第二十六章 反比例函数精选题（含解析）
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2023-2024学年数学人教版九年级下册第二十六章反比例函数精选题
一、单选题
1．下列函数中，是关于的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．反比例函数的图象分别位于（ ）
A．第一、第二象限 B．第一、第三象限
C．第二、第三象限 D．第二、第四象限
3．反比例函数图象过点，则是（ ）
A． B． C． D．
4．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．已知点在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在矩形中，顶点，分别在轴、轴上，反比例函数的图像过矩形对角线的交点，交于点，交于点，已知点B的坐标为，则与的面积之比值为（ ）
A．2 B．1.5 C．1 D．0.5
7．如图，菱形 的一边在x轴的负半轴上，O是坐标原点，A点坐标为，对角线 和 相交于点D，且．若反比例函数的图象经过点D，并与的延长线交于点E，则值等于（ ）
A．2 B． C．1 D．
8．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象交矩形的边于点交边于点，且，若四边形的面积为12，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
二、填空题
9．已知一次函数图象在一、二、三象限，则反比例函数的函数值在每一个象限内随的增大而 ．
10．已知直线与轴交于点，与轴交于点，点在线段上，且为的中位线，的延长线交反比例函数的图象于点，若的面积为3，则点的坐标为 ．
11．某段高架桥上车辆的行驶速度y（千米/时）与高架桥上每百米行驶车的数量x辆（x为正整数）的关系如图所示，当时，y与x成反比例，当车辆的行驶速度低于21千米/时，交通就会拥堵．为避免出现交通拥堵，高架桥上每百米行驶车的数应该满足的范围是 ．
12．如图，为等边三角形，且轴于点B， 反比例函数 经过点A与点C， 则 ．
13．已知直线与反比例函数的图象相交于点，则的值为 ．
14．如图，点P的坐标为轴于点轴于点分别交反比例函数的图象于点，设，则S的最大值为 ．
15．如图，已知点M是反比例函数的图象上一点，过点M分别作x轴、y轴的垂线，垂足依次为P，Q，若四边形的面积为6．则k的值是 ．
16．如图，矩形的对角线相交于点，反比例函数的图象经过点，且交于点，已知，则 ．
三、解答题
17．已知 与 成正比例，与 成反比例． 并且当 时，；当 ，求 与 之间的函数关系式．
18．在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标比横坐标大k，则称该点为“k级差值点”．例如，为“3级差值点” ，为“5级差值点”．
(1)点是“4级差值点”，则y与x的函数关系式是 ；
(2)若反比例函数的图象上只有一个“k级差值点”，，求t的取值范围；
(3)已知直线l： 与抛物线交于A，B两点，且．若 时，直线 l上无“k级差值点”，求a的取值范围．
19．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点与 y 轴交于点 B，与反比例函数的图像交于点，过B作轴，交反比例函数的图像于点D．连接．
(1) ， ，不等式的解集是 ；
(2)求的面积．
20．如图所示，直线与双曲线交于两点，已知点坐标为，点的纵坐标是，直线与轴交于点．
(1)求直线的解析式和反比例函数解析式；
(2)直接写出不等式的解集；
(3)若点是反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的2倍，求点的坐标．
21．《墨经》最早述及的小孔成像，是世界上最早的关于光学问题的论述，如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．
①求关于的函数解析式；
②若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离．
22．如图，有一个人站在水平球台上去打高尔夫球，球台到x轴的距离为，与y轴相交于点E，弯道：与球台交于点F，且，弯道末端垂直x轴于点B，且，从点E处飞出的球沿抛物线L：运动，落在弯道的D处，且D处到x轴的距离为．
(1)求k，b的值．
(2)高尔夫球落在D处后立即弹起，沿另外一条抛物线G运动，若G的最高点坐标为 P．
① 求抛物线G的解析式，并说明小球能否落在弯道上？
② 在x轴上有托盘，现在把托盘向上平移，若小球能被托盘接住（小球落在托盘边缘不会掉落），直接写出d的取值范围．
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了反比例函数的定义．熟练掌握：形如（为常数且）的函数是反比例函数是解题的关键．根据反比例函数的定义，进行判断作答即可．
【详解】解：A. 是正比例函数，A错误，故不符合要求；
B. 是反比例函数，B正确，故符合要求；
C. 不是反比例函数，C错误，故不符合要求；
D. 不是反比例函数，D错误，故不符合要求；
故选：B．
