课题：1.2.2函数的表示法
精讲部分
学习目标展示
明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），了解三种表示方法各自的优点，在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；21世纪教育网版权所有
用通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应；
了解映射的概念及表示方法
衔接性知识
函数的三要素是什么？
2. 如何求函数的定义域？
3.正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的图象.
（1）正比例函数与一次函数的图象
（2）反比例函数
（3）二次函数的图象与性质
基础知识工具箱
要点
定义
符号
函数的表示法
解析法
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
优点：简明；给自变量求函数值
图象法
列出表格来表示两个变量之间的对应关系
优点：直观形象，反应变化趋势
列表法
列出表格来表示两个变量之间的对应关系
优点：不需计算就可看出函数值
分段函数
不同范围的x，对应法则不同的函数
映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射
注意：映射的对应情况有一对一、多对一，但一对多不是映射！！
函数与映射的关系
函数两个非空数集之间的一种映射；
函数一定是映射，但是映射不定是函数
映射的个数
若集合中有个元素，集合中有个元素，则从集合到集合共可建立个映射
典例精讲剖析
例1. 动点P从边长为位正方形ABCD顶点A开始运动一周，设沿正方形ABCD的运动路程为自变量，写出的面积与的函数关系式，并画出函数的图象
例2. 画出下列函数的图象，并根据图象写出函数的值域
（1） （2） (3) （4）
例3.已知，
（1）求的值（2）若，求实数的值.
例4. 给出下列四个命题：
(1)若A＝{整数}，B＝{正奇数}，则一定不能建立从集合A到集合B的映射；
(2)若A是无限集，B是有限集，则一定不能建立从集合A到集合B的映射；
(3)若A＝{a}，B＝{1,2}，则从集合A到集合B只能建立一个映射；
(4)若A＝{1,2}，B＝{a}，则从集合A到集合B只能建立一个映射．
其中正确命题的个数是( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
精练部分
A类试题（普通班用）
1. 已知f(x)＝则f(f(f(－4)))＝( )
A．－4 B．4 C．3 D．－3
2. 已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a＝________.
3. 已知函数φ(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且φ()＝16，φ(1)＝8，求φ(x)的表达式．21教育网
4. 在国内投寄外埠平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克而不超过40克重付邮资160分．试写出x(0≤x≤40)克重的信应付的邮资y(分)与x(克)的函数关系，并求函数的定义域，然后作出函数的图象．21cnjy.com
5. 作出函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|的图象，并由图象求函数f(x)的值域．
6. (1)一次函数的图象如图(1)，求其解析式．
(2)设二次函数的图象如图(2)所示，求此函数的解析式．
B类试题（3+3+4）（尖子班用）
1．已知f(x)＝则f(f(f(－4)))＝( )
A．－4 B．4 C．3 D．－3
2．下列从P到Q的各对应关系f中，不是映射的是( )
A．P＝N，Q＝N*，f：x→|x－8|
B．P＝{1,2,3,4,5,6}，Q＝{－4，－3,0,5,12}，f：x→x(x－4)
C．P＝N*，Q＝{－1,1}，f：x→(－1)x
D．P＝Z，Q＝{有理数}，f：x→x2
3．已知函数，若f[f(x)]＝2，则x的取值范围是( )
A． B．[－1,1] C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．{2}∪[－1,1]
4．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图四个图形中较符合该学生走法的是( )21·cn·jy·com
5．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a＝________.
[答案] 2
[解析] 由题意得，f(f(0))＝f(2)＝4＋2a＝4a，a＝2.
6．已知函数φ(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且φ()＝16，φ(1)＝8，则φ(x)的表达式为________．www.21-cn-jy.com
7．设A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(kx，y＋b)．是从集合A到集合B的映射，若B中元素(6,2)在映射f下对应A中元素(3,1)，则k，b的值分别为 ．
8．在国内投寄外埠平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克而不超过40克重付邮资160分．试写出x(0≤x≤40)克重的信应付的邮资y(分)与x(克)的函数关系，并求函数的定义域，然后作出函数的图象．2·1·c·n·j·y
9．作出函数的图象，并由图象求函数f(x)的值域．
（1） f(x)＝2x，x∈Z，且|x|≤2；（2）
（３）f(x)＝|x－2|－|x＋1|
10．(1)一次函数的图象如图(1)，求其解析式．
(2)设二次函数的图象如图(2)所示，求此函数的解析式．
课题：1.2.2函数的表示法
精讲部分
学习目标展示
明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），了解三种表示方法各自的优点，在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；
用通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应；
了解映射的概念及表示方法
衔接性知识
函数的三要素是什么？
2. 如何求函数的定义域？
3.正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的图象.
