课题：1.3.2函数的奇偶性
学习目标展示
使学生理解奇函数、偶函数的概念，会运用定义判断函数的奇偶性；
会由函数的图象研究函数的单调区间及了函数的单调性；
以能由单调性的定义判断并证明函数的单调性；
衔接性知识
画出下列函数的图象
（1） (2) （3）
（4） (5)
2.上述的函数图象有什么特点？它们有对称轴与对称中心吗？
基础知识工具箱
要点
定义
符号
奇函数
设函数y＝f(x)的定义域为，如果对于内的任意一个，都有，且，则这个函数叫做奇函数
若定义域关于原点对称，则是奇函数对任意都成立
偶函数
设函数y＝f(x)的定义域为，如果对于内的任意一个，都有，且，则这个函数叫做偶函数
若定义域关于原点对称，则是偶函数对任意都成立
奇函数性质
设是奇函数，则①②③图象关于原点对称，反之也成立.④若有定义，则
偶函数性质
设是偶函数，则①②③图象关于轴对称，反之也成立
奇偶性与单调性的关系
若为奇函数，则与时单调性相同；若为偶函数，则与时单调性相反
判断函数奇偶性的步骤
求定义域化简解析式计算结论
典例精讲剖析
例1. 判断下列函数的奇偶性
(1)；(2)；(3)；(4)；
(5)（6） (7)
（8）
例2. 已知函数的图象关于原点对称，且当时，.试求在上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间
例3. 如果奇函数f(x)在区间[1,6]上是增函数，且最大值为10，最小值为4，那么f(x)在[－6，－1]上是增函数还是减函数？求f(x)在[－6，－1]上的最大值和最小值
例4. (1)如图①是奇函数的部分图象，则＝ .
(2)如图②是偶函数的部分图象，比较与的大小的结果为 ．
精练部分
A类试题（普通班用）
1．下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝x3 B．y＝－x2＋1 C．y＝|x|＋1 D．y＝2－|x|
2. 若函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，则a＝
3．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；(2)f(x)＝.
4．函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且，求函数f(x)的解析式．
5．已知f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)的图象是经过点(3，－6)，顶点为(1,2)的抛物线的一部分，求f(x)的解析式，并画出其图象．21世纪教育网版权所有
B类试题（3+3+4）（尖子班用）
1．下列命题中错误的是( )
①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数②奇函数的图象一定过原点③偶函数的图象与y轴一定相交④图象关于y轴对称的函数一定为偶函数21教育网
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
2．下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝x3 B．y＝－x2＋1 C．y＝|x|＋1 D．y＝2－|x|
3．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)单调递增，则满足f(2x－1)A. B. C. D.
4. 若函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，则a＝
5. 已知f(x)＝x7＋ax5＋bx－5，且f(－3)＝5，则f(3)＝
6. 已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，则f(x)＝ ，
g(x) ＝ ．
7．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；(2)f(x)＝.
8．函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且，求函数f(x)的解析式．
9．已知b＞a＞0，偶函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上是增函数，问函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数还是减函数？21cnjy.com
10．已知f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)的图象是经过点(3，－6)，顶点为(1,2)的抛物线的一部分，求f(x)的解析式，并画出其图象．21·cn·jy·com
课题：1.3.2函数的奇偶性
学习目标展示
使学生理解奇函数、偶函数的概念，会运用定义判断函数的奇偶性；
会由函数的图象研究函数的单调区间及了函数的单调性；
以能由单调性的定义判断并证明函数的单调性；
衔接性知识
画出下列函数的图象
（1） (2) （3）
（4） (5)
2.上述的函数图象有什么特点？它们有对称轴与对称中心吗？
基础知识工具箱
要点
定义
符号
奇函数
设函数y＝f(x)的定义域为，如果对于内的任意一个，都有，且，则这个函数叫做奇函数
若定义域关于原点对称，则是奇函数对任意都成立
偶函数
设函数y＝f(x)的定义域为，如果对于内的任意一个，都有，且，则这个函数叫做偶函数
若定义域关于原点对称，则是偶函数对任意都成立
奇函数性质
设是奇函数，则①②③图象关于原点对称，反之也成立.④若有定义，则
偶函数性质
设是偶函数，则①②③图象关于轴对称，反之也成立
奇偶性与单调性的关系
若为奇函数，则与时单调性相同；若为偶函数，则与时单调性相反
判断函数奇偶性的步骤
求定义域化简解析式计算结论
典例精讲剖析
例1. 判断下列函数的奇偶性
(1)；(2)；(3)；(4)；
(5)（6） (7)
（8）
解：（1）由已知，得，的定义域为
，是奇函数
（2）的定义域为，
，是偶函数
（3）的定义域为，
，是偶函数
（4）的定义域为，
，，，且
为非奇非偶函数
（5）由，得，所以的定义域为，定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数
（6）由，的定义域为，定义域关于原点对称
，，且
所以既然是奇函数也是偶函数
（7）的定义域为，
，是偶函数
（8）由得－1≤x≤1且x≠0，
定义域关于原点对称，又－1≤x≤1且x≠0时，f(x)＝＝，
∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
例2. 已知函数的图象关于原点对称，且当时，.试求在上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间
解： ∵函数的图象关于原点对称．
∴为奇函数，则，
设，则，∵时，，
∴
于是有：
先画出函数在y轴右边的图象，再根据对称性
画出y轴左边的图象．如下图．
由图象可知
的单调递增区间是、∞)，单调递减区间是、．
例3. 如果奇函数f(x)在区间[1,6]上是增函数，且最大值为10，最小值为4，那么f(x)在[－6，－1]上是增函数还是减函数？求f(x)在[－6，－1]上的最大值和最小值
解：设，则，
∵在[1,6]上是增函数且最大值为10，最小值为4，
∴，
又∵为奇函数，∴，
∴，
即在[－6，－1]上是增函数，且最小值为－10，最大值为－4.
