第十章 三角形的有关证明 单元测试题（含答案）

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第十章 三角形的有关证明
单元测试题
(时间:120 分钟 总分:150 分)
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 4 分，满分 48 分)
1.下列各组数据中的三个数，分别作为三角形的三边长，能构成直角三角形的是( )
A.1,2,3 B.2, , C.8,24,25 D.9,12,15
2.下列命题的逆命题为真命题的是 ( )
A.全等三角形的面积相等 B. 若,则
C.对顶角相等 D.两条直线被第三条直线所截，如果两直线平行，那么同位角相等
3.如图,AC=DF,∠1=∠2,如果根据“ASA”判定 那么需要补充的条件是 ( )
A.∠A=∠D B. AB=DE C.∠A=∠E
4.用反证法证明“在△ABC中,若AB=AC,则∠B=∠C”时,则应假设( )
A.∠A=∠B B.∠B≠∠C C. AB≠AC
5.如图,△OAB 的顶点O(0,0),顶点 A,B 分别在第一、四象限,且AB⊥x轴,若AB=6,OA=OB=5,则点 A的坐标是 ( )
A.(5,4) B.(3,4) C.(5,3) D.(4,3)
6.在△ABC中,AB=20,AC=13,高 AD=12,则△ABC的面积为 ( )
A.66 B.126 C.54 或44 D.126 或66
7.如图,在等边△ABC 中,BD平分∠ABC 交AC 于点 D,过点 D作DE⊥BC于点E,且CE=1.5,则AB的长为 ( )
A.3 B.4.5 C.6 D.7.5
8.如图,在 中，分别以点 B 和点 C 为圆心，大于 长为半径画弧,两弧相交于点 M,N.作直线 MN,交 AC 于点 D,交 BC 于点E,连接BD.若AB=7,AC=12,BC=6,则△ABD的周长为( )
A.25 B.22 C.19 D.18
第 8 题图 第9 题图
9.如图,在△ABC中, 尺规作图:(1)分别以 B,C 为圆心,BC长为半径作弧，两弧交于点 D；(2)作射线 AD 交 BC 于点 O，连接BD，CD，则下列结论中错误的是( )
A.∠BAD=∠CAD B.△BCD是等边三角形
C. AD垂直平分BC
10.如图,△ABC的三边 AC,BC,AB 的长分别是 8,12,16,点O是 三条角平分线的交点，则 的值为 ( )
A.4: 3:2 B.5: 3: 2 C.2 : 3 : 4 D.3: 4 :5
11.已知点 P 是等边△ABC的边BC上的一点,若 则在以线段 AP，BP，CP为边的三角形中，最小内角的大小为 ( )
A.14° B.16° C.24° D.26°
12.如图,在△OAB和△OCD中,连接AC,BD交于点 M,连接OM.下列结论:①;②;③OM平分∠BOC;④MO平分∠BMC.其中正确的个数为 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
二、填空题(本大题共 6 小题，每小题4 分，满分 24 分)
13.如图,AB=AC,点 D,E分别在AB,AC上,连接BE,CD.请你补充一个条件____________,使△ABE≌△ACD.
第 13 题图 第 14 题图
14.如图，等边三角形纸片 ABC的边长为 9，E，F 是边 BC 上的三等分点，分别过点 E，F 沿着平行于BA，CA 方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是___________.
15.一艘船由A 港沿北偏东 60°方向航行30 km到 B 港，然后再沿北偏西30°方向航行40 km至C港,则A,C两港之间的距离为___________ km.
16.如图,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是 BC 边上的一点,过点 B 作 BE⊥AD于点E,过点C 作CF⊥AD于点F,若BE=3,CF=1.8,则 EF=__________.
第 16 题图 第 17 题图 第 18 题图
17.如图,线段 AB,BC 的垂直平分线 , 相交于点O.若∠AOC=68°,则∠ABC=_____.
18.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB,垂足为 E.若 AC=2,DE=1,则
三、解答题(本大题共7 小题，满分78 分)
19.(10 分)在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，的顶点均在格点上.
(1)分别求出边 AB,AC,BC的长度,并计算 的周长；
(2)判断 的形状，并说明理由.
20.(10分)如图,在四边形 ABCD中, E为CD的中点，连接AE,BE,延长 AE 交 BC 的延长线于点 F.
(1)求证:
(2)若 求证：
21.(10分)如图,BD是△ABC的角平分线,DE∥BC,交 AB 于点E.
(1)求证:∠EBD=∠EDB;
(2)当AB=AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由.
22.(10分)在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC.D是AC边上一点,连接BD,EC⊥AC,且 AE=BD,AE与BC 交于点F.
(1)求证:CE=AD;
(2)当AD=CF时,求证:BD平分∠ABC.
23.(12分)如图, ∥的角平分线与 的角平分线相交于点P，且D，P，C在同一条直线上.
(1)求 的度数；
(2)求证:P 的线段CD 的中点.
