式分解与乘法分配律或单项式乘多项式之间的联系，领会因式分解的公式法与乘法公式之间的联系，进一步巩固因式分解的结论是否正确可用整式乘法或乘法公式来检验，从而培养学生逆向思考问题的习惯。
4、保证根本运算技能，防止复杂的题型训练
运用提公式法和公式法因式分解是学习本章内容的一个重要目标。由于因式分解在后面学习分式、解一元二次方程等内容中，还可以继续巩固，因此教学中要依据教材要求，适当地分阶段进展必要的训练，使学生在具备根本运算技能的同时，能够明白每一步的算理。本章只要求在有理数X围内因式分解，教学要遵循《课标》和教材的要求。教学中要防止过于烦琐的运算，也不要过分追求题目的数量和难度。
因式分解在分式和一元二次方程的学习中特别重要，学不好因式分解分式的运算几乎寸步难行，因此，在教学中总想一步到位，学深、学广，到后继课程运用时得心应手，这样就无形提高了难度，结果会适得其反，导致有些同学使去兴趣，或者跟不上。其实后继课程不仅是因式分解的一个应用过程，更是一个技能熟练和提高过程，一定要循序见进。
【单元重难点分析】
通过本单元的学习，要根本掌握因式分解的常用方法，增强灵活运用因式分解的方法对多项式进展因式分解的能力，进一步拓宽提升数学运算的本领。
教学重点：
能准确、熟练、灵活地运用因式分解的根本方法对多项式进展因式分解。教学难点：
分解要彻底、灵活运用因式分解解决问题
【单元评价分析】
1、关注对因式分解理解的评价
探索因式分解的方法，注重学生对因式分解的理解，事实上是对整式乘法的再认识，经历从整式乘法到因式分解的这种互逆变形的过程，学生不仅能够理解、归纳因式分解变形的特点，同时也可以充分感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性。
2、关注对因式分解技能的评价
运用提公因式法和公式法分解因式是本单元学习内容的一个重要目标，使学生在具备根本的运算技能的同时，能够明白每一步的算理。教学中要防止过多繁琐的运算，不追求做题数量和难度〔如直接用公式不超过两次，指数都为正整数等〕。《标准》中要求学生“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜测，并进一步寻求证据，给出理由或举出反例。能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理，落笔有据；能运用数学语言，符合逻辑的进展讨论与质疑。”
3、关注开展学生分析问题解决问题能力的评价。
在因式分解这一单元的教学中，我们要有意识的培养学生的分析问题解决问题的推理能力，在用符号表示因式分解的公式之前，应引导学生对整式乘法与因式分解互逆变形的规律进展分析、归纳与概括，发现其中的数量关系，并将得到的因式分解的这个关系用符号一般性的表示出来。应鼓励学生通过合情推理进展大胆推测，并经历利用符号间的运算验证猜测或解决问题这一重要的数学探索过程。
4、关注学生对数学问题逆向思维能力的评价
有意识的培养学生思考问题的习惯，通过对整式乘法与因式分解之间的互逆关系的探究过程培养学生有条理的思考、表达与交流的能力，引导学生在活动中运用类比的思想进展思考，并自觉地用语言说明变形过程。对学生能想到的有效方法都应与时予以充分肯定。
【单元教学规划】
本单元教学时间约6课时：
1.因式分解 1课时
2.提公因式法 2课时
3.公式法 2课时
回顾与思考 1课时
【第一课时教学设计】
【课题】因式分解
【总体说明】
因式分解是代数的重要内容，它与整式和它在分式有密切联系，因式分解是在学习有理数和整式四如此运算上进展的，它为今后学习分式运算，解方程与方程组与代数式和三角函数式恒等变形提供必要的根底。因此学好因式分解对于代数知识的后继学初中数学精品资源
1.使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念；通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力.
2.认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能利用这种关系寻求因式分解的方法；通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为用所学到的数学知识解决问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识.
3.培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度.
【教学重点】
因式分解的概念.
【教学难点】
难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并利用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法.
一.情景导入，初步认知
下题简便运算怎样进行？
问题1：736×95+736×5
问题2：-2.67× 132+25×2.67+7×2.67
【教学说明】对乘法公式进行分析，为因式分解作铺垫.
