7.3.4正切函数的性质与图象 课件（共25张PPT）-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册
文档属性
| 名称 | 7.3.4正切函数的性质与图象 课件（共25张PPT）-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 447.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-15 07:43:22 | ||
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文档简介
(共25张PPT)
正切函数的性质与图象
问题情境
问题1 前面学习了正弦函数与余弦函数，是不是有正切函数呢？
新知探究
正切函数
对于任意一个角x，只要x≠ ＋kπ，k∈Z，就有唯一确定的正切值tan x与之对应，因此y＝tan x是一个函数，称为正切函数．
新知探究
问题2 你能由正切线得出正切函数y＝tan x具有哪些性质吗？
1
O
x
y
A
T
x
就是角x的正切线
新知探究
1
O
x
y
A
T
x
正切函数的性质
（1）定义域与值域
因为角 ＋kπ（k∈Z）的终边与横轴垂直，其正切值不存在，
因此可知y＝tan x的定义域为｛x|x≠ ＋kπ，k∈Z｝．
由图中的正切线可以看出，当x从0开始增大并越来越接近 时，tan x的值从0开始增大，
且它的值可以大于指定的任意正数，也就是说tan x能取到[0，＋∞）内的所有数，
类似的，可以看出tan x能取到（－∞，0]内的所有数，因此y＝tan x的值域为R．
新知探究
正切函数的性质
（2）奇偶性
由诱导公式tan（－x）＝－tan x可知，正切函数y＝tan x是一个奇函数．
【想一想】函数 是奇函数还是偶函数？
是奇函数．
1
O
x
y
A
T
x
新知探究
正切函数的性质
（3）周期性
1
O
x
y
A
T
x
由诱导公式tan（x＋π）＝tan x或图中正切线的变化规律可知，y＝tan x是周期为π的周期函数．
新知探究
1
O
x
y
A
T
x
正切函数的性质
（4）单调性
由y＝tan x是以π为周期的周期函数可知，我们只要知道正切函数在 内的单
调性，就能得到正切函数在所有有定义的区间上的单调性．
由图中的正切线可以看出，正切函数y＝tan x在区间 上单调递增，由此可知，
y＝tan x在每一个开区间 上都是单调递增的．
【想一想】函数y＝－tan x的单调性如何？
在 上单调减．
新知探究
正切函数的性质
（5）零点
不难看出，正切函数y＝tan x的零点为kπ（k∈Z）．
【想一想】正切函数的对称性如何？
1
O
x
y
A
T
x
没有对称轴，有无数个对称中心
新知探究
正切函数y＝tan x周期为π的周期函数．
正切函数y＝tan x是奇函数．
正切函数y＝tan x的零点是kπ（k∈Z）．
正切函数y＝tan x的定义域是｛x|x≠ ＋kπ，k∈Z｝，值域是R．
正切函数y＝tan x在每一个开区间（ ＋kπ， ＋kπ）（k∈Z）上都是单调递增的．
新知探究
问题3 正切函数y＝tan x的图象会是什么样呢？根据正切函数的性质，我们只要研究区间长度为多少的函数图象即可？
x 0
y＝tan x 1
0
描点
连线
作这一段图象关于原点对称的图象
正切函数y＝tan x的图象
取 内的几个点，列表
O
x
y
1
2
3
－3
－2
－1
－2π
－π
π
2π
y＝tan x在 上的函数图象
y＝tan x的周期是π
新知探究
取 内的几个点，列表．
x 0
y＝tan x 1
0
再由正切函数的对称性，可得其在一个周期内的图象，如图：
O
y
1
2
3
－3
－2
－1
x
y＝tan x的函数图象称为正切曲线，是中心对称图形，对称中心
为 k∈Z．
新知探究
问题3 正切函数y＝tan x的图象会是什么样呢？根据正切函数的性质，我们只要研究区间长度为多少的函数图象即可？
初步应用
例1 求函数y＝tan（x－ ）的定义域．
解答：令u＝x－ ，则y＝tan（x－ ）可以转化为y＝tan u，
因为y＝tan u中u≠ ＋kπ，k∈Z，
所以x－ ≠ ＋kπ，k∈Z，
即x≠ ＋kπ，k∈Z，
所以函数y＝tan（x－ ）的定义域为｛x|x≠ ＋kπ，k∈Z｝．
初步应用