2．B
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握反比例函数，当时，图象位于一、三象限，反之图象位于二、四象限．据此即可解答．
【详解】解：∵，
∴反比例函数的图象分别位于第一、第三象限，
故选：B．
3．B
【分析】此题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，根据待定系数法求反比例函数的方法即可，熟练掌握待定系数法求反比例函数的解析式是解题的关键．
【详解】解：∵反比例函数图象过点，
∴，
故选：．
4．A
【分析】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴反比例函数的图象位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，
∵点都在反比例图象上，
∴点在第二象限，点在第四象限，
∴，
故选A．
5．C
【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征及反比例函数的性质，
根据点在反比例函数的图像上，求出的值，得到反比例函数解析式，再根据反比例函数的增减性可得结论．求出反比例函数解析式是解题的关键．
【详解】解：∵点在反比例函数的图像上，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
∴图像位于一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，
当时，，
∴当时，．
故选：C．
6．C
【分析】本题主要考查了矩形的性质、反比例函数的应用，学会运用待定系数法求解反比例函数的解析式，灵活运用所学知识是解题的关键．
先根据的坐标和矩形的性质把D点坐标求解出来，进而得到反比例函数的解析式，再把点E、F的坐标求解出来，根据三角形的面积公式即可得到答案．
【详解】解：∵的坐标为，四边形是矩形，
∴点的坐标为，
又∵反比例函数后的图象过矩形对角线的交点，
∴根据待定系数法得到反比例函数的解析式为，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴根据三角形的面积公式得到：
，，
故阴影部分面积之和是．
故选C．
7．C
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法、勾股定理、菱形性质的运用，数形结合和准确计算是解题的关键．
如图所示，过点C作于G，根据菱形和三角形的面积公式可得，再由，求出，在中，根据勾股定理得，即，根据菱形的性质和中点坐标公式求出，将D代入反比例函数解析式可得k，进而求出点E坐标，最后根据三角形面积公式求得即可．
【详解】解：如图所示，过点C作于G，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
四边形是菱形，
，
D为的中点，
，
D在反比例函数图象上，
，
，
E的纵坐标为4，
E在反比例函数图象上，
E的横坐标为，
，
，
，
故选：C．
8．C
【分析】本题考查了反比例函数的系数的几何意义．连接，由矩形的性质和已知条件得出的面积的面积四边形的面积，再求出的面积，即可得出的值．
【详解】解：连接，如图所示：
四边形是矩形，
，的面积的面积，
、在反比例函数的图象上，
的面积的面积，
的面积的面积四边形的面积，
，
的面积的面积，
．
故选：C．
9．减小
【分析】本题考查了反比例函数的性质、一次函数的性质，由一次函数的图象的位置可得出，，从而得出，再根据反比例函数的性质即可得出答案，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：一次函数图象在一、二、三象限，
，，
，
反比例函数的函数值在每一个象限内随的增大而减小，
故答案为：减小．
10．或/或
【分析】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到三角形中位线定理及三角形的面积公式，先根据点在一次函数的图象上求出点坐标，再由是的中位线可知点是线段的中点，轴或轴故可得出点坐标，再由的面积为3可得出点的坐标．
【详解】解：点是次函数的图象与轴的交点，与轴交于点
，
是的中位线，
点是线段的中点，即，
当轴时如图：
∵
点的横坐标为，
设的纵坐标为，则，即，
解得：，
,
当轴时如图：
∵
点的纵坐标为3，
设的横坐标为，则，即，
解得：，
．
故答案为：或．
11．
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，设反比例函数的解析式为∶，根据图象将代入，求出k的值，得出反比例函数的解析式，然后再代入y值，即可求出对应的x值，然后根据x为正整数即可求出x的范围．
【详解】解：设反比例函数的解析式为∶，
则将，代入得∶，
解得：，
故反比例函数的解析式为∶，
故当车速度为21千米/时，则，
解得∶，
故高架桥上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是∶，
故答案为∶ ．
12．
【分析】作于点D，求出，然后求出和的长，设则，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求解即可．
