第六章 实数经典题型（含解析）
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2023-2024学年数学人教版七年级下册第六章实数经典题型
一、单选题
1．下列各数中为无理数的是（ ）
A．1.5 B． C．0 D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．1的立方根是 B． C．9的平方根是 D．0没有平方根
3．正方形的面积是27，估计它的边长大小在（ ）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
4．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A． B． C． D．
5．下列四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣π B．﹣2 C． D．
6．如图，表示的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
7．对于整数n，定义为不大于的最大整数，例如：，，，对进行如下操作：，即对进行次操作后变为．若对整数进行次操作后变为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．下列运算中，错误的有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题
9．写出一个比小的正有理数 ．
10．若一个正数的平方根为和，则a的值是 ．
11．若a是最大的负整数，b的算术平方根是，m与n互为倒数，则的值为
12．已知，则的值为 ．
13．已知关于x，y的二元一次方程的解互为相反数，则的立方根是 ．
14．举一个反例就可以说明一个命题是假命题．要说明命题“如果a是无理数，b是无理数，那么a与b之积仍是无理数”是假命题，可以举反例： ．
15．若a、b均为正整数，当时，我们称b是的“整值”， 则的整值是 ．
16．一列数，其中则，则 ．
三、解答题
17．求未知数x的值：
(1)；
(2)．
18．已知的算术平方根是3，的立方根是2．
(1)求m，n的值；
(2)求的平方根．
19．设，，
(1)化简：；
(2)若x是8的立方根，求的值．
20．已知均为实数，且的立方根是4，正数的平方根分别是与，是的整数部分．
(1)求正数的值；
(2)求的值．
21．已知实数a，b满足关系式，求的立方根．
22．图中的正方形的边长是．
(1)求这个正方形面积．
(2)将这个正方形沿对角线剪开后拼成一个直角三角形，则正方形的对角线就变成了三角形的两条直角边．你能从中得到启发，求出这个正方形对角线的长吗？
参考答案：
1．B
【分析】本题主要考查了无理数的定义．无理数指的是无限不循环小数，一般无理数有三种形式：①以及含的式子、带根号且开不尽方的数、无限不循环小数．
【详解】解：A、1.5是有理数，不符合题意；
B、是无理数，符合题意；
C、0是有理数，不符合题意；
D、是有理数，不符合题意；
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了立方根、平方根和算术平方根，根据立方根、平方根和算术平方根的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．1的立方根是1，故A选项不符合题意；
B．，故B选项不符合题意；
C．9的平方根是，故C选项符合题意；
D．0的平方根是0，故D选项不符合题意；
故选：C．
3．D
【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出正方形的边长是解题关键．首先求出正方形的边长，进而估算其边长的取值范围．
【详解】解：∵一个正方形的面积为27，
∴正方形的边长为：，
，
，
∴它的边长在5和6之间．
故选：D．
4．D
【分析】本题考查实数与数轴的关系，根据实数在数轴上的位置得到，根据实数在数轴上离原点的距离判断绝对值的大小，进而求解即可．
【详解】根据数轴的性质可知：
∴，故A选项错误；
∴，故B选项错误；
∴，故C选项错误；
∴，故D选项正确．
故选：D．
5．D
【分析】本题主要考查了实数的大小比较，先确定各数的值，再比较得出答案．
【详解】由，，可知，
所以最小．
故选：D．
6．A
【分析】本题考查了实数在数轴上的表示，无理数的估算．首先估算出在哪两个相邻整数间，即可确定答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故表示的点落在段①；
故选：A．
7．B
【分析】本题考查了估算无理数的大小，的定义，由的定义为不大于的最大整数，熟知估算无理数大小的方法是解决此题的关键．
【详解】解：A、第一次，第二次，故A不符合题意；
B、第一次，第二次，255是最大整数，故B符合题意；
C、第一次，第二次，81不是最大整数，故C不符合题意；
D、第一次，第二次，故D不符合题意；
故选：.
