(共28张PPT)
18.2.3正方形
人教版八年级下册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
教学目标
1.理解正方形的概念;
2.探索正方形的性质与判定，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别;
3.会应用正方形的性质与判定解决相关证明及计算问题.
新知导入
在小学，什么样的四边形是正方形？
正方形与矩形和菱形分别有什么关系？
四个角都是直角，四条边都相等的四边形叫做正方形．
你能用一张矩形纸片，折出一个最大的正方形吗？
如何将一个活动的菱形框变成一个正方形？
新知讲解
新知讲解
1.如果四边形ABCD已经是一个矩形,那么再加上什么条件就可以变为正方形？
2.如果四边形ABCD已经是一个菱形,那么再加上什么条件就可以变为正方形？
3.如果四边形ABCD是一般的平行四边形,那么再加上什么条件就可以变为正方形？
新知讲解
矩 形
〃
〃
正方形
邻边
相等
〃
〃
发现：
一组邻边相等的矩形叫正方形.
菱 形
一个角
是直角
正方形
∟
发现：
一个角为直角的菱形叫正方形.
一个角是直角
一组邻边相等
正方形
平行四边形
发现：
一个角为直角,一组邻边相等的平行四边形叫正方形.
归纳总结
9
9
18
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形。所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.
性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.
2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
典例精析
9
18
例1.求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.
求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的等腰直角三角形.
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO.
∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都是等腰直角三角形，
并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
新知讲解
9
18
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形
正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？与同学们讨论一下，能列表或用框图表示出来吗？
归纳总结
9
18
常用的正方形判定方法：
定义法
矩形法
菱形法
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
有一组邻边相等的矩形是正方形.
对角线相互垂直的矩形是正方形.
有一个角是直角的菱形是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
新知讲解
9
9
18
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一组邻边相等
有一个角是直角
有一组邻边相等且有一个角是直角
平行四边形
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
矩形
菱形
正方形
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A.四个角相等 B.对角线互相垂直平分
C.对角互补 D.对角线相等
2. 正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）
A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分
C.对角线平分一组对角 D.对角线相等
B
D
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，
点E在BD上，且BE=CD， 则∠BEC的度数为_________.
4.如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，
点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE
的和最小，则这个最小值为________.
67.5°
2
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME//CD交BC于点E，作MF//BC交CD于点F
求证:AM=EF.
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
证明:连接MC。
正方形ABCD中，∵AD=CD， ∠ADM= ∠ CDM，又DM=DM，
∴ △ADM≌△CDM。∴AM=CM。
∵ME//CD，MF//BC，∴四边形CEMF是平行四边形。
又∵∠ ECF=90°， ∴ CEMF是矩形。
∴ EF=MC。又AM=CM， ∴ AM=EF。
课堂练习
【综合拓展类作业】
6. 如图，正方形 ABCD 的边长为 1 cm，AC 为对角线，AE 平分∠BAC，EF⊥AC，求 BE 的长．
课堂练习
【综合拓展类作业】
解：∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1 cm.
∵ EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.
又∵∠ECF＝45°，
∴△EFC 是等腰直角三角形. ∴ EF＝FC.
∵∠B＝∠EFA＝90°，∠BAE＝∠FAE，AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE.
∴ AB＝AF＝1 cm，BE＝EF. ∴ FC＝BE.
在 Rt△ABC 中，
∴ FC＝AC－AF＝(－1) cm. ∴ BE＝(－1) cm．
课堂总结
2.四个角都是直角
1.四条边都相等，对边平行
3.对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
正方形
判定
性质
既是矩形，又是菱形
板书设计
1.正方形的性质：
(1)边：
正方形的对边相等且平行,四条边都相等;
(2)内角：
对角相等,且四个角都相等,都为直角;
(3)对角线：
对角线相等且互相垂直平分.
2.正方形的判定：
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形.（或对角线互相垂直的矩形是正方形）
（2）有一个角是直角的菱形是正方形.（或对角线相等的矩形是正方形）
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是( )
A.当AB=BC时，它是菱形 B.当AC⊥BD时，它是菱形
C.当∠ABC=90°时， 它是矩形 D.当AC=BD时，它是正方形
2.如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC，交BC于点E，F是边AB上一点，连接DF.若BE＝AF，则∠CDF的度数为( )
A．45° B．60° C．67.5° D．77.5°
D
C
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
3.如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上,且DE//CA，DF // BA.
(1)四边形AEDF是______________；
(2)如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是_________；
(3)如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是_________；
(4)如果∠BAC=90°，AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是__________.
平行四边形
矩形
菱形
正方形
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
4.如图所示，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF＝45°，求证：EF＝BE＋DF.
证明：延长CB至点G，使得BG＝DF，连接AG
在正方形ABCD中，AB＝AD，
∠ABC＝∠BAD＝∠D＝∠ABG＝90°
∴△ABG≌△ADF(SAS)
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF.
