课题：1.3 函数的奇偶性与单调性的综合
学习目标展示
理解奇偶函数的单调性的性质；
会解决有关抽象函数的单调性与奇偶性的问题.
衔接性知识
如何用定义判断函数的奇偶性？
2.如何判断函数的单调性？
基础知识工具箱
要点
性质
奇函数的性质
①是奇函数的图象关于原点对称
②是奇函数
偶函数的性质
①是偶函数的图象关于轴对称
②是奇函数
奇偶函数的运算
具有奇偶性的两个函数在公共定义域上有：
奇＋奇＝奇、奇×奇＝偶、奇×偶＝奇、偶×偶＝偶
单调性的性质
①若，则与的单调性相同；若，则与的单调性相反
②若，则与的单调性相反；
③具有单调性的两个函数在公共定义域上有：
增＋增＝增、减＋减＝减，其它情形规律不确定
奇偶性与单调性的关系
若为奇函数，则与时单调性相同；若为偶函数，则与时单调性相反
典例精讲剖析
例1.函数的值域为________．
例2.已知函数是奇函数，是偶函数，且对于定义域内的任一都有，求与的解析式．
例3.若函数是定义在上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且，则使得的的取值范围是( )21世纪教育网版权所有
A．(－∞，2) B．(－2,2) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
例4.已知函数对任意，总有，且当时，，，
(1) 判断的奇偶性；
(2)求证在上是减函数；
(3)求在上的最大值及最小值．
精练部分
A类试题（普通班用）
1. 对于函数f(x)＝，下列结论中正确的是( )
A．是奇函数，且在[0,1]上是减函数 B．是奇函数，且在[1，＋∞)上是减函数
C．是偶函数，且在[－1,0]上是减函数 D．是偶函数，且在(－∞，－1]上是减函数
2. 函数y＝x－(1≤x≤2)的最大值与最小值的和为( )
A．0 B．－ C．－1 D．1
3.设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
4.设函数f(x)＝是奇函数(a、b、c∈Z)，且f(1)＝2，f(2)<3，求a、b、c的值．
5.已知函数)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减．若，求实数的取值范围．
B类试题（3+3+4）（尖子班用）
1. 对于函数f(x)＝，下列结论中正确的是( )
A．是奇函数，且在[0,1]上是减函数 B．是奇函数，且在[1，＋∞)上是减函数
C．是偶函数，且在[－1,0]上是减函数 D．是偶函数，且在(－∞，－1]上是减函数
2. 函数y＝x－(1≤x≤2)的最大值与最小值的和为( )
A．0 B．－ C．－1 D．1
3. 设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)
4. 设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
5. 设奇函数的定义域为．若当时，的图象如图，则不等式的解集是______．
6.是减函数，则函数的增区间为________
7.设函数f(x)＝是奇函数(a、b、c∈Z)，且f(1)＝2，f(2)<3，求a、b、c的值．
8. 已知函数)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减．若，求实数的取值范围．
9.对于每个实数x，设f(x)取y＝4x＋1，y＝x＋2，y＝－2x＋4三个函数中的最小值，用分段函数写出f(x)的解析式，并求f(x)的最大值．21教育网
10. 已知函数f(x)＝x2－4x－4.
（1）若函数定义域为[3,4]，求函数值域；（2）若函数定义域为[－3,4]，求函数值域；
（3）当x∈[a－1，a]时，y的取值范围是[1,8]，求a.
课题：1.3 函数的奇偶性与单调性的综合
学习目标展示
理解奇偶函数的单调性的性质；
会解决有关抽象函数的单调性与奇偶性的问题.
衔接性知识
如何用定义判断函数的奇偶性？
答：按“求定义域化简解析式计算结论”来判断
2.如何判断函数的单调性？
基础知识工具箱
要点
性质
奇函数的性质
①是奇函数的图象关于原点对称
②是奇函数
偶函数的性质
①是偶函数的图象关于轴对称
②是奇函数
奇偶函数的运算
具有奇偶性的两个函数在公共定义域上有：
奇＋奇＝奇、奇×奇＝偶、奇×偶＝奇、偶×偶＝偶
单调性的性质
①若，则与的单调性相同；若，则与的单调性相反
②若，则与的单调性相反；
③具有单调性的两个函数在公共定义域上有：
增＋增＝增、减＋减＝减，其它情形规律不确定
奇偶性与单调性的关系
若为奇函数，则与时单调性相同；若为偶函数，则与时单调性相反
典例精讲剖析
例1.函数的值域为________．
[解析] ∵在(－∞，1]上单调递减，在[－3，＋∞)上单调递增．
∴在[－3,1]上为减函数，
∴当时，；当时，
所以的值域为
例2.已知函数是奇函数，是偶函数，且对于定义域内的任一都有，求与的解析式．
[分析] 利用函数的性质再得到一个关于与的等式，然后把与看作未知量，利用方程的观点求解与．21·cn·jy·com
[解析] 由 ①
用代替得，
∵为奇函数，为偶函数，∴ ②
由①+②，得，由①－②，得
例3.若函数是定义在上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且，则使得的的取值范围是( )www.21-cn-jy.com
A．(－∞，2) B．(－2,2) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
[解析] 由题意知，
当时，，所以；
由对称性知，时，为增函数，，，所以。
故或，即时，，因此选B.
[点评] 可用数形结合法求解．由题意画出示意图如图所示可知选B.