24.(12分)如图,在△ABC中,AB边的垂直平分线交BC于点D,AC边的垂直平分线 交 BC于点E, 与 相交于点O,连接OB,OC.若△ADE的周长为12 cm,的周长为32 m.
(1)求线段 BC 的长;
(2)连接OA,求线段 OA 的长;
(3)若 求 的度数.(用含 n的式子表示)
25.(14分)如图,在等边三角形ABC中,点E 是边 AC 上一定点,点 D 是直线BC 上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF.
图1 图2
(1)(问题解决)如图1,若点 D 在边 BC 上,求证:(
(2)(类比探究)如图 2，若点 D 在边 BC 的延长线上，请探究线段CE，CF 与CD 之间存在怎样的数量关系 并说明理由.
参考答案
1. D 2. D 3. A 4. B 5. D 6. D 7. C 8. C 9. D
10. A 11. B 12. B
13.∠B=∠C 14.9 15. 50 16. 1.2 17. 34° 18. 1
19.解:(1)由勾股定理得 ∴△ABC 的周长
(2)△ABC 是直角三角形.
理由：∵
∴△ABC是直角三角形.
20.证明:(1)∵AD∥BC,∴∠ADC=∠ECF.
∵E 是 CD 的中点,∴DE=EC.
∵在△DAE与△CFE中，
∴△DAE≌△CFE(ASA).
(2)由(1)知△ADE≌△FCE,∴AE=EF,AD=CF.
∵AB=BC+AD,∴AB=BC+CF,即 AB=BF.
在△ABE与△FBE中 ∴△ABE≌△FBE(SSS),
21.(1)证明: ∵BD 是△ABC 的角平分线,∴∠CBD=∠EBD.
∵DE∥BC,∴∠CBD=∠EDB,∴∠EBD=∠EDB.
(2)解:CD=ED.
理由如下:∵AB= AC,∴∠ACB=∠ABC.
∵DE∥BC,∴∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC,
∴∠ADE=∠AED,∴AD=AE,∴CD=BE,
由(1)得,∠EBD=∠EDB,∴BE=DE,∴CD=ED.
22.证明:(1)∵EC⊥AC,∠BAC=90°,∴∠BAD=∠ACE=90°.
在 Rt△ABD和Rt△CAE中,AB=CA,BD=AE,
∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL),∴AD=CE.
(2)在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=45°,
∴∠ECF=∠ACE-∠ACB=45°,
∵AD=CF,AD=CE,∴CE=CF,
∴∠EAC=22.5°=∠ABD,∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=45°-22.5°=22.5°,
∴∠ABD=∠CBD,∴BD平分∠ABC.
23.(1)解:∵AD∥BC,∠D=90°,∴∠C=180°-∠D=90°.
∵∠CPB=30°,∴∠PBC=90°-∠CPB=60°.
∵BP平分∠ABC,∴∠ABC=2∠PBC=120°.
∵AD∥BC,∴∠DAB+∠ABC=180°.∴∠DAB=180°-∠ABC=60°.
∵AP平分∠DAB,
(2)证明:过点 P 作 PE⊥AB于点 E.
∵AP平分∠DAB,∠D=90°,∴PE=PD.
∵BP平分∠ABC,∠C=90°,∴PE=PC.∴PD=PC.
∴P是线段CD的中点.
24.解:(1)∵ 是 AB边的垂直平分线,∴DA=DB.
∵ 是 AC边的垂直平分线,∴EA=EC.
∵△ADE的周长为12 cm,∴DA+DE+EA=12 cm,
∴BC=BD+DE+EC=12 cm.
(2)如图,
∵ 是 AB边的垂直平分线,∴OA=OB.
∵是 AC边的垂直平分线,∴OA=OC.
∵△OBC 的周长为 32 cm,∴OB+OC+BC=32cm,
∵DA=DB,EA=EC,∴∠BAD=∠ABC,∠EAC=
25.(1)证明:在CD上截取CH=CE,如图 1所示:
∵△ABC是等边三角形,∴∠ECH=60°,∴△CEH 是等边三角形,
∴EH=EC=CH,∠CEH=60°.
∵△DEF 是等边三角形,∴DE=FE,∠DEF=60°,
∴∠DEH+∠HEF=∠FEC+∠HEF=60°,∴∠DEH=∠FEC,
在△DEH和△FEC中 ∴△DEH≌△FEC(SAS),∴DH=CF,
∴CD=CH+DH=CE+CF,∴CE+CF=CD.
(2)解:线段CE,CF 与CD 之间的等量关系是CF=CD+CE.理由如下:
∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=60°,
过 D 作DG∥AB,交 AC的延长线于点G,如图2所示:
∵GD∥AB,∴∠GDC=∠B=60°,∠DGC=∠A=60°,∴∠GDC=∠DGC=60°,
∴△GCD为等边三角形,∴DG=CD=CG,∠GDC=60°,
∵△EDF为等边三角形,∴ED=DF,∠EDF=∠GDC=60°,∴∠EDG=∠FDC,
在△EGD和△FCD中. ∴△EGD≌△FCD(SAS),
∴EG=FC,
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