2024年浙江省中考数学模拟练习试卷（含解析）

2024年浙江省中考数学模拟练习试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
截至2022年3月24日，携带“祝融号”火星车的“天问一号”环绕器在轨运行609天，
距离地球277000000千米；数据277000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知点P（m﹣3，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
7 .从甲、乙、丙三人中任选两人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是（ ）
A． B． C． D．
8． 如图，为的直径，C、D为上的点，，若，则（ ）

A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过A（4，0）、B（0，4），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（ ）
A． B．2 ﹣1 C．2 D．3
10．如图，矩形的内部有5个全等的小正方形，小正方形的顶点分别落在边上，若，则小正方形的边长为（ ）

A． B．5 C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．.因式分解： ．
12．如图，用一个半径为10cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了36°，
假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了__________

若购买荔枝所付金额y(元)与购买数量x(千克)之间的函数图像如图所示，
则购买3千克荔枝需要付 元．
如图，是的切线，交于点，，连接，，
若，则的度数为 ．
如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且，
连接EF交边AD于点G．过点A作，垂足为点M，交边CD于点N．
若，，则线段AN的长为
16．如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，
点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，
则这个反比例函数的表达式是__________．
三、解答题（第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．（1）．
（2）．
如图，在的网格中，线段的端点都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．
请用无刻度的直尺画出符合要求的图形，并保留画图痕迹（不要求写画法）．

(1)在图1中画出一个以为边的，使顶点在格点上．
(2)在图2中的线段上找出一点，使．
19．“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？
（2）将两幅不完整的图补充完整；
（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数；
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．
图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，，可分别绕点A，B转动，
测得，，，．
(1)在图2中，过点B作，垂足为E．填空：______°；______cm（结果保留根号）；
(2)在（1）的条件下，求点C到的距离．
（结果保留一位小数，参考数据：，，，）
已知：如图，在平行四边形中， 的平分线交于点E，点F是的中点，
连接并延长交于点G，连接．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
22．第19届杭州亚运会，吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，
如图，某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，
拟购买30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲，乙两种规格，
其中乙规格比甲规格每套贵20元．
(1)若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格；
(2)在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？
23.如图1，公园草坪的地面O处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图2是其示意图．开始喷水后，若喷水口在O处，水线落地点为A，若喷水口上升到P处，水线落地点为B，记长度为h．
(1)已知．若喷水口在P处，，．
①求水线最高点与点B之间的水平距离；
②求水线的最大高度；
③身高的小红要从水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与O的水平距离应满足什么条件？请说明理由．
(2)在喷水口上升过程中，当时，用含h的式子表示水线的最大高度．
24.如图1，已知为的直径，弦于点，是上一点，连接，，．
(1)求证：；
(2)如图2，延长相交于点，连接．
①已知，求的长；
②记与的交点为，若，当时，求的值．
2024年浙江省中考数学模拟练习试卷（解析版）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答．
【详解】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆，
故选：D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据整式的减法运算，同底数幂的乘法、除法运算，幂的乘方进行运算求解，然后进行判断即可．
【详解】解：A中，错误，故不符合要求；
B中，错误，故不符合要求；
C中，正确，故符合要求；
D中，错误，故不符合要求；
故选C．
截至2022年3月24日，携带“祝融号”火星车的“天问一号”环绕器在轨运行609天，
距离地球277000000千米；数据277000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，
当原数绝对值≥10时，n是正整数数．
【详解】解：由题意可知：
．
故选：D．
4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，中心对称，是针对两个图形而言，是指两个图形的(位置)关系；如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．由此即可求解．
【详解】解：A选项，不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B选项，不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C选项，是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D选项，是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
5．已知点P（m﹣3，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先根据题意列出不等式组，求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即可．
【详解】解：∵点P（m﹣3，m﹣1）在第二象限，
∴，
解得：1＜m＜3，
故选D．
6．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意首先应通分，然后进行分式的加减运算进而上下约分即可得出答案．
【详解】解：
故选：A．
7 .从甲、乙、丙三人中任选两人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画出树状图，共有6种等可能的结果，其中甲被选中的结果有4种，由概率公式即可得出结果．
【详解】解：根据题意画图如下：
共有6种等可能的结果数，其中甲被选中的结果有4种，
则甲被选中的概率为．
故选：C．
8． 如图，为的直径，C、D为上的点，，若，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接 、，如图，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出 ，再根据圆心角、弧、弦的关系得到 ，然后根据圆周角定理得到 的度数；
【详解】连接 、，如图，