例2 求函数y＝tan 3x的周期．
解答：令u＝3x，则y＝tan 3x可以化为y＝tan u．
由y＝tan u的周期为π可知，对任意u，
对应的函数值才重复出现，因为：u＋π＝3x＋π＝3（x＋ ）
当它增加到且至少增加到u＋π时，
这说明对任意x，当它增加到且至少增加到x＋ 时，
y＝tan 3x的函数值才重复出现，这就说明y＝tan 3x的周期为 ．
初步应用
结论：函数y＝Atan（ωx＋φ）的最小正周期为
初步应用
例3 （1）求函数 的单调区间；
（2）比较tan 1，tan 2，tan 3的大小．
解答：（1）化简得，
由 ，k∈Z，
解得 ，k∈Z．
∴函数的单调减区间是 ，k∈Z．
初步应用
例3 （1）求函数 的单调区间；
（2）比较tan 1，tan 2，tan 3的大小．
（2）∵tan 2＝tan（2－π），tan 3＝tan（3－π）．
∴tan（2－π）＜tan（3－π）＜tan 1，
又∵ ＜2＜π，∴ ＜2－π＜0．
∵ ＜3＜π，∴ ＜3－π＜0，
显然 ＜2－π＜3－π＜1＜ ，且y＝tan x在 内是增函数，
因此tan 2＜tan 3＜tan 1．
初步应用
例4 已知 ，f（x）＝tan2x＋2tan x＋2，求f（x）的最值及相应的x值．
解答：因为 ，所以 ≤tan x≤1
f（x）＝tan2x＋2tan x＋2＝（tan x＋1）2＋1，
当tan x＝－1即x＝ 时，f（x）有最小值1，
当tan x＝1即x＝ 时，f（x）有最大值5．
初步应用
例5 画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性．
解答：由y＝|tan x|得，
其图象如图：
由图象可知，函数y＝|tan x|是偶函数，
函数y＝|tan x|的周期T＝π．
函数y＝|tan x|的单调递增区间 （k∈Z），
递减区间为 （k∈Z）．
练习
练习：教科书练习A：1～4．
归纳小结
正切函数y＝tan x周期为π的周期函数．
正切函数y＝tan x是奇函数．
正切函数y＝tan x的零点是kπ（k∈Z）．
正切函数y＝tan x的定义域是｛x|x≠ ＋kπ，k∈Z｝，值域是R．
正切函数y＝tan x在每一个开区间（ ＋kπ， ＋kπ）（k∈Z）上都是单调递增的．
正切函数的性质
归纳小结
正切曲线有无数多条渐近线，渐近线方程为x＝ ＋kπ，（k∈Z），相邻两条渐近线之间都
有一支正切曲线，且单调递增；有无数个对称中心
正切函数的图象
作业布置
作业：教科书练习B： 1～5 ．
正切函数的性质与图象
问题情境
问题1 前面学习了正弦函数与余弦函数，是不是有正切函数呢？
新知探究
正切函数
对于任意一个角x，只要x≠ ＋kπ，k∈Z，就有唯一确定的正切值tan x与之对应，因此y＝tan x是一个函数，称为正切函数．
新知探究
问题2 你能由正切线得出正切函数y＝tan x具有哪些性质吗？
1
O
x
y
A
T
x
就是角x的正切线
新知探究
1
O
x
y
A
T
x
正切函数的性质
（1）定义域与值域
因为角 ＋kπ（k∈Z）的终边与横轴垂直，其正切值不存在，
因此可知y＝tan x的定义域为｛x|x≠ ＋kπ，k∈Z｝．
由图中的正切线可以看出，当x从0开始增大并越来越接近 时，tan x的值从0开始增大，
且它的值可以大于指定的任意正数，也就是说tan x能取到[0，＋∞）内的所有数，
类似的，可以看出tan x能取到（－∞，0]内的所有数，因此y＝tan x的值域为R．
新知探究
正切函数的性质
（2）奇偶性
由诱导公式tan（－x）＝－tan x可知，正切函数y＝tan x是一个奇函数．
【想一想】函数 是奇函数还是偶函数？
是奇函数．
1
O
x
y
A
T
x
新知探究
正切函数的性质
（3）周期性
1
O
x
y
A
T
x
由诱导公式tan（x＋π）＝tan x或图中正切线的变化规律可知，y＝tan x是周期为π的周期函数．
新知探究
1
O
x
y
A
T
x
正切函数的性质
（4）单调性
由y＝tan x是以π为周期的周期函数可知，我们只要知道正切函数在 内的单
调性，就能得到正切函数在所有有定义的区间上的单调性．
由图中的正切线可以看出，正切函数y＝tan x在区间 上单调递增，由此可知，
y＝tan x在每一个开区间 上都是单调递增的．
【想一想】函数y＝－tan x的单调性如何？
