高一年级第二学期开学考试数学
一、单选题
1. 已知集合，则集合真子集的个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】
解出集合，再由含有个元素的集合，其真子集的个数为个可得答案.
【详解】解：由，得
所以集合的真子集个数为个.
故选：C
【点睛】此题考查利用集合子集个数判断集合元素个数的应用，含有个元素的集合，其真子集的个数为个，属于基础题.
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 向量的模是一个正实数
B. 若与不共线，则与都是非零向量
C. 共线的单位向量必相等
D. 两个相等向量的起点、方向、长度必须都相同
【答案】B
【解析】
【分析】利用平面向量的相关概念逐项分析判断即得.
【详解】向量的模是一个非负实数，如零向量的模是0，A错误；
零向量与任意向量共线，若与不共线，则与都是非零向量， B正确；
共线的单位向量方向可能相同，也可能相反，C错误；
两个向量相等的条件是长度相等、方向相同，与起点无关，D错误．
故选：B
3. 设是单位向量，，，，则四边形是（ ）
A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形
【答案】B
【解析】
【分析】根据共线向量及菱形知识可得解.
【详解】因为，，
所以，即，
所以，
所以四边形是平行四边形，
因为，即，
所以四边形是菱形.
故选：B
4. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由可求得，利用同角的三角函数关系将原式化简，即可求得答案.
【详解】因为，故，则，
所以
，
故选：A
5. 已知向量和的夹角为，，，则等于（ ）
A. 15 B. 12 C. 6 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量数量积运算求解即可.
【详解】∵向量和的夹角为，，，
∴.
故选：B.
6. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性、结合余弦函数的正负性进行判断即可.
【详解】设，因为，
所以该函数是偶函数，其图象关于y轴对称，显然排除AD；
当时，，所以，排除C，
故选：B
7. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图像得到，，计算排除得到答案.
【详解】根据图像知
选项：，排除；
D选项： ，排除；
根据图像知
选项：，排除；
故选：
【点睛】本题考查了三角函数图像的识别，计算特殊值可以快速排除选项，是解题的关键.
8. 如图，已知直线，为之间一定点，并且点到的距离为2，到的距离为1.为直线上一动点，作，且使与直线交于点，则△面积的最小值为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立直角坐标系．直线的斜率存在，设方程为：，，直线的方程为：，可得的面积，再利用基本不等式的性质即可得出．或者利用锐角三角函数，结合二倍角公式以及三角函数的性质及可求解.
【详解】解法一：不妨将图形顺时针旋转，然后以点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
直线的斜率存在，设方程为：，．
则直线的方程为：，
，．
的面积，
当且仅当时取等号．
的面积最小值为2．
故选：C．
解法二：
设角则，故
所以的面积
由于，所以，故当时，面积取最小值2，
故选：C
二、多选题
9. 已知非零向量、，下列命题正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】利用向量、共线向量、相等向量等概念逐项判断.
【详解】对于A，向量是具有方向的量，
若，则向量与的大小一样，方向不确定，不一定共线，故A错误；
对于B，若，则一定有，故B正确；
对于C，若，则只能说明非零向量、共线，
当、大小不同或方向相反时，都有，故C错误；
对于D，若，则、共线且方向相同，所以，故D正确．
故选：BD．
10. (多选)要得到y＝cos 2x的图象C1，只要将y＝sin的图象C2怎样变化得到（ ）
A. 沿x轴方向向左平移个单位长度
B. 沿x轴方向向右平移个单位长度
C. 先作C2关于x轴对称的图象C3，再将图象C3沿x轴方向向右平移个单位长度
D. 先作C2关于x轴对称的图象C3，再将图象C3沿x轴方向向左平移个单位长度
【答案】ABC
【解析】
【分析】由原三角函数解析式，结合各选项的图象平移方式，写出平移后的三角函数解析式，判断是否为即可.