【详解】如图，作于点D．
∵为等边三角形，
∴．
∵轴
∴，
∴，
∴，
∴．
设则．
∵点A，点C在反比例函数图象上，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，以及反比例函数图象上点的坐标特征，正确作出辅助线是解答本题的关键．
13．
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正比例函数及反比例函数图象的对称性，联立，得出，，即与关于原点对称，解题的关键是得到与关于原点对称是解题的关键．
【详解】解：，解得，，
∴，，
∴
，
∵图象经过点，
∴，
故答案为：．
14．3
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，反比例函数比例系数k的几何意义，以及二次函数的性质，求出S关于k的解析式是解答本题的关键．先表示出，点，根据求出S关于k的解析式，然后利用二次函数的解析式求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴四边形是矩形，
∵点P的坐标为，
∴点，点，
则
，
当时，S取最大值3．
故答案为：3．
15．
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．根据四边形的面积为6，即得出，再根据函数图象所在象限进而得出k的值．
【详解】解：∵M点是反比例函数的图象第二象限上的一点，且矩形的面积为6，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
16．/
【分析】本题考查的是矩形的性质，反比例函数的图象与性质，先求解，再求解反比例函数的解析式为，可得，；从而可得答案．
【详解】解：∵矩形，，，
∴，，为的中点，
∴，，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
当时，，
，；
∴；
故答案为：．
17．
【分析】本题考查求函数表达式，设，待定系数法求出，即可．掌握待定系数法求函数解析式，是解题的关键．
【详解】解：设，
则：，
由题意，得：，解得：，
∴．
18．(1)
(2)
(3)，
【分析】本题考查了反比例函数的性质和一次函数的性质及二次函数的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
（1）根据题干中级差值点即可得出答案；
（2）利用反比例函数的性质及极差值点的含义即可得出答案；
（3）利用一次函数和二次函数的性质及极差值点的含义即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意可得出；
（2）解：由题意得： ，
，
图象上只有一个“k级差值点”，
方程 有两个相等的实数根，
，
，
，
，
，
当时，t有最大值5，当时，t有最小值，
；
（3）解：由题意得若 时，直线 l上有 “k级差值点”，
，
，
，
，，
，
，即，
或，
即，．
19．(1)4，6，
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
（1）先把点A坐标代入直线解析式求出b的值，即求出直线解析式；进而求出点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数解析式求出k的值；再根据图像法求出不等式的解集即可；
（2）先求出点B的坐标，进而求出点D的坐标，再根据进行求解即可．
【详解】（1）解：把代入到直线中得：,解得：，
∴直线解析式为，
把点代入到直线中得：，
∴，
∴，
把代入到反比例函数中得：，解得：；
由函数图像可知，当时，一次函数图像在反比例函数图像下方，
∴不等式的解集是．
故答案为：4，6，．
（2）解：由（1）得反比例函数解析式为，
在中，
令，则，
∴，
在中，
令，则，
∴，
∴，
∴．
20．(1)双曲线的解析式为，直线的解析式为
(2)或
(3)或
【分析】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，坐标系中求三角形面积的方法，求出点B的坐标是解本题的关键点．
（1）利用待定系数法求出双曲线的解析式，进而求出点B的坐标，最后用待定系数法，即可得出结论；
（2）直接利用图象即可得出结论；
（3）连接，先求出， 利用三角形面积公式求出，进而得出，再求出，设点的纵坐标为，再由的面积是的面积的倍，得到关于的方程，解方程即可求得求出点的纵坐标，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵点在双曲线上， ，
，
∴双曲线的解析式为，
∵点在双曲线上，且纵坐标为，
，
，
，
将点 代入直线中得，
，解得，
∴直线的解析式为 ；
（2）由图象知，不等式 的解集为或 ；
（3）如图，连；
，
∴，
，
的面积是的面积的倍，
，
∵直线的解析式为，
令则 ，
解得，
，
设点的纵坐标为，
，
或，
∵点在双曲线上，
或，
解得或，
或．
21．① ②
【分析】此题考查反比例函数的应用，关键是根据待定法得出反比例函数的解析式解答.
（1）根据待定法得出反比例函数的解析式即可;
（2）根据解析式代入数值解答即可.