故选：D
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过A（4，0）、B（0，4），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（ ）
A． B．2 ﹣1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】连接OP、OQ，根据勾股定理知 当PO⊥AB时，线段PQ最短，即线段PQ最小.
【详解】解：如图，连接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
由勾股定理知，
∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；
又∵A（4，0）、B（0，4），
∴OA＝OB＝4，
∴，
∴，
∵OQ＝2，
∴．
故选C．
10．如图，矩形的内部有5个全等的小正方形，小正方形的顶点分别落在边上，若，则小正方形的边长为（ ）

A． B．5 C． D．
【答案】B
【分析】由矩形的性质可得，求出，证得，得出，过点K作于K，可证明，利用相似三角形对应边成比例求出，再求出，然后利用勾股定理列式求出EG，然后求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵5个小正方形全等，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
过点K作于K，如下图所示，

则四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴小正方形的边长为，
故选：B．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．.因式分解： ．
【答案】
【分析】先提取公因式3，再利用平方差公式分解可得结果
【详解】原式=
=．
故答案为：
12．如图，用一个半径为10cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了36°，
假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了__________

【答案】2πcm
【分析】根据定滑轮的性质得到重物上升的高度即为滑轮转过的弧长，利用弧长公式计算即可．
【详解】解：根据题意得：滑轮转过的弧长
则重物上升了2πcm，
故答案为：2πcm
若购买荔枝所付金额y(元)与购买数量x(千克)之间的函数图像如图所示，
则购买3千克荔枝需要付 元．
【答案】
【分析】根据图像可得购买3kg荔枝需要付的钱即为当x=3时，y所对应的值，即求出AB段的函数解析式，将x=3代入即可．
【详解】解：设直线的解析式为：，
由图像可知：，
∴，
∴，
当时，，
故答案为：．
如图，是的切线，交于点，，连接，，
若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理的应用；连接，根据切线的性质可得，根据已知条件可得，进而根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，可得，进而即可求解．
【详解】解：连接，
∵，是的切线，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且，
连接EF交边AD于点G．过点A作，垂足为点M，交边CD于点N．
若，，则线段AN的长为
【答案】
【分析】连接AE、AF、EN，首先可证得，AE=AF，可证得垂直平分EF，可得EN=FN，再根据勾股定理即可求得正方形的边长，再根据勾股定理即可求得AN的长．
【详解】解：如图：连接AE、AF、EN，
四边形ABCD是正方形
设AB=BC=CD=AD=a，，
在与中，
，
，
是等腰三角形，
又，
垂直平分EF，
，
又，
，
在中，，
，
解得a=20，
，，
在中，，
，
故答案为：．
16．如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，
点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，
则这个反比例函数的表达式是__________．
【答案】
【解析】
【分析】设正方形的边长为m，根据，，得到，根据矩形对边相等得到，推出，根据点B，E在同一个反比例函数的图象上，得到，得到，推出．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
设正方形的边长为m，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设反比例函数的表达式为，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
∴这个反比例函数的表达式是，
故答案为：．
三、解答题（第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．（1）．
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先计算负整数指数、0指数幂、化简二次根式和绝对值，再计算加减即可；
（2）根据同分母分式的加减法则解答即可．
【详解】解：（1）
．
（2）
．
如图，在的网格中，线段的端点都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．
请用无刻度的直尺画出符合要求的图形，并保留画图痕迹（不要求写画法）．

(1)在图1中画出一个以为边的，使顶点在格点上．
(2)在图2中的线段上找出一点，使．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）取格点C，连接和即可；
（2）取格点E，F，连接交于点D，点D即为所求．
【详解】（1）解：如下图，取格点C，连接和，