【详解】A，将的图象C2沿x轴方向向左平移个单位长度，可得的图象C1，正确；
B，将的图象C2沿x轴方向向右平移个单位长度，可得，正确；
C，先作C2关于x轴对称，得到的图象C3，再将图象C3沿x轴方向向右平移个单位长度，得到的图象C1，正确；
D，先作C2关于x轴对称，得到的图象C3，再将图象C3沿x轴方向向左平移个单位长度，得到的图象，不正确．
故选：ABC.
11. 已知函数的初相为，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图象关于直线对称
B. 函数的一个单调递减区间为
C. 若把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则为偶函数
D. 若函数在区间上的值域为
【答案】AB
【解析】
【分析】根据已知条件求出函数的解析式，然后计算的值即可判断A项；利用整体思想及正弦函数的单调性求函数的单调递减区间即可判断B项；由三角函数图象的平移变换法求出函数的解析式即可判断C项；由x范围求得的范围，进而求得在区间上的值域即可判断D项．
【详解】由题意知，所以．
对于选项A，，所以的图象关于直线对称，故A项正确；
对于选项B，由，，得，，
则当时，函数的一个单调递减区间为，故B项正确；
对于选项C，的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，
所以为奇函数，故C项错误；
对于选项D，因为，所以，
所以，
所以，
即：在区间上的值域为，故D项错误．
故选：AB.
12. 定义在R上的函数满足，当时，，则满足（ ）
A. B. 是偶函数
C. 在上有最大值 D. 的解集为
【答案】AD
【解析】
【分析】赋值法可以求出，，判断出AB选项；C利用赋值法和题干中的条件可以得出的单调性，从而得到在上有最大值；D选项利用C选项中判断的函数的单调性进行解不等式，得到答案.
【详解】定义在R上的函数满足，令得：，解得：，A正确；
令得：，因为，所以，
故是奇函数，B错误；
任取，，且，则令，，代入得：，
因为当时，，而，所以，
故，即，从而在R上单调递减，
在上有最大值为，C错误；
由A选项得到，而在R上单调递减，故，解得，解集为，D正确.
故选：AD
三、填空题
13. 已知向量，，若，，与垂直，则与的夹角的余弦值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量垂直列方程，求得，进而求得与的夹角的余弦值.
【详解】∵与垂直，∴，∴，
∴与的夹角的余弦值为.
故答案为：
14. 若，则_________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用二倍角的正切公式及两角差的正切公式求解即可.
【详解】因为，
所以，
所以.
故答案为：.
15. 已知单位向量、满足，则______
【答案】
【解析】
【分析】利用平面向量数量积的运算性质可得出的值，再利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】因为、为单位向量，且，
所以，所以，
因此，.
故答案：.
16. 若对任意，有，则函数在上的最大值与最小值的和_________.
【答案】6
【解析】
【分析】用赋值法确定为奇函数，然后构造一个奇函数求的最大值和最小值，从而可得结论．
【详解】在中，令得，即，
令得，即，所以是奇函数，
令，则，是奇函数，所以在对称区间上，
当时，，，
所以．
故答案为：6．
【点睛】思路点睛：本题考查函数的奇偶性及其应用，解题关键是构造奇函数．所用结论是：是（或，）上的奇函数，则．
四、解答题
17. 已知，且．
（1）证明：；
（2）求的最小值．
【答案】（1）证明过程见解析
（2）3
【解析】
【分析】（1）由二次函数性质即可得证；
（2）由基本不等式结合乘“1”法即可求解.
【小问1详解】
由题意得，等号成立当且仅当.
【小问2详解】
由题意，且，
所以，
等号成立当且仅当即当且仅当，
所以的最小值为3.
18. 在棱长为2的正四面体中，.
（1）设用，，表示；
（2）若求.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算法则，结合题意，求得，再由，即可求解；
（2）由，得到，结合向量的数量积列出方程，即可求解.
【小问1详解】
解：因为，所以，
则，
所以.
【小问2详解】
解：因为，所以，
在棱长为2的正四面体中，，
所以，
解得.
19. 已知函数
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式化简得到，再代入求值即可；
（2）求出，再化为齐次式，化弦为切，代入求值.