8．C
【分析】本题考查的是算术平方根与立方根的含义，利用算术平方根与立方根的含义逐一判断即可．
【详解】解：，故①符合题意；
，故②符合题意；
，故③不符合题意；
，故④不符合题意；
，故⑤符合题意；
，故⑥不符合题意；
故选C
9．3（答案不唯一）
【分析】本题考查无理数的估算．先求出的取值范围，进而写出比小的正有理数即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴比小的正有理数可以是3；
故答案为：3（答案不唯一）．
10．
【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，正数有两个不同的平方根，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根．根据正数的两个平方根互为相反数列式求解即可．
【详解】解：∵一个正数的平方根为和，
∴，
∴．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了代数式求值，本题关键是运用最大的负整数，算术平方根，m与n互为倒数倒数概念以及整体代入的思想．
【详解】解：由题意可知．
，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，正确理解算术平方根及绝对值的非负性是解答本题的关键．根据算术平方根及绝对值的非负性，即得答案．
【详解】，
，，
，，
．
13．
【分析】此题考查了解二元一次方程组和立方根，根据方程组的解互为相反数求出，再求出的值，根据立方根的定义即可求出答案．
【详解】∵关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，
∴③
把③代入②得：，
解得，
∴，
把代入①得，
即，
∴，
∵，
即的立方根是，
故答案为：．
14．当时，，积为有理数
【分析】本题考查举反例．根据题意，举出一个反例即可．
【详解】解：当时，，为有理数，
∴原命题为假命题．
故答案为：当时，，积为有理数
15．6
【分析】本题考查根数的估算，根据夹逼法求解即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴的整值是，
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查数字规律题，根据题意，分别计算出的值即可找出规律，由此即可求解．
【详解】解：，，，，，
∴，
∴，
故答案为：．
17．(1)或；
(2)
【分析】本题考查利用平方根、立方根解方程．
（1）等号两边同时开平方，即可求解；
（2）先变形为，等号两边再同时开立方，即可求解．
【详解】（1）解：由原方程可得或，
解得或；
（2）解：原方程变形为，
则，
解得．
18．(1)，；
(2)的平方根是．
【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根的知识．
（1）由于的算术平方根是3，则；的立方根是2，则，联立解方程即可；
（2）根据（1）中、的值，代入可得16，然后求平方根即可．
【详解】（1）解：的算术平方根是3，
，
解得：；
又的立方根是2，
，
即，
解得：，
，；
（2）解：由（1），，
，
的平方根是．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了整式的化简求值，立方根的意义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
（1）把A，B的值代入化简即可；
（2）先求出x的值，然后代入（1）化简后的结果计算即可．
【详解】（1）
．
（2）是8的立方根，
，
．
20．(1)正数的值是25
(2)的值是41
【分析】本题考查的是平方根，算术平方根的含义，立方根的含义，无理数的整数部分的含义，理解题意，再建立方程求解是解题的关键．
（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，再建立方程求解即可；
（2）根据立方根的含义先求解a的值，再根据无理数的整数部分得到c的值，再代入计算的值即可．
【详解】（1）解：正数b的平方根分别是与，
∴，
解得，
∴正数b为．
（2）解：∵的立方根是4，
∴，
解得．
∵c是的整数部分，，
∴．
∴．
21．3
【分析】本题主要考查了非负数的性质，求一个数的立方根，实数的运算，先根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0求出a、b、c的值，进而求出的值，再由立方根的定义可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴
∴，，，
∴，
∴的立方根为．
22．(1)8
(2)4
【分析】本题考查正方形面积公式，三角形面积公式．
（1）根据题意利用正方形面积公式即可作答；
（2）根据题意列出三角形面积式子即可得到本题答案．
【详解】（1）解：，
答：这个正方形的面积是8；
（2）解：设正方形的对角线长为x，