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAF＋∠BAE＝∠BAD－∠EAF＝45°
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
∴∠BAG＋∠BAE＝45°，即∠EAG＝45°
∴∠EAG＝∠EAF
又∵AE＝AE， AG＝AF
∴△AEG≌△AEF(SAS)，
∴EG＝EF
又∵EG＝BE＋BG＝BE＋DF，
∴EF＝BE＋DF
作业布置
【综合拓展类作业】
5.△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE.
(1)求证：四边形AEBD是矩形；
(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
证明：(1)∵点O为AB的中点，∴BO＝AO，
又∵OE＝OD，∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，
∴平行四边形AEBD是矩形.
作业布置
【综合拓展类作业】
(2)当∠BAC＝90°时，矩形AEBD是正方形，理由如下：
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD＝BD＝CD.
∵由(1)知四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形．
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin中小学教育资源及组卷应用平台
学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 人教版 册、章 下册18章
课标要求 1.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系；2.探索并证明平行四边形的性质定理3.了解两条平行线之间距离的意义，能度量两条平行线之间的距离；4.探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理5.探索并证明三角形的中位线定理.
内容分析 按照图形概念的从属关系,教科书把它分为三个层次安排了两个小节的内容。第一个层次是平行四边形，它是两组对边分别平行的四边形。教科书第1小节主要研究平行四边形的概念、性质和判定方法；作为判定方法的一个应用,引出了三角形中位线定理；在此基础上,教材进一步研究了平行四边形的特殊情况:矩形和菱形，正方形。
学情分析 学生已经积累了一定的学习几何图形的经验，初步掌握了推理论证的方法，从本质上来说本章是平行线和三角形知识的深入和应用，因此在学习平行四边形、矩形、菱形、正方形接受起来比较容易，但是由于内容较多，难度加大，因此也会遇到困难.，教师在教学新知识时应加强引导。
单元目标 （一）教学目标1、掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，了解它们之间的关系。2、探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法，并能运用这些知识进行有关的证明和计算。3、探索并了解线段、矩形、平行四边形的物理意义。4、通过经历特殊四边形性质的探索过程，丰富学生从事数学活动的经验和体验，进一步培养学生的合情推理能力。5、结合特殊四边形性质和判定方法以及相关问题的证明，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力。6、通过分析四边形与特殊四边形，以及平行四边形与各种特殊平行四边形概念之间的联系与区别，使学生认识到特殊与一般的关系，从而体会事物之间总是互相联系又是互相区别的，进一步培养学生的辩证唯物主义观点。（二）教学重点、难点教学重点：平行四边形的概念、性质定理和判定定理；矩形、菱形、正方形的概念和性质定理判定定理教学难点:灵活运用性质和判定定理解决问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数18.1 平行四边形518.2特殊的平行四边形5
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务18.1平行四边形1.认识平行四边形，并掌握平行四边形的性质和判定定理2.熟练运用平行四边形的性质和判定定理学生能运用平行四边形的性质和判定定理解决问题任务1.认识平行四边形任务2.探究平行四边形的性质定理和判定定理任务3.出示例题18.2特殊的平行四边形1．掌握菱形，矩形，正方形的性质2.掌握矩形，菱形，正方形的判定3．熟练运用矩形，菱形，正方形的性质与判定定理解决问题学生能运用性质与判定定理解决问题任务1：探究矩形，菱形，正方形的性质定理任务2.探究矩形，菱形，正方形的判定定理任务3.出示例题
《18章平行四边形》单元教学设计
活动1：通过生活中的实例引入课题
活动3：例题
18.1.1平行四边形的性质 (第1课时)
活动2：动手探究平行四边形的性质
活动4：探究平行线之间的距离
活动1：引入课题
活动2：探究平行四边形对角线的性质
18.1.1平行四边形的性质(第2课时)
平行四边形
活动3：例题
活动1：复习平行四边形的性质引入课题
活动2：探究对角线互相平分的四边形是平行四边形
18.1.2平行四边形的判定(第1课时)
活动3：例题
活动1：引入课题
活动2：探究一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
18.1..2平行四边形的判定(第2课时)
活动3：例题
活动1：引入课题
18.1..2平行四边形的判定(第3课时)
活动2：探究三角形的中位线
活动3：例题
活动1：通过生活中的实例引入课题
活动2：动手探究矩形的性质
18.2.1矩形 (第1课时)
活动3：探究直角三角形斜边的中线是斜边的一半
活动4：出示例题
活动1：引入课题
活动2：探究矩形的判定定理
18.2.1矩形(第2课时)
活动3：例题
平行四边形
活动1：由生活实例引入课题
18.2.2菱形(第1课时)
活动2：探究菱形的性质
活动3：例题
活动1：引入课题
活动2：探究菱形的性质
18.2..2菱形(第2课时)
活动3：例题
活动3：例题
活动1：引入课题
18.3正方形
活动2：探究正方形的性质与判定定理
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第一课时《18.2.3正方形》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是在学生掌握了平行线、三角形、平行四边形、矩形、菱形等有关知识及简单图形的平移和旋转等平面几何知识，并且具有初步的观察、操作等活动经验的基础上出现的．既是前面所学知识的延续，又是对平行四边形、矩形、菱形进行综合的不可缺少的重要环节．
学习者分析 学生在小学就接触到了正方形，在生活中也是常常见到的，非常熟悉，认识了正方形的边，角，对角线，知道了正方形的面积和周长的计算公式，直观认识还是较多的。但是对正方形，菱形，矩形，平行四边形之间的关系还缺乏认识，因此，要建立学生它们之间的联系，让学生对它们有一个完整的认识
教学目标 1.理解正方形的概念; 2.探索正方形的性质与判定，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别; 3.会应用正方形的性质与判定解决相关证明及计算问题.