（1）正比例函数与一次函数的图象
（2）反比例函数
（3）二次函数的图象与性质
图像
定义域
对称轴
顶点坐标
值域
单调区间
递减
递增
递增
递减
基础知识工具箱
要点
定义
符号
函数的表示法
解析法
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
优点：简明；给自变量求函数值
图象法
列出表格来表示两个变量之间的对应关系
优点：直观形象，反应变化趋势
列表法
列出表格来表示两个变量之间的对应关系
优点：不需计算就可看出函数值
分段函数
不同范围的x，对应法则不同的函数
映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射
注意：映射的对应情况有一对一、多对一，但一对多不是映射！！
函数与映射的关系
函数两个非空数集之间的一种映射；
函数一定是映射，但是映射不定是函数
映射的个数
若集合中有个元素，集合中有个元素，则从集合到集合共可建立个映射
典例精讲剖析
例1. 动点P从边长为位正方形ABCD顶点A开始运动一周，设沿正方形ABCD的运动路程为自变量，写出的面积与的函数关系式，并画出函数的图象
解：当时，点在线段上，；
当时，点在线段上，的面积；
当时，点在线段上，的面积；
当时，点在线段上，的面积.
所以，的面积与的函数关系式为
例2. 画出下列函数的图象，并根据图象写出函数的值域
（1） （2） (3) （4）
解：（1），
（2）
函数的值域为
（3）
函数的值域为
（4）
函数的值域为
例3.已知，
（1）求的值（2）若，求实数的值.
解：（1），
（2）当时
，，由，得；
当时
，，
从而实数的值为与
例４. 给出下列四个命题：
(1)若A＝{整数}，B＝{正奇数}，则一定不能建立从集合A到集合B的映射；
(2)若A是无限集，B是有限集，则一定不能建立从集合A到集合B的映射；
(3)若A＝{a}，B＝{1,2}，则从集合A到集合B只能建立一个映射；
(4)若A＝{1,2}，B＝{a}，则从集合A到集合B只能建立一个映射．
其中正确命题的个数是( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
[答案] B
[解析] 对于(1)f：A→B对应法则f：x→2|x|＋1故(1)错；(2)f：R→{1}，对应法则f：x→1，(2)错；(3)可以建立两个映射，(3)错；(4)正确，故选B. 21世纪教育网版权所有
精练部分
A类试题（普通班用）
1. 已知f(x)＝则f(f(f(－4)))＝( )
A．－4 B．4 C．3 D．－3
[答案] B
[解析] f(－4)＝(－4)＋4＝0，∴f(f(－4))＝f(0)＝1，f(f(f(－4)))＝f(1)＝12＋3＝4.故选B.
2. 已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a＝________.
[答案] 2
[解析] 由题意得，f(f(0))＝f(2)＝4＋2a＝4a，a＝2
3. 已知函数φ(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且φ()＝16，φ(1)＝8，求φ(x)的表达式．21cnjy.com
[答案] 3x＋
[解析] 设f(x)＝kx (k≠0)，g(x)＝ (m≠0)
则φ(x)＝kx＋，由题设解之得：，∴φ(x)＝3x＋.
4. 在国内投寄外埠平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克而不超过40克重付邮资160分．试写出x(0≤x≤40)克重的信应付的邮资y(分)与x(克)的函数关系，并求函数的定义域，然后作出函数的图象．www.21-cn-jy.com
[解析] y＝
定义域为[0,40]，图象如下
5. 作出函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|的图象，并由图象求函数f(x)的值域．
[解析] f(x)＝
如图：由图象知函数f(x)值域为{y|－3≤y≤3}．
6. (1)一次函数的图象如图(1)，求其解析式．
(2)设二次函数的图象如图(2)所示，求此函数的解析式．
[解析] (1)设y＝kx＋b(k≠0)，由图知过(－1,0)和(0,2)点，
∴，∴，∴y＝2x＋2.
(2)设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由图知过A(－3,0)、B(1，0)、C(0，－2)三点，
∴，∴，∴y＝x2＋x－2.
