2023-2024学年上海市七宝中学高二年级下学期
3月月考数学试卷
2024.3
一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1. 已知数列是等差数列，若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】利用等差数列的通项公式及前项和公式即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，
，解得，
.
故答案为：.
2. 若直线方程为，则该直线的倾斜角的范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据直线的方程可得到直线的斜率，从而可得到斜率的取值范围，结合正切函数的性质求得答案.
【详解】由题意可得：直线的斜率 ，
设直线的倾斜角为 ，
则 ，
当时，；当时，；
故 ，
故答案为：
3. 过点，且在轴上的截距是3的直线的方程是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用斜率公式及直线的点斜式即可求解.
【详解】由题意知直线经过两点，则
直线的斜率为,
故直线的方程是,即.
故答案为：.
4. 双曲线的两条渐近线夹角为________．
【答案】
【解析】
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，求出渐近线的斜率，由夹角公式即可求出渐近线的夹角．
【详解】因为双曲线，所以渐近线方程为或，
设两条渐近线的夹角为锐角，
则，所以夹角为．
故答案为
【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求法以及夹角公式，属于基础题．
5. 圆心极坐标为、半径为的圆的极坐标方程是______.
【答案】，
【解析】
【分析】先求出圆的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.
【详解】点化为直角坐标为，
所以圆的直角坐标方程为，即，
化为极坐标方程为，
即，
故答案为：，
6. 将参数方程（为参数）化为普通方程是__________．
【答案】
【解析】
【详解】分析:第一式子乘以2与第二式相加消去参数即得普通方程，根据参数的范围可得
详解：由题可得,化简可得
再由可得
故答案．
点睛：由曲线的参数方程通过消去参数得出普通方程时，要注意由得出自变量x 的取值范围，本题如果不考虑变量的取值范围，所得曲线为直线，实质上只是一条射线，这是求曲线方程的易错点之一．
7. 如图，已知空间四边形，其对角线为，，，分别为，的中点，点在线段上，且，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
以为一组基向量，首先，再将逐步地用基向量表示，最后合并整理得出结果.
【详解】由，分别为，的中点，点在线段上，
且，
所以
，
则，
故答案为：.
8. 已知向量，，且，则点的轨迹方程是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用向量的模公式及双曲线的定义，结合双曲线焦点在轴上的方程即可求解.
【详解】由题意，，，
所以，，
又因为，
所以，
所以与定点，的距离之差为4，等于两定点间的距离，符合双曲线的定义，是双曲线的一支
则.
则点的轨迹方程是
故答案为：.
9. 四面体中，，，两两互相垂直，且，是的中点，异面直线与所成的角的大小为，求线段的长______.
【答案】4
【解析】
【分析】利用三角形的中位线定理及异面直线所成角的定义，结合勾股定理及余弦定理的推论即可求解.
【详解】取的中点，连、，如图所示
是的中点，
故为异面直线与所成角，
设，则,
因为，异面直线与所成的角的大小为，
所以由余弦定理,得,解得，
所以线段的长为4．
故答案为：.
10. 甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知三人各自破译出密码的概率分别是、、，且他们是否破译出密码互不影响，则恰有两人破译出密码的概率为______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用独立事件的概率乘法与互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率.
【详解】由题意可知，恰有两人破译出密码的概率为.
故答案为：.
11. 已知数列的前项和为，对任意，且，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用递推关系式和一元二次不等式的解法求出结果．
【详解】解：数列的前项和为，对任意，，
当时，，解得，
当时，，整理得，①
当时，，整理得，②
由①②得：，
所以，整理得，
解得，
所以：实数的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，一元二次不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．
12. 已知椭圆的左焦点为，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若为坐标原点），则椭圆的离心率为______.
【答案】##
【解析】
【分析】结合题意求出点的坐标，从而得，再结合点差法建立的关系式，从而得解.
【详解】因为，，过作轴交于，
则，，
所以的横坐标为，即的横坐标为，且，
即，
设，，，，则的中点，，
即，，
所以，又，所以，
将，的坐标代入椭圆的方程可得，
作差整理可得，
即，
所以则.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：利用点差法是解决中点弦问题的常用方法.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 已知M点的极坐标为，则M点关于直线的对称点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】M点极坐标为，即为 M点关于直线的对称点坐标为,选A.
点睛:关于对称点为,关于对称点为.
14. 如果命题对成立，那么它对也成立.设对成立，则下列结论正确的是（ ）
A. 对所有的正整数成立； B. 对所有的正奇数成立；
C. 对所有的正偶数成立； D. 对所有大于1的正整数成立.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得，当命题成立，可推出均成立．
【详解】由于若命题对成立，则它对也成立． 又已知命题成立，
可推出 均成立，
即对所有正偶数都成立
故选：C．
15. 爱美之心，人皆有之.健身减肥已成为很多肥胖者业余选择的项目.为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了40名肥胖者，健身之前他们的体重(单位：)情况如柱状图1所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如柱状图2所示.对比健身前后，关于这40名肥胖者，下面结论不正确的是（ ）
A. 他们健身后，体重在区间内的人数增加了4个
B. 他们健身后，体重在区间内的人数没有改变
C. 因为体重在内所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响
D. 他们健身后，原来体重在区间内的肥胖者体重都有减少
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的柱状图分别求得健身前后各个区间上的人数，进行比较，即可求解.