【详解】① 由题意设: ，
把 代入，得 ，
∴关于的函数解析式为：；
②把代入，得，
经检验是原方程的解，
∴小孔到蜡烛的距离为．
22．(1)，
(2)①，小球不能落在弯道上；②．
【分析】本题考查二次函数与反比例函数综合问题，解题的关键根据题意找点代入求出解析式，求出交点．
（1）根据题意得到F点坐标代入解析式求出k的值，再求出点D坐标代入抛物线即可解出b的值；
（2）①根据题意可设该抛物线的解析式为，然后将D点的坐标代入求出a的值，则新抛物线的解析式可知．再由代入反比例函数的解析式求得点A的横坐标，再将此横坐标代入新抛物线得到纵坐标，因此得到抛物线G与弯道不相交．
②分别将与代入抛物线中即可求得d的取值范围．
【详解】（1）解：∵球台到x轴的距离为8，，
∴．
将代入，解得，
∵D到x轴的距离为，
∴当时，，
∴点．
将点代入，
得，
解得
（2）① ∵抛物线G的最高点坐标为，
∴可设该抛物线的解析式为．
把代入，解得，
∴抛物线G的解析式为，即
∵点A在反比例函数的图象上，且，
∴点A的坐标为．
将代入，
∴小球不能落在弯道上．
② ．
当托盘正好能够接住从弯道滑落下来的小球（小球落在托盘边缘不会掉落）时，托盘向上分别平移到B点与A点重合、C点恰好在抛物线G上，此时B点的横坐标与A点横坐标相同，C点的横坐标等于A点横坐标加上2，即点B与点C的横坐标分别为16与18．
将代入，
将代入，得．
∵小球能被托盘接住，
∴d的取值范围是．
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2023-2024学年数学人教版九年级下册第二十六章反比例函数精选题
一、单选题
1．下列函数中，是关于的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．反比例函数的图象分别位于（ ）
A．第一、第二象限 B．第一、第三象限
C．第二、第三象限 D．第二、第四象限
3．反比例函数图象过点，则是（ ）
A． B． C． D．
4．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．已知点在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在矩形中，顶点，分别在轴、轴上，反比例函数的图像过矩形对角线的交点，交于点，交于点，已知点B的坐标为，则与的面积之比值为（ ）
A．2 B．1.5 C．1 D．0.5
7．如图，菱形 的一边在x轴的负半轴上，O是坐标原点，A点坐标为，对角线 和 相交于点D，且．若反比例函数的图象经过点D，并与的延长线交于点E，则值等于（ ）
A．2 B． C．1 D．
8．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象交矩形的边于点交边于点，且，若四边形的面积为12，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
二、填空题
9．已知一次函数图象在一、二、三象限，则反比例函数的函数值在每一个象限内随的增大而 ．
10．已知直线与轴交于点，与轴交于点，点在线段上，且为的中位线，的延长线交反比例函数的图象于点，若的面积为3，则点的坐标为 ．
11．某段高架桥上车辆的行驶速度y（千米/时）与高架桥上每百米行驶车的数量x辆（x为正整数）的关系如图所示，当时，y与x成反比例，当车辆的行驶速度低于21千米/时，交通就会拥堵．为避免出现交通拥堵，高架桥上每百米行驶车的数应该满足的范围是 ．
12．如图，为等边三角形，且轴于点B， 反比例函数 经过点A与点C， 则 ．
13．已知直线与反比例函数的图象相交于点，则的值为 ．
14．如图，点P的坐标为轴于点轴于点分别交反比例函数的图象于点，设，则S的最大值为 ．
15．如图，已知点M是反比例函数的图象上一点，过点M分别作x轴、y轴的垂线，垂足依次为P，Q，若四边形的面积为6．则k的值是 ．
16．如图，矩形的对角线相交于点，反比例函数的图象经过点，且交于点，已知，则 ．
三、解答题
17．已知 与 成正比例，与 成反比例． 并且当 时，；当 ，求 与 之间的函数关系式．
18．在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标比横坐标大k，则称该点为“k级差值点”．例如，为“3级差值点” ，为“5级差值点”．
(1)点是“4级差值点”，则y与x的函数关系式是 ；
(2)若反比例函数的图象上只有一个“k级差值点”，，求t的取值范围；
(3)已知直线l： 与抛物线交于A，B两点，且．若 时，直线 l上无“k级差值点”，求a的取值范围．
19．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点与 y 轴交于点 B，与反比例函数的图像交于点，过B作轴，交反比例函数的图像于点D．连接．
(1) ， ，不等式的解集是 ；
(2)求的面积．
20．如图所示，直线与双曲线交于两点，已知点坐标为，点的纵坐标是，直线与轴交于点．
(1)求直线的解析式和反比例函数解析式；
(2)直接写出不等式的解集；
(3)若点是反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的2倍，求点的坐标．
21．《墨经》最早述及的小孔成像，是世界上最早的关于光学问题的论述，如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．
①求关于的函数解析式；
②若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离．