例4.已知函数对任意，总有，且当时，，，
(1) 判断的奇偶性；
(2)求证在上是减函数；
(3)求在上的最大值及最小值．
[分析] 欲证(1)中为减函数，依定义，对必须证出.利用单调性求在上的最值，而将条件时，转化为时，是本题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
[解析] (1)∵，∴，又，∴，所以是奇函数
(2)设则
∵，据题意有
∴，即，∴在上是减函数．
(3)由(2)知，f(x)在上递减，∴最大，最小，
而，
f(－3)＝－f(3)＝2
∴在上的最大值2，最小值为－2.
精练部分
A类试题（普通班用）
1. 对于函数f(x)＝，下列结论中正确的是( )
A．是奇函数，且在[0,1]上是减函数 B．是奇函数，且在[1，＋∞)上是减函数
C．是偶函数，且在[－1,0]上是减函数 D．是偶函数，且在(－∞，－1]上是减函数
[答案] D
[解析] 画出函数图象如图，图象关于轴对称，所此函数为偶函数，
在(－∞，－1]上为减函数．
2. 函数y＝x－(1≤x≤2)的最大值与最小值的和为( )
A．0 B．－ C．－1 D．1
[答案] A
[解析] y＝x－在[1,2]上为增函数，当x＝1时ymin＝－1，当x＝2时，ymax＝1.故选A.
3.设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
[解析] f(x)＝(x＋1)(x＋a)为奇函数?g(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，
故g(－1)＝g(1)，∴a＝－1.
4.设函数f(x)＝是奇函数(a、b、c∈Z)，且f(1)＝2，f(2)<3，求a、b、c的值．
[解析] 由条件知f(－x)＋f(x)＝0，∴＋＝0，
∴c＝0又f(1)＝2，∴a＋1＝2b，∵f(2)<3，∴<3，∴<3，
解得：－1
∴b＝或1，由于b∈Z，∴a＝1、b＝1、c＝0
5.已知函数)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减．若，求实数的取值范围．
解：∵是偶函数，∴．∵，∴，
∵在[0，＋∞)上是减函数，∴，即或.
∴实数的取值范围是或.
B类试题（3+3+4）（尖子班用）
1. 对于函数f(x)＝，下列结论中正确的是( )
A．是奇函数，且在[0,1]上是减函数 B．是奇函数，且在[1，＋∞)上是减函数
C．是偶函数，且在[－1,0]上是减函数 D．是偶函数，且在(－∞，－1]上是减函数
[答案] D
[解析] 画出函数图象如图，图象关于轴对称，所此函数为偶函数，
在(－∞，－1]上为减函数．
2. 函数y＝x－(1≤x≤2)的最大值与最小值的和为( )
A．0 B．－ C．－1 D．1
[答案] A
[解析] y＝x－在[1,2]上为增函数，当x＝1时ymin＝－1，当x＝2时，ymax＝1.故选A.
3. 设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)
[答案] D
[解析] 奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，＝<0.
由函数的图象得解集为(－1,0)∪(0,1)．
4. 设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
[解析] f(x)＝(x＋1)(x＋a)为奇函数?g(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，
故g(－1)＝g(1)，∴a＝－1.
5. 设奇函数的定义域为．若当时，的图象如右图，则不等式的解集是______．
[答案] (－2,0)∪(2,5]
[解析] 为奇函数，故由所给图象可知当时，又由图知2＜x≤5时，，故的解集为(－2,0)∪(2,5]21世纪教育网版权所有
6.是减函数，则函数的增区间为________
[解析] 由条件2k＋1<0，∴k<－，
∴函数的图象开口向下，故增区间为(－∞，－]．
7.设函数f(x)＝是奇函数(a、b、c∈Z)，且f(1)＝2，f(2)<3，求a、b、c的值．
[解析] 由条件知f(－x)＋f(x)＝0，∴＋＝0，
∴c＝0又f(1)＝2，∴a＋1＝2b，∵f(2)<3，∴<3，∴<3，
解得：－1∴b＝或1，由于b∈Z，∴a＝1、b＝1、c＝0
8. 已知函数)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减．若，求实数的取值范围．
解：∵是偶函数，∴．∵，∴，
∵在[0，＋∞)上是减函数，∴，即或.
∴实数的取值范围是或.
9.对于每个实数x，设f(x)取y＝4x＋1，y＝x＋2，y＝－2x＋4三个函数中的最小值，用分段函数写出f(x)的解析式，并求f(x)的最大值．21教育网
[解析] 由直线y＝4x＋1与y＝x＋2求得交点A；
由直线y＝x＋2与y＝－2x＋4，求出交点B.
由图象可看出：
f(x)的最大值为
10. 已知函数f(x)＝x2－4x－4.
（1）若函数定义域为[3,4]，求函数值域；
（2）若函数定义域为[－3,4]，求函数值域；
（3）当x∈[a－1，a]时，y的取值范围是[1,8]，求a.
[解析] （1）f(x)＝(x－2)2－8开口向上，对称轴x＝2，∴当x∈[3,4]时，f(x)为增函数，最小值f(3)＝－7，最大值f(4)＝－4.∴值域为[－7，－4]．21cnjy.com
（2）f(x)＝(x－2)2－8在[－3,2]上是减函数，在[2,4]上是增函数，∴最小值为f(2)＝－8，
又f(－3)＝17，f(4)＝－4.
(也可以通过比较－3和4哪一个与对称轴x＝2的距离远则哪一个对应函数值较大，开口向下时同样可得出．)∴最大值为17，值域为[－8,17]．2·1·c·n·j·y
（3）∵f(x)＝(x－2)2－8，当x∈[a－1，a]时y的取值范围是[1,8]，∴2?[a－1，a]．当a<2时，函数f(x)在[a－1，a]上是减函数．∴∴a＝－1；21·世纪*教育网
当a－1>2即a>3时，f(x)在[a－1，a]上是增函数，
则∴a＝6.综上得a＝－1或a＝6.
