9.1.2 余弦定理 课件（共23张PPT）-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修 第四册

(共23张PPT)
6.4 平面向量的应用
6.4.3 余弦定理、正弦定理
1.余弦定理
第六章 平面向量及其应用
一
二
三
学习目标
掌握余弦定理的证明方法，掌握余弦定理公式
能从余弦定理公式推导出余弦定理的推论
能够利用余弦定理及其推论解决相应的问题
学习目标
贵广高铁的路线规划要经过一座小山丘，就需要挖隧道，从而涉及到一个问题，就是要测量出山脚的长度.而两山脚之间的距离是没有办法直接测量的，那要怎样才能知道山脚的长度呢？
A
B
C
500m
120°
实际问题转化为数学问题
在△ABC中，已知AC=500m，BC=300m，C=120°，求AB.
300m
b
a
c=？
从特殊到一般：已知三角形的两边及其夹角,求第三边.即：已知a、b及C,求c.
创设情境
研读课本P42-P44,思考并回答以下问题
新知探究
1、教材中利用什么方法推导余弦定理,你能用其他方法证明余弦定理吗？
2、余弦定理的内容是什么？
3、已知三角形两边及其夹角如何解三角形？
4、已知三角形三边如何解三角形？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
新知探究
b
c=？
a
在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知a、b和C，怎么求c？
思考:两边及夹角如何与向量联系起来？
夹角
模长
数量积
设 ，
那么
∴
①转化：
②运算：
③翻译：
同理可得
新知探究
在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知a、b和C，怎么求c？
概念生成
余弦定理的应用：已知三角形两边及其夹角，求第三边
余弦定理
余弦定理的文字描述：三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 即
符号语言：
a
c
你能用其他方法证明余弦定理吗？
新知探究
在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知a、b和C，怎么求c？
法2：解析法（建系法）
新知探究
问: 余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系.它还有别的用途吗？若已知a,b,c,可以求什么？
已知三条边求任意角
（SSS）
已知两边夹一角求第三边
（SAS）
注：每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一.
（方程思想）
推论
解：由余弦定理，得
c = a +b －2abcosC
=300 +500 －2×300×500×cos120°
=490000
所以 c=700(m)
情境：在△ABC中，已知a=300m，b=500m，C=120°，求c．
A
B
C
500m
120°
300m
b
a
c=？
从特殊到一般：已知三角形的两边及其夹角,求第三边.即：已知a、b及C,求c. (SAS型)
应用知识
一般地，三角形的三个角A, B, C和它们的对边a, b, c叫做三角形的元素。
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形(solving.triangles),
引入新知
典例解析
类型一：已知两边及其夹角（SAS）
例1在△中，已知，解这个三角形.
典例解析
类型一：已知两边及其夹角（SAS）
例1在△中，已知，解这个三角形.
解：直接应用余弦定理，
°
典例解析
例2 在△ABC中，a=7，b=8，锐角C满足 求cosB .
解：
类型一：已知两边及其夹角（SAS）
典例解析
类型二：已知三条边求任意角（SSS）
例3 在△ABC中，a= 5 ，b=2，c= ，求角C.
解：由余弦定理得
b= 2
c=
a= 5
巩固练习
变式2 在 中，内角 , , 所对的边分别为 , , ,且
，则此三角形中的最大角的大小为 .
变式1
解：由余弦定理，得
巩固练习
解：
巩固练习
变式2 在 中，内角 , , 所对的边分别为 , , ,且
，则此三角形中的最大角的大小为 .
理解新知
探究1：勾股定理与余弦定理有什么关系？
，
探究2：当角C为锐角或钝角时，这三者的关系是什么？
是否可以利用余弦定理判定三角形形状？
推论：
设c是最长的边，则
△ABC是钝角三角形
△ABC是锐角三角形
△ABC是直角三角形
理解新知
A
a
B
C
b
c
A
c
b
A
b
c
典例解析
例4：在△ABC中，a=7，b=5，c=3，判断△ABC的形状为 ( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定
C
()
巩固练习
1.在△中，若,试判断该三角形的形状。
由acos B＋acos C＝b＋c并结合余弦定理，
整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.
因为b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2，
故△ABC是直角三角形.
课堂小结
这节课你的收获是什么？请填一填.
余弦定理 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于 减去这两边与它们的 的两倍.
公式表达 a2＝ ，b2＝ ，
c2＝ .
应用 判断三角形的形状：c2＝a2＋b2 C为 ；c2>a2＋b2 C为 ；c2解三角形：（1）已知三条边，求 ；
（2）已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角
其他两边的平方的和
夹角的余弦的积
直角
钝角
锐角
三角