【详解】根据给定的健身前后的体重柱状图，可得健身前体重在区间有人，健身后有，所以体重在区间内的人数增加了4个，所以A正确；
由健身前体重在的人数为人，健身后有，所以健身前后体重在的人数不变，所以B正确；
由健身前后体重再和的人数有明显变化，所以健身对体重有明显效果，所以C不正确；
由健身前体重在的人数为人，健身后为0人，所以原来体重在区间内的肥胖者体重都有减少，所以D正确.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了统计图表的应用，其中解答中图表中的数据，分别计算求得健身前后各个区间的人数，进行比较是解答的关键，着重考查图表提取信息的能力，以及数据处理能力.
16. 已知点是双曲线右支上一点，、分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若成立，则的值
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设的内切圆半径为，利用三角形的面积公式结合双曲线的定义可求得的值.
【详解】设的内切圆半径为，由双曲线的定义得，，
，，，
因为，即，可得.
故选：B
三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17. 根据下列条件，分别求直线的方程
（1）直线经过点，且与直线的夹角等于
（2）经过与的交点，且点到直线的距离为3
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）先根据直线夹角公式求出直线的斜率，再写出直线的点斜式方程，化简即得所求直线的方程.
（2）先求出两直线的交点，再结合点到直线的距离公式分类求解方程.
【小问1详解】
设所求直线的斜率为，又直线的斜率为，
由题意得，解得，，
直线经过点，
直线的方程为或，
即或.
【小问2详解】
联立，解得，可得两条直线的交点为．
由点到直线的距离为3，直线可为．
直线的斜率存在时，设方程为：，即，
则，解得，
直线的方程为，即，
综上可得直线的方程为：或．
18. 已知方程
（1）试证：不论如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线
（2）为何值时，该抛物线在直线上截得的弦最长？并求出此弦长.
【答案】（1）证明见解析；
（2），12.
【解析】
【分析】（1）根据已知条件及抛物线方程的特点，利用同角三角函数函数的平方关系及椭圆的方程即可求解；
（2）将代入，求出，进而，结合三角函数的性质即可求解.
【小问1详解】
原方程可化为，它表示以为顶点，开口向上的抛物线，
设顶点坐标为，则，消去得，即顶点的轨迹是椭圆，
则不论如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线.
【小问2详解】
当时，，故，则，
所以当，即时，抛物线在直线上截得的弦最长，最长为12.
19. 已知过点动直线与抛物线相交于、两点．
（1）当直线的斜率是时，．求抛物线的方程；
（2）对（1）中的抛物线，当直线的斜率变化时，设线段的中垂线在轴上的截距为，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用直线的点斜式方程求出直线，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理及向量关系转化为坐标关系即可求解；
（2）根据（1）的结论，利用直线的点斜式方程求出直线，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理及判别式，结合中点坐标公式及直线的截距的定义即可求解.
【小问1详解】
如图所示
设，
当直线的斜率是时，的方程为，即，
由，消化简整理，得，
所以，①
又．，②
由①②和得，，，
则抛物线的方程为；
【小问2详解】
设，的中点坐标为，
由，消去化简整理，得，
所以，
所以，，
所以线段的中垂线方程为，
所以线段的中垂线在轴上的截距为，
由得或，可得，
所以的取值范围为．
20. 已知椭圆（），点为椭圆短轴的上端点，为椭圆上异于点的任一点，若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知.
（1）若，判断椭圆是否为“圆椭圆”；
（2）若椭圆是“圆椭圆”，求的取值范围；
（3）若椭圆是“圆椭圆”，且取最大值，为关于原点的对称点，也异于点，直线、分别与轴交于、两点，试问以线段为直径的圆是否过定点？证明你的结论.
【答案】（1）是；（2）；（3）是，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）直接判断即可，
（2）由（1）的方法判断，可得y＝﹣2时，函数值达到最大，分别讨论二次项系数的正负，是否满足条件得出a的取值范围；
（3）设参数方程满足以MN为直径的圆过原点，使数量积为零得出定点（0，2）．
【详解】（1）由题意得椭圆方程：1，所以A（0，2），
设P（x，y）则|PA|2＝x2++（y﹣2）2＝5 （1）+（y﹣2）2y2﹣4y+9，y∈[﹣2，2]，
二次函数开口向下，对称轴y＝﹣8，y∈[﹣2，2]上函数单调递减，
所以y＝﹣2时，函数值最大，此时P为椭圆的短轴的另一个端点，
∴椭圆是“圆椭圆”；
（2）由（1）的方法：椭圆方程：1，A（0，2）设P（x，y），则|PA|2＝x2+（y﹣2）2＝a2 （1）+（y﹣2）2＝（1）y2﹣4y+4+a2，y∈[﹣2，2]，由题意得，
当且仅当y＝﹣2时，函数值达到最大，
讨论：①当开口向上时，满足： ﹣2＜a＜2（与矛盾，舍）；
②当开口向下时，满足 2＜a≤2，
综上a范围：（2，2]．
（3）a＝2，椭圆方程：1，由题意：设P（2cosθ，sinθ），θ∈[0，2π]，且，则Q（﹣2cosθ，﹣sinθ），则直线AP：yx+2 M（，0）
则直线AQ：y2 N（，0），
MN为直径的圆过定点C，由对称性知C在y轴上，∴设C（0，n）则，且0，
∴,（n），∴,
所以得定点（0，2）．
【点睛】考查新定义圆椭圆的定义，以及圆过定点问题，涉及到二次函数最值问题的考查，考查了分类讨论及转化的数学思想，属于中档题．
21. 设数列的前项和为.若，则称是“紧密数列”.