∵三角形的面积是8，
∴，即：，
答：这个正方形的对角线长为4．
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2023-2024学年数学人教版七年级下册第六章实数经典题型
一、单选题
1．下列各数中为无理数的是（ ）
A．1.5 B． C．0 D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．1的立方根是 B． C．9的平方根是 D．0没有平方根
3．正方形的面积是27，估计它的边长大小在（ ）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
4．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A． B． C． D．
5．下列四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣π B．﹣2 C． D．
6．如图，表示的点落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
7．对于整数n，定义为不大于的最大整数，例如：，，，对进行如下操作：，即对进行次操作后变为．若对整数进行次操作后变为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．下列运算中，错误的有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题
9．写出一个比小的正有理数 ．
10．若一个正数的平方根为和，则a的值是 ．
11．若a是最大的负整数，b的算术平方根是，m与n互为倒数，则的值为
12．已知，则的值为 ．
13．已知关于x，y的二元一次方程的解互为相反数，则的立方根是 ．
14．举一个反例就可以说明一个命题是假命题．要说明命题“如果a是无理数，b是无理数，那么a与b之积仍是无理数”是假命题，可以举反例： ．
15．若a、b均为正整数，当时，我们称b是的“整值”， 则的整值是 ．
16．一列数，其中则，则 ．
三、解答题
17．求未知数x的值：
(1)；
(2)．
18．已知的算术平方根是3，的立方根是2．
(1)求m，n的值；
(2)求的平方根．
19．设，，
(1)化简：；
(2)若x是8的立方根，求的值．
20．已知均为实数，且的立方根是4，正数的平方根分别是与，是的整数部分．
(1)求正数的值；
(2)求的值．
21．已知实数a，b满足关系式，求的立方根．
22．图中的正方形的边长是．
(1)求这个正方形面积．
(2)将这个正方形沿对角线剪开后拼成一个直角三角形，则正方形的对角线就变成了三角形的两条直角边．你能从中得到启发，求出这个正方形对角线的长吗？
参考答案：
1．B
【分析】本题主要考查了无理数的定义．无理数指的是无限不循环小数，一般无理数有三种形式：①以及含的式子、带根号且开不尽方的数、无限不循环小数．
【详解】解：A、1.5是有理数，不符合题意；
B、是无理数，符合题意；
C、0是有理数，不符合题意；
D、是有理数，不符合题意；
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了立方根、平方根和算术平方根，根据立方根、平方根和算术平方根的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．1的立方根是1，故A选项不符合题意；
B．，故B选项不符合题意；
C．9的平方根是，故C选项符合题意；
D．0的平方根是0，故D选项不符合题意；
故选：C．
3．D
【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出正方形的边长是解题关键．首先求出正方形的边长，进而估算其边长的取值范围．
【详解】解：∵一个正方形的面积为27，
∴正方形的边长为：，
，
，
∴它的边长在5和6之间．
故选：D．
4．D
【分析】本题考查实数与数轴的关系，根据实数在数轴上的位置得到，根据实数在数轴上离原点的距离判断绝对值的大小，进而求解即可．
【详解】根据数轴的性质可知：
∴，故A选项错误；
∴，故B选项错误；
∴，故C选项错误；
∴，故D选项正确．
故选：D．
5．D
【分析】本题主要考查了实数的大小比较，先确定各数的值，再比较得出答案．
【详解】由，，可知，
所以最小．
故选：D．
6．A
【分析】本题考查了实数在数轴上的表示，无理数的估算．首先估算出在哪两个相邻整数间，即可确定答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故表示的点落在段①；
故选：A．
7．B
【分析】本题考查了估算无理数的大小，的定义，由的定义为不大于的最大整数，熟知估算无理数大小的方法是解决此题的关键．
【详解】解：A、第一次，第二次，故A不符合题意；
B、第一次，第二次，255是最大整数，故B符合题意；
C、第一次，第二次，81不是最大整数，故C不符合题意；
D、第一次，第二次，故D不符合题意；
故选：.