二.思考探究，获取新知
问题：(1)993-99能被99整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。
993-99 = 99×992-99 = 99(992-1)
∴993-99能被99整除.
(2)993-99能被100整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。
小明是这样做的：993-99 = 99×992－99×1 = 99（992－1）= 99（99+1）（99-1）= 99×98×100
所以993-99能被100整除.
想一想：
（1）在回答993-99能否被100整除时，小明是怎么做的？
（2）请你说明小明每一步的依据.
（3）993-99还能被哪些正整数整除？为了回答这个问题，你该怎做？
【教学说明】
老师点拨：回答这个问题的关键是把993-99化成了怎样的形式？
【归纳结论】
以上三个问题解决的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式.
可以了解:993-99可以被98、99、100三个连续整数整除.
将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗
学生探究发现：用a表示任意一个大于1的整数，则：a3-a=a×a2-a=a×(a2-1)=a×(a+1)(a-1)=(a-1)×a×(a+1)
能理解吗 你能与同伴交流每一步怎么变形的吗？
这样变形是为了达到什么样的目的？
【教学说明】
经历从分解因数到分解因式的类比过程，探究概念本质属性.
【归纳结论】
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式.
三.运用新知，深化理解
1.下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？
（1）4a（a+2b）=4a2+8ab；
（2）6ax－3ax2=3ax（2－x）；
（3）a2－4=（a+2）(a－2）；
（4）x2－3x+2=x（x－3）+2.
答案：（2）（3）是因式分解.
2.试将下列各式化成几个整式的积的形式
（1）3x2-2x=______- (2)m2-4n2 =____
答案：（1）x(3x-2) （2）(m+2n)(m-2n)
3.分解因式.
4m2-4m=______ 2a3+2a=______ y2+4y+4=______
答案：4m(m-1) 2a(a2+1) (y+2)2
4.如果a+b=10,ab=21,则a2b+ab2的值为.
答案：210.
5.如果a-3b=-3,那么5-a+3b的值是（ ）
A.0 B.2 C.5 D.8
答案：D.6.9993-999能被998整除吗？能被1000整除吗？
解：9993-999=999（9992-1）=999（999+1）（999-1）=999×1000×998所以9993-999能被998整除，能被1000整除。
【教学说明】
通过练习，使学生理解因式分解与整式乘法的区别.
四.师生互动，课堂小结
1.你能说说什么是分解因式吗？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式。
2.应该怎样认识“因式分解”？
（分解因式与整式乘法是互逆过程.）
3.分解因式要注意以下几点：分解的对象必须是多项式；分解的结果一定是几个整式的乘积的形式；要分解到不能分解为止.
五.教学板书
布置作业:书本第1、2 题.
根据课下学生的反馈情况来看，本节课的教学设计基本上达到了预期的目的.学生对因式分解有了清晰的认识,理解了因式分解与整式乘法的相互关系—互逆关系（即相反变形），在寻求因式分解的方法上还存在一定的困难.在下一课时，我对本课时所反馈的情况，争取让所有的学生能对因式分解有更进一步的学习.
同步练习巩固：
【知识点1】因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
【知识点2】提公因式法：
如多项式
其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．
【知识点3】公式法：
运用公式法，即用：
【知识点4】分组分解法：
（一）分组后能直接提公因式
分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。
（二）分组后能直接运用公式
分组后，每组内至少一组能用完全平方公式，组与组之间又有公因式或公式法进行因式分解。
【知识点5】十字相乘法：
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——进行分解。
（二）二次项系数不为1的二次三项式——
条件：（1）
（2）
（3）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列式子从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．多项式的公因式为（ ）
A． B． C． D．
3．下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
4．对于：
①；
②；
③；
④．
其中因式分解正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
5．一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，3，，，分别对应下列六个字：国，爱，我，数，学，祖，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．爱数学 B．我爱数学 C．爱祖国 D．我爱祖国
6．因式分解：，那么，的值可以是（ ）
A．， B．， C．， D．，
7．一定能够整除任意两个奇数的平方差的数最大是（ ）．
A．2 B．4 C．8 D．16
8．设M为多项式，且，则M应为（ ）
A． B． C． D．
9．我们已经知道，整式可以分解成几个因式的积的形式，类比数的整除，整式也能被其每一个因式整除，下列多项式不能被整除的是（ ）
A． B． C． D．
10．将边长为m的三个正方形纸片按如图1所示摆放并构造成边长为n的大正方形时，三个小正方形的重叠部分是两个边长均为1的正方形；将其按如图2所示摆放并构造成一个邻边长分别为3m和n的长方形时，所得长方形的面积为35．则图2中长方形的周长是（ ）
A．24 B．26 C．28 D．30
填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．把分解因式得，则的值为 ．
12．面积为的长方形的长为，则宽为 ．
13．利用因式分解简便运算：＝ ．
14．如果，，那么代数式的值是 ．
15．分解因式： .