【小问1详解】
，
【小问2详解】
由（1）知，，故，
原式
．
20. 已知向量 和 ，则 ,, 求：
（1） 的值；
（2） 的值；
（3） 与 的夹角θ的余弦值．
【答案】（1）；
（2）；
（3） ．
【解析】
【分析】（1）（2）根据平面向量的数量积的定义即可求解；
（3）根据平面向量夹角公式即可求解．
【小问1详解】
∵ ,, .
∴ ；
【小问2详解】
∵,
∴ ；
【小问3详解】
∵,
∴
21. 已知函数，．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
(1) 函数解析式去括号后利用二倍角的正弦、余弦公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出的值，代入周期公式即可求出最小正周期;(2)根据的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出的值域，进而求出 的最小值与最大值..
【详解】（1），
因此，函数最小正周期．
（2） 因为 所以,
，即，
所以当，即时，，
当，即时，.
所以时，，时，.
【点睛】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键,是中档题.
22. 已知函数.
（1）判断并证明的奇偶性；
（2）判断单调性，并用定义法证明；
（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）偶函数，证明见解析；
（2）在上单调递增，上单调递减，证明见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据奇偶性的定义判断和证明即可；
（2）根据单调性的定义判断和证明即可；
（3）将对任意的，总存在，使得成立转化为，然后利用单调性求最值即可.
【小问1详解】
为偶函数，证明如下，
定义域为，关于原点对称，
，所以为偶函数.
【小问2详解】
，在上单调递增，上单调递减，证明如下，
令，则，
当时，，，则，
当时，，，则，
所以在上单调递增，上单调递减.
【小问3详解】
因为对任意的，，所以，
又存在，，所以，
因为在上单调递增，所以，
当时，函数单调递增，所以，，解得；
当时，，成立；
当时，函数单调递减，所以，，解得；
综上可得，实数的取值范围为.高一年级第二学期开学考试数学
一、单选题
1. 已知集合，则集合真子集的个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 向量的模是一个正实数
B. 若与不共线，则与都是非零向量
C. 共线的单位向量必相等
D. 两个相等向量的起点、方向、长度必须都相同
3. 设是单位向量，，，，则四边形是（ ）
A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形
4 若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知向量和的夹角为，，，则等于（ ）
A. 15 B. 12 C. 6 D. 3
6. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C D.
7. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式为（ ）
A B.
C. D.
8. 如图，已知直线，为之间一定点，并且点到的距离为2，到的距离为1.为直线上一动点，作，且使与直线交于点，则△面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 已知非零向量、，下列命题正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10. (多选)要得到y＝cos 2x的图象C1，只要将y＝sin的图象C2怎样变化得到（ ）
A. 沿x轴方向向左平移个单位长度
B. 沿x轴方向向右平移个单位长度
C. 先作C2关于x轴对称的图象C3，再将图象C3沿x轴方向向右平移个单位长度
D. 先作C2关于x轴对称的图象C3，再将图象C3沿x轴方向向左平移个单位长度
11. 已知函数的初相为，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图象关于直线对称
B. 函数的一个单调递减区间为
C. 若把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则为偶函数
D. 若函数在区间上的值域为
12. 定义在R上的函数满足，当时，，则满足（ ）
A. B. 是偶函数
C. 在上有最大值 D. 的解集为
三、填空题
13. 已知向量，，若，，与垂直，则与的夹角的余弦值为______.
14. 若，则_________．
15. 已知单位向量、满足，则______
16. 若对任意，有，则函数在上的最大值与最小值的和_________.
四、解答题
17. 已知，且．
（1）证明：；
（2）求的最小值．
18. 在棱长为2的正四面体中，.
（1）设用，，表示；
（2）若求.
19. 已知函数
（1）求的值；
（2）若，求的值．
20. 已知向量 和 ，则 , 求：
（1） 的值；
（2） 的值；
（3） 与 的夹角θ的余弦值．
21. 已知函数，．
（1）求函数最小正周期；
（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的的值．
22. 已知函数.
（1）判断并证明的奇偶性；
（2）判断的单调性，并用定义法证明；
（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