在 上单调减．
新知探究
正切函数的性质
（5）零点
不难看出，正切函数y＝tan x的零点为kπ（k∈Z）．
【想一想】正切函数的对称性如何？
1
O
x
y
A
T
x
没有对称轴，有无数个对称中心
新知探究
正切函数y＝tan x周期为π的周期函数．
正切函数y＝tan x是奇函数．
正切函数y＝tan x的零点是kπ（k∈Z）．
正切函数y＝tan x的定义域是｛x|x≠ ＋kπ，k∈Z｝，值域是R．
正切函数y＝tan x在每一个开区间（ ＋kπ， ＋kπ）（k∈Z）上都是单调递增的．
新知探究
问题3 正切函数y＝tan x的图象会是什么样呢？根据正切函数的性质，我们只要研究区间长度为多少的函数图象即可？
x 0
y＝tan x 1
0
描点
连线
作这一段图象关于原点对称的图象
正切函数y＝tan x的图象
取 内的几个点，列表
O
x
y
1
2
3
－3
－2
－1
－2π
－π
π
2π
y＝tan x在 上的函数图象
y＝tan x的周期是π
新知探究
取 内的几个点，列表．
x 0
y＝tan x 1
0
再由正切函数的对称性，可得其在一个周期内的图象，如图：
O
y
1
2
3
－3
－2
－1
x
y＝tan x的函数图象称为正切曲线，是中心对称图形，对称中心
为 k∈Z．
新知探究
问题3 正切函数y＝tan x的图象会是什么样呢？根据正切函数的性质，我们只要研究区间长度为多少的函数图象即可？
初步应用
例1 求函数y＝tan（x－ ）的定义域．
解答：令u＝x－ ，则y＝tan（x－ ）可以转化为y＝tan u，
因为y＝tan u中u≠ ＋kπ，k∈Z，
所以x－ ≠ ＋kπ，k∈Z，
即x≠ ＋kπ，k∈Z，
所以函数y＝tan（x－ ）的定义域为｛x|x≠ ＋kπ，k∈Z｝．
初步应用
例2 求函数y＝tan 3x的周期．
解答：令u＝3x，则y＝tan 3x可以化为y＝tan u．
由y＝tan u的周期为π可知，对任意u，
对应的函数值才重复出现，因为：u＋π＝3x＋π＝3（x＋ ）
当它增加到且至少增加到u＋π时，
这说明对任意x，当它增加到且至少增加到x＋ 时，
y＝tan 3x的函数值才重复出现，这就说明y＝tan 3x的周期为 ．
初步应用
结论：函数y＝Atan（ωx＋φ）的最小正周期为
初步应用
例3 （1）求函数 的单调区间；
（2）比较tan 1，tan 2，tan 3的大小．
解答：（1）化简得，
由 ，k∈Z，
解得 ，k∈Z．
∴函数的单调减区间是 ，k∈Z．
初步应用
例3 （1）求函数 的单调区间；
（2）比较tan 1，tan 2，tan 3的大小．
（2）∵tan 2＝tan（2－π），tan 3＝tan（3－π）．
∴tan（2－π）＜tan（3－π）＜tan 1，
又∵ ＜2＜π，∴ ＜2－π＜0．
∵ ＜3＜π，∴ ＜3－π＜0，
显然 ＜2－π＜3－π＜1＜ ，且y＝tan x在 内是增函数，
因此tan 2＜tan 3＜tan 1．
初步应用
例4 已知 ，f（x）＝tan2x＋2tan x＋2，求f（x）的最值及相应的x值．
解答：因为 ，所以 ≤tan x≤1
f（x）＝tan2x＋2tan x＋2＝（tan x＋1）2＋1，
当tan x＝－1即x＝ 时，f（x）有最小值1，
当tan x＝1即x＝ 时，f（x）有最大值5．
初步应用
例5 画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性．
解答：由y＝|tan x|得，
其图象如图：
由图象可知，函数y＝|tan x|是偶函数，
函数y＝|tan x|的周期T＝π．
函数y＝|tan x|的单调递增区间 （k∈Z），
递减区间为 （k∈Z）．
练习
练习：教科书练习A：1～4．
归纳小结
正切函数y＝tan x周期为π的周期函数．
正切函数y＝tan x是奇函数．
正切函数y＝tan x的零点是kπ（k∈Z）．
正切函数y＝tan x的定义域是｛x|x≠ ＋kπ，k∈Z｝，值域是R．
正切函数y＝tan x在每一个开区间（ ＋kπ， ＋kπ）（k∈Z）上都是单调递增的．
正切函数的性质
归纳小结
正切曲线有无数多条渐近线，渐近线方程为x＝ ＋kπ，（k∈Z），相邻两条渐近线之间都
有一支正切曲线，且单调递增；有无数个对称中心
正切函数的图象
作业布置
作业：教科书练习B： 1～5 ．