（1）已知数列是“紧密数列”，其前5项依次为，求的取值范围;
（2）若数列的前项和为，判断是否是“紧密数列”，并说明理由;
（3）设数列是公比为的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）数列为“紧密”数列；理由见详解.
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到，且，求解，即可得出结果；
（2）根据，求出，计算的范围，即可得出结论；
（3）先讨论，易得满足题意；再讨论，得到，，根据为“紧密”数列，得到或，分别根据这两种情况，计算的范围，即可得出结果.
【小问1详解】
若数列为“紧密”数列，
则，且，
解得：，
即的取值范围为.
【小问2详解】
数列为“紧密”数列；理由如下：
数列的前项和，
当时，；
当时，，
又，即满足，
因此，
所以对任意，，
所以，
因此数列为“紧密”数列；
【小问3详解】
因为数列是公比为的等比数列，前项和为，
当时，有，，
所以，，满足题意；
当时，，，
因为为“紧密”数列，
所以，
即或，
当时，
，
，
所以，满足为“紧密”数列；
当时，，不满足为“紧密”数列；
综上，实数的取值范围是.2023-2024学年上海市七宝中学高二年级下学期
3月月考数学试卷
2024.3
一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1. 已知数列是等差数列，若，则______.
2. 若直线方程为，则该直线的倾斜角的范围为______．
3. 过点，且在轴上的截距是3的直线的方程是______.
4. 双曲线的两条渐近线夹角为________．
5. 圆心极坐标为、半径为的圆的极坐标方程是______.
6. 将参数方程（为参数）化为普通方程是__________．
7. 如图，已知空间四边形，其对角线为，，，分别为，的中点，点在线段上，且，若，则______．
8. 已知向量，，且，则点的轨迹方程是______.
9. 四面体中，，，两两互相垂直，且，是中点，异面直线与所成的角的大小为，求线段的长______.
10. 甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知三人各自破译出密码的概率分别是、、，且他们是否破译出密码互不影响，则恰有两人破译出密码的概率为______．
11. 已知数列前项和为，对任意，且，则实数的取值范围是________．
12. 已知椭圆的左焦点为，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若为坐标原点），则椭圆的离心率为______.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 已知M点的极坐标为，则M点关于直线的对称点坐标为（ ）
A. B. C. D.
14. 如果命题对成立，那么它对也成立.设对成立，则下列结论正确的是（ ）
A. 对所有的正整数成立； B. 对所有的正奇数成立；
C. 对所有正偶数成立； D. 对所有大于1的正整数成立.
15. 爱美之心，人皆有之.健身减肥已成为很多肥胖者业余选择的项目.为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了40名肥胖者，健身之前他们的体重(单位：)情况如柱状图1所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如柱状图2所示.对比健身前后，关于这40名肥胖者，下面结论不正确的是（ ）
A. 他们健身后，体重在区间内的人数增加了4个
B. 他们健身后，体重在区间内的人数没有改变
C. 因为体重在内所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响
D. 他们健身后，原来体重在区间内的肥胖者体重都有减少
16. 已知点是双曲线右支上一点，、分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若成立，则的值
A. B. C. D.
三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17. 根据下列条件，分别求直线的方程
（1）直线经过点，且与直线的夹角等于
（2）经过与的交点，且点到直线的距离为3
18. 已知方程
（1）试证：不论如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线
（2）为何值时，该抛物线在直线上截得弦最长？并求出此弦长.
19. 已知过点的动直线与抛物线相交于、两点．
（1）当直线的斜率是时，．求抛物线的方程；
（2）对（1）中的抛物线，当直线的斜率变化时，设线段的中垂线在轴上的截距为，求的取值范围．
20. 已知椭圆（），点为椭圆短轴的上端点，为椭圆上异于点的任一点，若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知.
（1）若，判断椭圆是否为“圆椭圆”；
（2）若椭圆是“圆椭圆”，求的取值范围；
（3）若椭圆是“圆椭圆”，且取最大值，为关于原点的对称点，也异于点，直线、分别与轴交于、两点，试问以线段为直径的圆是否过定点？证明你的结论.
21. 设数列的前项和为.若，则称是“紧密数列”.
（1）已知数列是“紧密数列”，其前5项依次为，求取值范围;
（2）若数列的前项和为，判断是否是“紧密数列”，并说明理由;
（3）设数列是公比为的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围.