由题意可知：，
为；
（2）如下图，取格点E，F，连接交于点D，

由题意可知：，
，
，
点D即为所求．
19．“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？
（2）将两幅不完整的图补充完整；
（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数；
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．
【答案】（1）600；（2）见解析；（3）3200；（4）
【详解】（1）60÷10%=600（人）．
答：本次参加抽样调查的居民有600人．
（2）如图，
（3）8000×40%=3200（人）．
答：该居民区有8000人，估计爱吃D粽的人有3200人．
（4）如图；
共有12种等可能的情况，其中他第二个吃到的恰好是C粽的有3种，
∴P（C粽）==．
答：他第二个吃到的恰好是C粽的概率是．
图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，，可分别绕点A，B转动，
测得，，，．
(1)在图2中，过点B作，垂足为E．填空：______°；______cm（结果保留根号）；
(2)在（1）的条件下，求点C到的距离．
（结果保留一位小数，参考数据：，，，）
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用角的和差关系进行计算即可得；再解即可求出的长；
（2）过点C作，垂足为F，过点C作，垂足为G，则，，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
【详解】（1）如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
在中，，
∴，
故答案为：20；
（2）过点C作，垂足为F，过点C作，垂足为G，
则，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴点C到AD的距离为．
已知：如图，在平行四边形中， 的平分线交于点E，点F是的中点，
连接并延长交于点G，连接．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明，然后证明，得，
证出四边形是平行四边形，即可得出结论；
（2）过点F作于点M，由菱形的性质得出，，在中，求出，在中，求出，再求出，得出，中，由勾股定理即可得出的长．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴且，
∴，
∴，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形AEGB是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵，
∴，
过点F作于点M，如图所示：

∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得：
．
22．第19届杭州亚运会，吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，
如图，某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，
拟购买30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲，乙两种规格，
其中乙规格比甲规格每套贵20元．
(1)若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格；
(2)在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？
（1）解：设甲规格吉祥物每套价格元，则乙规格每套价格为元，
根据题意，得，
解得．
经检验，是所列方程的根，且符合实际意义．
．
答：甲规格吉祥物每套价格为70元，乙规格每套为90元．
（2）解：设乙规格购买套，甲规格购买套，总费用为元
根据题意，得
，
解得，
，
，
随的增大而增大．
当时，最小值．
故乙规格购买10套、甲规格购买20套总费用最少．
23.如图1，公园草坪的地面O处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图2是其示意图．开始喷水后，若喷水口在O处，水线落地点为A，若喷水口上升到P处，水线落地点为B，记长度为h．
(1)已知．若喷水口在P处，，．
①求水线最高点与点B之间的水平距离；
②求水线的最大高度；
③身高的小红要从水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与O的水平距离应满足什么条件？请说明理由．
(2)在喷水口上升过程中，当时，用含h的式子表示水线的最大高度．
【答案】(1)①水线最高点与点B之间的水平距离为2米；②水线的最大高度为米；③该点与O的水平距离应小于4米
(2)水线的最大高度是米
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的性质．
（1）①根据得出抛物线对称轴为直线，即可解答；②根据抛物线对称轴为直线，得出，得出，设，把代入得求出a、b、c的值，进而得出该抛物线的解析式，即可解答；③把代入，求出函数值，结合二次函数的增减性，即可解答；
（2）设，则，则抛物线对称轴为直线，，设该抛物线解析式为． ，代入得，推出，即可解答．
【详解】（1）解：①∵，
∴抛物线对称轴为直线，
∴水线最高点与点B之间的水平距离为2米；
②∵抛物线对称轴为直线，
∴，
整理得：，
∵，，
∴，
设，
把代入得：
，
解得：，
∴该抛物线的解析式为，
∵，，
∴当时，y取最大值，
∴水线的最大高度为米；
③把代入得：，
解得：，
∵，抛物线对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
∴，
∴该点与O的水平距离应小于4米；
（2）解：设，则，
∴抛物线对称轴为直线，，
∴，
设该抛物线解析式为．
∵，
∴，
设，
把，代入得：
，
得：，
∴，
∴水线的最大高度是米．
24.如图1，已知为的直径，弦于点，是上一点，连接，，．
(1)求证：；
(2)如图2，延长相交于点，连接．
①已知，求的长；
②记与的交点为，若，当时，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）根据垂径定理得出，再根据圆周角定理即可得出答案；
（2）①证明，得出，代入数据求出结果即可；
②连接，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，根据等腰三角形的性质得出，平分，证明，得出即可．
【详解】（1）证明：是直径，，
，
．
（2）解：①，，
∴，
，
，
．
②连接，
是直径，，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，平分，
，，
，
四边形是圆的内接四边形，
，，
由（1）可知，
，
∴，
．