8．C
【分析】本题考查的是算术平方根与立方根的含义，利用算术平方根与立方根的含义逐一判断即可．
【详解】解：，故①符合题意；
，故②符合题意；
，故③不符合题意；
，故④不符合题意；
，故⑤符合题意；
，故⑥不符合题意；
故选C
9．3（答案不唯一）
【分析】本题考查无理数的估算．先求出的取值范围，进而写出比小的正有理数即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴比小的正有理数可以是3；
故答案为：3（答案不唯一）．
10．
【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，正数有两个不同的平方根，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根．根据正数的两个平方根互为相反数列式求解即可．
【详解】解：∵一个正数的平方根为和，
∴，
∴．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了代数式求值，本题关键是运用最大的负整数，算术平方根，m与n互为倒数倒数概念以及整体代入的思想．
【详解】解：由题意可知．
，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，正确理解算术平方根及绝对值的非负性是解答本题的关键．根据算术平方根及绝对值的非负性，即得答案．
【详解】，
，，
，，
．
13．
【分析】此题考查了解二元一次方程组和立方根，根据方程组的解互为相反数求出，再求出的值，根据立方根的定义即可求出答案．
【详解】∵关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，
∴③
把③代入②得：，
解得，
∴，
把代入①得，
即，
∴，
∵，
即的立方根是，
故答案为：．
14．当时，，积为有理数
【分析】本题考查举反例．根据题意，举出一个反例即可．
【详解】解：当时，，为有理数，
∴原命题为假命题．
故答案为：当时，，积为有理数
15．6
【分析】本题考查根数的估算，根据夹逼法求解即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴的整值是，
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查数字规律题，根据题意，分别计算出的值即可找出规律，由此即可求解．
【详解】解：，，，，，
∴，
∴，
故答案为：．
17．(1)或；
(2)
【分析】本题考查利用平方根、立方根解方程．
（1）等号两边同时开平方，即可求解；
（2）先变形为，等号两边再同时开立方，即可求解．
【详解】（1）解：由原方程可得或，
解得或；
（2）解：原方程变形为，
则，
解得．
18．(1)，；
(2)的平方根是．
【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根的知识．
（1）由于的算术平方根是3，则；的立方根是2，则，联立解方程即可；
（2）根据（1）中、的值，代入可得16，然后求平方根即可．
【详解】（1）解：的算术平方根是3，
，
解得：；
又的立方根是2，
，
即，
解得：，
，；
（2）解：由（1），，
，
的平方根是．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了整式的化简求值，立方根的意义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
（1）把A，B的值代入化简即可；
（2）先求出x的值，然后代入（1）化简后的结果计算即可．
【详解】（1）
．
（2）是8的立方根，
，
．
20．(1)正数的值是25
(2)的值是41
【分析】本题考查的是平方根，算术平方根的含义，立方根的含义，无理数的整数部分的含义，理解题意，再建立方程求解是解题的关键．
（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，再建立方程求解即可；
（2）根据立方根的含义先求解a的值，再根据无理数的整数部分得到c的值，再代入计算的值即可．
【详解】（1）解：正数b的平方根分别是与，
∴，
解得，
∴正数b为．
（2）解：∵的立方根是4，
∴，
解得．
∵c是的整数部分，，
∴．
∴．
21．3
【分析】本题主要考查了非负数的性质，求一个数的立方根，实数的运算，先根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0求出a、b、c的值，进而求出的值，再由立方根的定义可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴
∴，，，
∴，
∴的立方根为．
22．(1)8
(2)4
【分析】本题考查正方形面积公式，三角形面积公式．
（1）根据题意利用正方形面积公式即可作答；
（2）根据题意列出三角形面积式子即可得到本题答案．
【详解】（1）解：，
答：这个正方形的面积是8；
（2）解：设正方形的对角线长为x，
∵三角形的面积是8，
∴，即：，
答：这个正方形的对角线长为4．
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