福建长乐七中2009届高三数学理科模拟卷

福建长乐七中2009届高三数学理科模拟卷 于5月
数学（理科）试卷
本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，其中第Ⅱ卷第21题（1）、（2）、（3）题为选考题，本剧要求选答；其他题为必考题，本卷满分150分，考试时间120分钟·21世纪教育网
参考公式：21世纪教育网
锥体的体积公式： ，其中S为底面面积，h为高；21世纪教育网
球的表面积、体积公式： 其中r为球的半径．21世纪教育网
第Ⅰ卷(选择题共50分)21世纪教育网
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中有
且仅有一项是符合题目要求的．把答案填涂在答题卡的相应位置
1．已知，i是虚数单位，若，则复数x+2i共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，若，则锐角等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．阅读右边的流程图，若输入的a、b、c分别是11、22、33，
则输出的a、b、c分别是：( )
A．33、11、22 B．11、22、33
C．22、11、33 D．33、22、11
５．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，
则下列命题中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，边长为2的正方形内有一内切圆．在图形上随机
投掷一个点，则该点落到圆内的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．“”是“直线”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．函数的图象大致为( )


9．为得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
10．已知函数满足，且当时，，
则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷(非选择题共100分)
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在答题卡相应位置。
11．由直线，x=2，曲线及x轴所围图形的面积为
12．已知实数满足如果目标函数的最小值为，则实数等于

13．等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为　　　　　　．
14．若对任意实数都成立，则 ．
15．若不等式的解集是，则以下结论中：
①； ②； ③； ④； ⑤，
正确结论的序号是
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16. （本小题满分13分）
已知：函数的周期为，且当时，函数的最小值为0.　
（1）求函数的表达式;
（2）在△ABC中，若,且2sin2B=cosB+cos(A－C),求 的值.
17.(本小题满分13分)
甲、乙两名同学参加一项射击游戏，两人约定，其中任何一人每射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分.若甲、乙两名同学射击的命中率分别为和p ，且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为，假设甲、乙两人射击互不影响.
(1)求p的值；
(2) 记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
18． (本小题满分13分)
如图，正方形与正方形所在平面互相垂直，为的中点，
（Ⅰ）若为线段上的中点，求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
19．（本小题满分13分）
在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．
（I）求的取值范围；
（ II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与垂直？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．
20．（本小题满分14分）
已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间和极值；
（2）当时，若，均有，求实数的取值范围；
（3）若，，且，试比较与的大小．
21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。
如果多做，则按所做的前两题计分。
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
已知，，试求的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．
（２）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
在曲线上求一点，使它到直线
的距离最小，并求出该点坐标和最小距离。
（３）（本小题满分7分）选修4-5；不等式选讲
若。
评分标准与参考答案
一、DCBAD CADAD
二、11．2ln2 12. 5 13. 14. 12 15. ②③⑤
三、
16．（1）解：∵ ，T＝，
即.……………3分
∵[0，] , ∴≤≤ ∴≤≤1
∴的最小值为m,∴m=0
即 ………………………………7分
（2）=2 ∴
而∠（0，）， ∴∠＝ …………………………9 分
在△ABC中，∵A+B=,2sin2B=cosB+cos(A-C)
∴ 2cos2A-sinA-sinA=0 解得sinA=　
∵0 ,∴ sinA= ……………………13分
17. 解：(1)设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，“甲射击一次，未击中目标”为事件，“乙射击一次，未击中目标”为事件，则
……1分
依题意得， ……3分
解得，故p的值为. ……5分
(2)ξ的取值分别为0，2，4. ……6分
， ……8分
，
，
∴ξ的分布列为
ξ
0
2
4
P
……11分
∴Eξ= ……13分
18. 解法一：（几何法）
（Ⅰ）连结，则是的中点，
在△中，，
且平面，平面，
∴∥平面
（Ⅱ）取中点
即,
解法二：（向量法）以点为原点，为轴，建系如图
，
（Ⅰ）若为线段上的中点,
则，
，
∴ ∥平面 ………………………………6’
（Ⅱ）易知平面的法向量……………………7’
设平面的法向量 ， 由
解得 …………………9’
,
……………………13’
19．解：（Ⅰ）由已知条件，直线的方程为，…………………1分
代入椭圆方程得．
整理得　　　① …………………2分
直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，
…………………………………………………3分
解得或．…………………5分
即的取值范围为．……………6分
（Ⅱ）设，则，
由方程①，．　　　②
又．　　　　③ ……………7分
而．
所以与垂直等价于，…………9分
将②③代入上式，解得．…………………………11分
由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数．………………13分
20. 解：由题意， …………………………………………2分
（1）当时，
由得，解得，函数的单调增区间是；
由得，解得，函数的单调增区间是
∴当时，函数有极小值为．………6分
（2）当时，由于，均有，
即，恒成立，
∴，， ……………………………………………………8分
由（1），函数极小值即为最小值，
∴，解得．………………………………10分
（3），
∵且，
∴，
∴，……………………………………………12分
又，∴，
∴，即．……14分
21. （1）解：＝＝， ……………………………1分
矩阵的特征多项式为＝，……………………3分
令，得矩阵的特征值为。 ……………………………4分
对于特征值解相应的线性方程组得一个非零解
∴是矩阵的属于特征值的一个特征向量。 ……………6分
对于特征值解相应的线性方程组得一个非零解
∴是矩阵的属于特征值的一个特征向量。 ……………7分
（2）解：直线化成普通方程是………………………2分
设所求的点为P则P到直线的距离
当时，即时，d取最小值1，……5分
此时，点P的坐标是……………………………………………7分
（3）解：根据题意，即，……………………2分
……………………4分
或(舍去)
当且仅当时等号成立，……………7分