22．如图，有一个人站在水平球台上去打高尔夫球，球台到x轴的距离为，与y轴相交于点E，弯道：与球台交于点F，且，弯道末端垂直x轴于点B，且，从点E处飞出的球沿抛物线L：运动，落在弯道的D处，且D处到x轴的距离为．
(1)求k，b的值．
(2)高尔夫球落在D处后立即弹起，沿另外一条抛物线G运动，若G的最高点坐标为 P．
① 求抛物线G的解析式，并说明小球能否落在弯道上？
② 在x轴上有托盘，现在把托盘向上平移，若小球能被托盘接住（小球落在托盘边缘不会掉落），直接写出d的取值范围．
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了反比例函数的定义．熟练掌握：形如（为常数且）的函数是反比例函数是解题的关键．根据反比例函数的定义，进行判断作答即可．
【详解】解：A. 是正比例函数，A错误，故不符合要求；
B. 是反比例函数，B正确，故符合要求；
C. 不是反比例函数，C错误，故不符合要求；
D. 不是反比例函数，D错误，故不符合要求；
故选：B．
2．B
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握反比例函数，当时，图象位于一、三象限，反之图象位于二、四象限．据此即可解答．
【详解】解：∵，
∴反比例函数的图象分别位于第一、第三象限，
故选：B．
3．B
【分析】此题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，根据待定系数法求反比例函数的方法即可，熟练掌握待定系数法求反比例函数的解析式是解题的关键．
【详解】解：∵反比例函数图象过点，
∴，
故选：．
4．A
【分析】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴反比例函数的图象位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，
∵点都在反比例图象上，
∴点在第二象限，点在第四象限，
∴，
故选A．
5．C
【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征及反比例函数的性质，
根据点在反比例函数的图像上，求出的值，得到反比例函数解析式，再根据反比例函数的增减性可得结论．求出反比例函数解析式是解题的关键．
【详解】解：∵点在反比例函数的图像上，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
∴图像位于一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，
当时，，
∴当时，．
故选：C．
6．C
【分析】本题主要考查了矩形的性质、反比例函数的应用，学会运用待定系数法求解反比例函数的解析式，灵活运用所学知识是解题的关键．
先根据的坐标和矩形的性质把D点坐标求解出来，进而得到反比例函数的解析式，再把点E、F的坐标求解出来，根据三角形的面积公式即可得到答案．
【详解】解：∵的坐标为，四边形是矩形，
∴点的坐标为，
又∵反比例函数后的图象过矩形对角线的交点，
∴根据待定系数法得到反比例函数的解析式为，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴根据三角形的面积公式得到：
，，
故阴影部分面积之和是．
故选C．
7．C
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法、勾股定理、菱形性质的运用，数形结合和准确计算是解题的关键．
如图所示，过点C作于G，根据菱形和三角形的面积公式可得，再由，求出，在中，根据勾股定理得，即，根据菱形的性质和中点坐标公式求出，将D代入反比例函数解析式可得k，进而求出点E坐标，最后根据三角形面积公式求得即可．
【详解】解：如图所示，过点C作于G，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
四边形是菱形，
，
D为的中点，
，
D在反比例函数图象上，
，
，
E的纵坐标为4，
E在反比例函数图象上，
E的横坐标为，
，
，
，
故选：C．
8．C
【分析】本题考查了反比例函数的系数的几何意义．连接，由矩形的性质和已知条件得出的面积的面积四边形的面积，再求出的面积，即可得出的值．
【详解】解：连接，如图所示：
四边形是矩形，
，的面积的面积，
、在反比例函数的图象上，
的面积的面积，
的面积的面积四边形的面积，
，
的面积的面积，
．
故选：C．
9．减小
【分析】本题考查了反比例函数的性质、一次函数的性质，由一次函数的图象的位置可得出，，从而得出，再根据反比例函数的性质即可得出答案，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：一次函数图象在一、二、三象限，
，，
，
反比例函数的函数值在每一个象限内随的增大而减小，
故答案为：减小．
10．或/或
【分析】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到三角形中位线定理及三角形的面积公式，先根据点在一次函数的图象上求出点坐标，再由是的中位线可知点是线段的中点，轴或轴故可得出点坐标，再由的面积为3可得出点的坐标．
【详解】解：点是次函数的图象与轴的交点，与轴交于点
，
是的中位线，
点是线段的中点，即，
当轴时如图：
∵
点的横坐标为，
设的纵坐标为，则，即，
解得：，
,
当轴时如图：
∵
点的纵坐标为3，
设的横坐标为，则，即，
解得：，
．
故答案为：或．
11．