教学重点 正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．
教学难点 正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 在小学，什么样的四边形是正方形？ 正方形与矩形和菱形分别有什么关系？ 四个角都是直角，四条边都相等的四边形叫做正方形． 你能用一张矩形纸片，折出一个最大的正方形吗？ 如何将一个活动的菱形框变成一个正方形？学生活动1： 学生思考，讨论问题活动意图说明：学生自主复习，既是对前面知识的复习，也是让学生运用类比的方法学习正方形新知。环节二：新知探究教师活动2： 1.如果四边形ABCD已经是一个矩形,那么再加上什么条件就可以变为正方形？ 2.如果四边形ABCD已经是一个菱形,那么再加上什么条件就可以变为正方形？ 3.如果四边形ABCD是一般的平行四边形,那么再加上什么条件就可以变为正方形？ 发现：一组邻边相等的矩形叫正方形. 发现：一个角为直角的菱形叫正方形. 发现：一个角为直角,一组邻边相等的平行四边形叫正方形. 归纳总结： 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有. 性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等. 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分. 正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？与同学们讨论一下，能列表或用框图表示出来吗？ 常用的正方形判定方法： 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系： 学生活动2： 学生通过观察，总结正方形的性质 小组交流合作，教师适时指导，证明正方形的性质定理 学生小组讨论，交流后得出结论：正方形，菱形，矩形，平行四边形之间的关系。活动意图说明：学生类比归纳出正方形的性质及判定，体现了“把所学知识建构在已学知识的基础上”的新课程理念，培养学生主动探索的习惯和创新意识．环节三：典例精析教师活动3： 例1.求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O. 求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的等腰直角三角形. 证明: ∵ 四边形ABCD是正方形, ∴ AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO. ∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都是等腰直角三角形， 并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO. 学生活动3： 学生自主解答，教师进行个别指导，最后让学生说明做题理由，教师做好总结. 活动意图说明：通过例题进行应用训练，促使学生加深对所学知识的理解和掌握，又能够感受正方形性质与判定定理的简单应用．
板书设计 1.正方形的性质： (1)边：正方形的对边相等且平行,四条边都相等; (2)内角：对角相等,且四个角都相等,都为直角; (3)对角线：对角线相等且互相垂直平分. 2.正方形的判定： （1）有一组邻边相等的矩形是正方形.（或对角线互相垂直的矩形是正方形） （2）有一个角是直角的菱形是正方形.（或对角线相等的矩形是正方形）
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( ) A.四个角相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角互补 D.对角线相等 2. 正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角线平分一组对角 D.对角线相等 3.如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，点E在BD上，且BE=CD， 则∠BEC的度数为_________. 4.如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为________. 选做题： 5.如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME//CD交BC于点E，作MF//BC交CD于点F，求证:AM=EF. 【综合拓展类作业】 6. 如图，正方形 ABCD 的边长为 1 cm，AC 为对角线，AE 平分∠BAC，EF⊥AC，求 BE 的长．
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是( ) A.当AB=BC时，它是菱形 B.当AC⊥BD时，它是菱形 C.当∠ABC=90°时， 它是矩形 D.当AC=BD时，它是正方形 2.如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC，交BC于点E，F是边AB上一点，连接DF.若BE＝AF，则∠CDF的度数为( ) A．45° B．60° C．67.5° D．77.5° 3.如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上,且DE//CA，DF // BA. (1)四边形AEDF是______________； (2)如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是_________； (3)如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是_________； (4)如果∠BAC=90°，AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是__________. 选做题 4.如图所示，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF＝45°，求证：EF＝BE＋DF. 【综合拓展类作业】 5.△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE. (1)求证：四边形AEBD是矩形； (2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
教学反思 本节课主要依托教材完成课时教学内容。精心设计课件，让每个环节环环相扣，严谨严学。在抽象定义的学习中，利用在线画板演示动态变化，加深理解；教学过程中，学生能积极主动参与到学习活动中，能运用类比、猜想、归纳、验证的数学思想和方法解决数学问题，学生展示反馈效果较好。对于出现的问题，学生可以相互质疑，放手让学生评价。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