[点评] 设y＝ax2＋bx＋c，由图知y＝0时，x＝－3或1，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两根－3和1，故可用根与系数关系求解，也可设ax2＋bx＋c＝a(x＋3)(x－1)．由过(0，－2)求出a，进而求出b、c.21·cn·jy·com
B类试题（3+3+4）（尖子班用）
1．已知f(x)＝则f(f(f(－4)))＝( )
A．－4 B．4 C．3 D．－3
[答案] B
[解析] f(－4)＝(－4)＋4＝0，∴f(f(－4))＝f(0)＝1，f(f(f(－4)))＝f(1)＝12＋3＝4.故选B.
2．下列从P到Q的各对应关系f中，不是映射的是( )
A．P＝N，Q＝N*，f：x→|x－8|
B．P＝{1,2,3,4,5,6}，Q＝{－4，－3,0,5,12}，f：x→x(x－4)
C．P＝N*，Q＝{－1,1}，f：x→(－1)x
D．P＝Z，Q＝{有理数}，f：x→x2
[答案] A
[解析] 对于选项A，当x＝8时，|x－8|＝0N*，∴不是映射，故选A.
3．已知函数，若f[f(x)]＝2，则x的取值范围是( )
A． B．[－1,1] C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．{2}∪[－1,1]
[答案] D
[解析] 首先当x＝2时，f(2)＝2，∴f[f(2)]＝2，
其次当x∈[－1,1]时，f(x)＝2，∴f[f(x)]＝2.
4．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图四个图形中较符合该学生走法的是( )21教育网
[答案] D
[解析] t＝0时，该学生到学校的距离为d0，排除A、C，随着跑步开始，此学生到学校距离迅速缩短，而转入步行后，此学生到学校距离继续缩短，但较跑步时缩的慢了，∴选D
5．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a＝________.
[答案] 2
[解析] 由题意得，f(f(0))＝f(2)＝4＋2a＝4a，a＝2.
6．已知函数φ(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且φ()＝16，φ(1)＝8，则φ(x)的表达式为________．2·1·c·n·j·y
[答案] 3x＋
[解析] 设f(x)＝kx (k≠0)，g(x)＝ (m≠0)
则φ(x)＝kx＋，由题设解之得：，∴φ(x)＝3x＋.
7．设A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(kx，y＋b)．是从集合A到集合B的映射，若B中元素(6,2)在映射f下对应A中元素(3,1)，则k，b的值分别为 ．
[解析] (3,1)对应元素为(3k,1＋b)，
∴解得.
8．在国内投寄外埠平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克而不超过40克重付邮资160分．试写出x(0≤x≤40)克重的信应付的邮资y(分)与x(克)的函数关系，并求函数的定义域，然后作出函数的图象．【来源：21·世纪·教育·网】
[解析] y＝定义域为[0,40]，图象如下
9．作出函数的图象，并由图象求函数f(x)的值域．
（1） f(x)＝2x，x∈Z，且|x|≤2；（2）
（3）f(x)＝|x－2|－|x＋1|
[解析] (1)这个函数的定义域是集合{－2，－1,0,1,2}，对应法则是“乘以2”，故它的图象由5个孤立的点(－2，－4)，(－1，－2)，(0,0)，(1,2)，(2,4)组成，函数图象如图(1)所示．函数f(x)值域为21·世纪*教育网
(2)这个函数分为两部分，
当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝1；当x∈(－∞，0]时，f(x)＝－1，
函数图象如图(2)所示．函数f(x)值域为
（3）f(x)＝
如图：由图象知函数f(x)值域为{y|－3≤y≤3}．
10．(1)一次函数的图象如图(1)，求其解析式．
(2)设二次函数的图象如图(2)所示，求此函数的解析式．
[解析] (1)设y＝kx＋b(k≠0)，由图知过(－1,0)和(0,2)点，
∴，∴，
∴y＝2x＋2.
(2)设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由图知过A(－3,0)、B(1，0)、C(0，－2)三点，
∴，∴，
∴y＝x2＋x－2.
[点评] 设y＝ax2＋bx＋c，由图知y＝0时，x＝－3或1，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两根－3和1，故可用根与系数关系求解，也可设ax2＋bx＋c＝a(x＋3)(x－1)．由过(0，－2)求出a，进而求出b、c.www-2-1-cnjy-com