16．根据下边图形写一个关于因式分解的等式 ．
17．与之积等于的因式为 ．
18．观察下列多项式的因式分解过程：
；
；
；
……；
按此规律，把多项式因式分解的结果是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）因式分解．
（1）； （2）．
20．（8分）分解因式：
（1）； （2）．
21．（10分）因式分解：
（1）； （2）．
22．（10分）利用乘法公式简便计算．
（1） （2）
23．（10分）观察下列式子的因式分解做法：
①；
②；
③；…
（1）模仿以上做法，尝试对进行因式分解；
（2）观察以上结果，猜想：______；（n为正整数）
（3）根据以上结论，试求的值．
24．（12分）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程：
解：设 原式 （第一步） （第二步） （第三步） （第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了______进行因式分解（填“A”、“B”或“C”）；
A．提取公因式 B．平方差公式 C．完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______；
（3）模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，根据“把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，也叫分解因式”，逐一判断即可．
解：A、的右边不是积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B、不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C、的右边不是积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D、，属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
2．A
【分析】本题考查公因式，根据公因式的定义“多项式各项都含有的相同因式”求解即可．
解：多项式的公因式为，
故选A．
3．B
【分析】公式法分解因式是指利用完全平方公式或平方差公式进行分解因式，完全平方公式形式，平方差公式形式．
解：A选项，式子中单项式有两项，且符号相同，不满足平方差公式分解因式形式，故选项错误；
B选项，式子中单项式有三项，且平方项符号相同，满足完全平方公式分解因式形式，故选项正确；
C选项，式子中单项式有两项，且符号相同，不满足平方差公式分解因式形式，故选项错误；
D选项，式子中单项式有两项，且含有相同的字母，应用提取公因式法分解因式，故选项错误；
故选：B．
【点拨】本题考查公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式形式和平方差公式形式是公式法分解因式的关键．
4．D
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
解：①，此项错误；
②，此项正确；
③，此项错误；
④，此项正确．
故选D．
【点拨】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
5．D
【分析】先题干提取公因式和平方差公式因式分解，再根据结果求解．
解：
∴结果呈现的密码信息可能是：我爱祖国，
故选：D．
【点拨】本题考查了因式分解，分解要彻底是解题的关键．
6．B
【分析】利用十字相乘法分解因式即可得．
解：，
观察四个选项可知，只有选项B符合，
故选：B．
【点拨】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解题关键．
7．C
【分析】本题主要考查了平方差公式的应用．设任意两个奇数分别为，可得，设为偶数．可得中一定含有因数8，但不一定含有因数16，即可求解．
解：设任意两个奇数分别为，
，
∵与奇偶性相反，
∴可设为偶数．
∵偶数的最小为2，
∴中一定含有因数8，但不一定含有因数16，
∴一定能够被8整除，但不一定能被16整除．
即一定能够整除任意两个奇数的平方差的数最大是8．
故选：C
8．B
【分析】利用平方差公式进行因式分解，求解即可．
解：由题意可得：
故选：B
【点拨】此题考查了利用平方差公式进行因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式．
9．C
【分析】利用提公因式法和公式法进行因式分解，从而作出判断
解：A. ，此多项式能被整除，故此选项不符合题意；
B. ，此多项式能被整除，故此选项不符合题意；
C. ，此多项式不能被整除，故此选项符合题意；
D. ，此多项式能被整除，故此选项不符合题意；
故选：C
【点拨】本题考查提公因式法和公式法因式分解，掌握平方差公式的公式结构和提取公因式的技巧准确分解因式是解题关键．
10．A