例4. (1)如图①是奇函数的部分图象，则＝ .
(2)如图②是偶函数的部分图象，比较与的大小的结果为 ．
解：(1)∵奇函数的图象关于原点对称，且奇函数图象过点(2,1)和(4,2)，
∴必过点(－2，－1)和(－4，－2)，
∴＝(－2)×(－1)＝ 2 .
(2)∵偶函数满足，∴．
精练部分
A类试题（普通班用）
1．下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝x3 B．y＝－x2＋1 C．y＝|x|＋1 D．y＝2－|x|
[答案] C
[解析] 由偶函数，排除A；由在(0，＋∞)上为增函数，排除B，D，故选C
2. 若函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，则a＝
[答案] －1
[解析] 解法1：f(x)＝x2＋(a＋1)x＋a为偶函数，∴a＋1＝0，∴a＝－1.
解法2：∵f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，∴对任意x∈R，有f(－x)＝f(x)恒成立，∴f(－1)＝f(1)，
即0＝2(1＋a)，∴a＝－1
3．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；(2)f(x)＝.
[解析] (1)f(－x)＝，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(2)f(－x)＝≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，∴f(x)既不是奇函数，又不是偶函数．
4．函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且，求函数f(x)的解析式．
[解析] 因为f(x)是奇函数且定义域为(－1,1)，所以f(0)＝0，即b＝0.
又，所以＝，所以a＝1，所以f(x)＝
5．已知f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)的图象是经过点(3，－6)，顶点为(1,2)的抛物线的一部分，求f(x)的解析式，并画出其图象．21世纪教育网版权所有
[解析] 设x≥0时，f(x)＝a(x－1)2＋2，
∵过(3，－6)点，∴a(3－1)2＋2＝－6，∴a＝－2.即f(x)＝－2(x－1)2＋2.
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝－2(－x－1)2＋2＝－2(x＋1)2＋2，
∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝2(x＋1)2－2，
即f(x)＝，
其图象如图所示．
B类试题（3+3+4）（尖子班用）
1．下列命题中错误的是( )
①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数②奇函数的图象一定过原点③偶函数的图象与y轴一定相交④图象关于y轴对称的函数一定为偶函数21教育网
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
[答案] D
[解析] f(x)＝为奇函数，其图象不过原点，故②错；y＝为偶函数，其图象与y轴不相交，故③错．21cnjy.com
2．下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝x3 B．y＝－x2＋1 C．y＝|x|＋1 D．y＝2－|x|
[答案] C
[解析] 由偶函数，排除A；由在(0，＋∞)上为增函数，排除B，D，故选C.
3．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)单调递增，则满足f(2x－1)A. B. C. D.
[答案] A
[解析] 由题意得|2x－1|4. 若函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，则a＝
[答案] －1
[解析] 解法1：f(x)＝x2＋(a＋1)x＋a为偶函数，∴a＋1＝0，∴a＝－1.
解法2：∵f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，∴对任意x∈R，有f(－x)＝f(x)恒成立，∴f(－1)＝f(1)，
即0＝2(1＋a)，∴a＝－1
5. 已知f(x)＝x7＋ax5＋bx－5，且f(－3)＝5，则f(3)＝
[答案] －15
[解析] 解法1：f(－3)＝(－3)7＋a(－3)5＋(－3)b－5＝－(37＋a·35＋3b－5)－10＝－f(3)－10＝5，∴f(3)＝－15.21·cn·jy·com
解法2：设g(x)＝x7＋ax5＋bx，则g(x)为奇函数，∵f(－3)＝g(－3)－5＝－g(3)－5＝5，
∴g(3)＝－10，∴f(3)＝g(3)－5＝－15.
6. 已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，则f(x)＝ ，
g(x) ＝ ．
[解析] f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)－g(x)＝x2－x－2又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得：f(x)＝x2－2，g(x)＝x.www.21-cn-jy.com
7．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；(2)f(x)＝.
[解析] (1)f(－x)＝，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(2)f(－x)＝≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，∴f(x)既不是奇函数，又不是偶函数．
8．函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且，求函数f(x)的解析式．
[解析] 因为f(x)是奇函数且定义域为(－1,1)，所以f(0)＝0，即b＝0.
又，所以＝，所以a＝1，所以f(x)＝
9．已知b＞a＞0，偶函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上是增函数，问函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数还是减函数？2·1·c·n·j·y
[解析]设a≤x1＜x2≤b，则－b≤－x2＜－x1≤－a.∵f(x)在[－b，－a]上是增函数．
∴f(－x2)＜f(－x1)
又f(x)是偶函数，∴f(－x1)＝f(x1) ，f(－x2)＝f(x2)
于是 f(x2)＜f(x1)，故f(x)在[a，b]上是减函数
10．已知f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)的图象是经过点(3，－6)，顶点为(1,2)的抛物线的一部分，求f(x)的解析式，并画出其图象．【来源：21·世纪·教育·网】
[解析] 设x≥0时，f(x)＝a(x－1)2＋2，
∵过(3，－6)点，∴a(3－1)2＋2＝－6，∴a＝－2.即f(x)＝－2(x－1)2＋2.
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝－2(－x－1)2＋2＝－2(x＋1)2＋2，
∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝2(x＋1)2－2，
即f(x)＝，
其图象如图所示．