【分析】由题意：按如图1所示摆放并构造成边长为n的大正方形时，三个小正方形的重叠部分是两个边长均为1的正方形；将其按如图2所示摆放并构造成一个邻边长分别为3m和n的长方形时，所得长方形的面积为35，列出方程组，求出3m=7，n=5，即可解决问题．
解：依题意，由图1可得，，由图2可得，
即
解得或者（舍）
时，
则图2中长方形的周长是．
故选A．
【点拨】本题考查了利用因式分解解方程，找准等量关系，列出方程是解题的关键．
11．
【分析】根据整式的运算，将展开，再与比较，即可求解．
解：，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查整式的乘法运算，掌握多项式乘以多项式的运算法则即可求解．
12．
【分析】本题考查的是多项式的因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法；
根据长方形的面积等于长乘以宽可知，将多项式提出公因式，即可得出答案．
解：，
面积为的长方形的长为，则宽为，
故答案为：．
13．
【分析】利用平方差法进行因式分解，再进行计算；
解：原式＝
＝
＝．
故答案为：．
【点拨】本题考查利用公式法因式分解进行简便运算．熟练掌握公式法因式分解是解题的关键．
14．-64
【分析】先提公因式再利用平方差公式分解因式，然后将已知整体代入求值，即可．
解：=
=
∵，，
∴原式=2×（-4）×8
=-64，
故答案是：-64．
【点拨】本题主要考查代数式求值，掌握平方差公式，进行分解因式，是解题的关键．
15．
【分析】前三项利用完全平方公式分解，再进一步利用平方差公式分解可得．
解：原式=（a+b）2-22
=（a+b+2）（a+b-2），
故答案为（a+b+2）（a+b-2）．
【点拨】本题考查了分组分解法分解因式，分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．
16．
【分析】根据图形的面积大长方形的面积，又等于各部分的面积之和，即可得到等式．
解：图形的面积，
又图形的面积，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了因式分解的应用，用两种方法求出大长方形的面积是解题的关键．
17．/
【分析】根据平方差公式将分解因式，并变形为，即可得出答案．
解：∵
，
∴与之积等于的因式为．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了分解因式的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式．
18．/
【分析】根据所给的因式分解的方式，对所求的式子进行运算即可．
解：
故答案为：
【点拨】本题考查提公因式法分解因式，根据所给的因式分解的方式，总结出规律是解题关键．
19．（1）；（2）
【分析】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，熟练平方差公式与完全平方公式是解本题的关键；
（1）先提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
（1）解：
（2）
．
20．（1）；（2）
【分析】本题主要考查了因式分解法则；熟悉因式分解的一般步骤，并正确运用其法则是解题的关键．
（1）本题先用提公因式法提出公因式，再运用十字相乘法进行因式分解；
（2）本题先进行分组，再运用平方差公式进行因式分解．
（1）解：
（2）
21．（1）；（2）
【分析】本题考查因式分解．
（1）先利用整式乘法展开括号，合并之后，再通过完全平方公式进行因式分解；
（2）先利用整式乘法展开括号，合并之后，再进行分组分解，通过完全平方公式、平方差公式进行因式分解．
（1）解：
；
（2）解：
．
22．（1）；（2）
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟知平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
（1）把原式变形为，再利用平方差公式进行求解即可；
（2）原式根据完全平方公式变形为，据此求解即可．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
23．（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查的是因式分解的规律探究，熟练的从题干信息中总结规律并灵活应用是解本题的关键；
（1）仿照题干信息，把分解因式即可；
（2）根据题干信息总结归纳出结论即可；
（3）由（2）中规律可得，从而可得答案．
（1）解：；
（2）；
（3）∵，
∴．
24．（1）C；（2）；（3）
【分析】本题主要考查了因式分解：
（1）根据分解因式的过程可得答案；
（2）将结果再次因式分解即可；
（3）将看作整体进行因式分解即可；
（1）解：由题意得，第二步到第三步运用了完全平方公式，
故答案为：C；
（2）解：，
故答案为：；
（3）解：设，
∴原式
．