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，设反比例函数的解析式为∶，根据图象将代入，求出k的值，得出反比例函数的解析式，然后再代入y值，即可求出对应的x值，然后根据x为正整数即可求出x的范围．
【详解】解：设反比例函数的解析式为∶，
则将，代入得∶，
解得：，
故反比例函数的解析式为∶，
故当车速度为21千米/时，则，
解得∶，
故高架桥上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是∶，
故答案为∶ ．
12．
【分析】作于点D，求出，然后求出和的长，设则，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求解即可．
【详解】如图，作于点D．
∵为等边三角形，
∴．
∵轴
∴，
∴，
∴，
∴．
设则．
∵点A，点C在反比例函数图象上，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，以及反比例函数图象上点的坐标特征，正确作出辅助线是解答本题的关键．
13．
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正比例函数及反比例函数图象的对称性，联立，得出，，即与关于原点对称，解题的关键是得到与关于原点对称是解题的关键．
【详解】解：，解得，，
∴，，
∴
，
∵图象经过点，
∴，
故答案为：．
14．3
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，反比例函数比例系数k的几何意义，以及二次函数的性质，求出S关于k的解析式是解答本题的关键．先表示出，点，根据求出S关于k的解析式，然后利用二次函数的解析式求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴四边形是矩形，
∵点P的坐标为，
∴点，点，
则
，
当时，S取最大值3．
故答案为：3．
15．
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．根据四边形的面积为6，即得出，再根据函数图象所在象限进而得出k的值．
【详解】解：∵M点是反比例函数的图象第二象限上的一点，且矩形的面积为6，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
16．/
【分析】本题考查的是矩形的性质，反比例函数的图象与性质，先求解，再求解反比例函数的解析式为，可得，；从而可得答案．
【详解】解：∵矩形，，，
∴，，为的中点，
∴，，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
当时，，
，；
∴；
故答案为：．
17．
【分析】本题考查求函数表达式，设，待定系数法求出，即可．掌握待定系数法求函数解析式，是解题的关键．
【详解】解：设，
则：，
由题意，得：，解得：，
∴．
18．(1)
(2)
(3)，
【分析】本题考查了反比例函数的性质和一次函数的性质及二次函数的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
（1）根据题干中级差值点即可得出答案；
（2）利用反比例函数的性质及极差值点的含义即可得出答案；
（3）利用一次函数和二次函数的性质及极差值点的含义即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意可得出；
（2）解：由题意得： ，
，
图象上只有一个“k级差值点”，
方程 有两个相等的实数根，
，
，
，
，
，
当时，t有最大值5，当时，t有最小值，
；
（3）解：由题意得若 时，直线 l上有 “k级差值点”，
，
，
，
，，
，
，即，
或，
即，．
19．(1)4，6，
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
（1）先把点A坐标代入直线解析式求出b的值，即求出直线解析式；进而求出点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数解析式求出k的值；再根据图像法求出不等式的解集即可；
（2）先求出点B的坐标，进而求出点D的坐标，再根据进行求解即可．
【详解】（1）解：把代入到直线中得：,解得：，
∴直线解析式为，
把点代入到直线中得：，
∴，
∴，
把代入到反比例函数中得：，解得：；
由函数图像可知，当时，一次函数图像在反比例函数图像下方，
∴不等式的解集是．
故答案为：4，6，．
（2）解：由（1）得反比例函数解析式为，
在中，
令，则，
∴，
在中，
令，则，
∴，
∴，
∴．
20．(1)双曲线的解析式为，直线的解析式为
(2)或
(3)或
【分析】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，坐标系中求三角形面积的方法，求出点B的坐标是解本题的关键点．
（1）利用待定系数法求出双曲线的解析式，进而求出点B的坐标，最后用待定系数法，即可得出结论；
（2）直接利用图象即可得出结论；
（3）连接，先求出， 利用三角形面积公式求出，进而得出，再求出，设点的纵坐标为，再由的面积是的面积的倍，得到关于的方程，解方程即可求得求出点的纵坐标，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵点在双曲线上， ，
，
∴双曲线的解析式为，
∵点在双曲线上，且纵坐标为，
，
，
，
将点 代入直线中得，
，解得，
∴直线的解析式为 ；
（2）由图象知，不等式 的解集为或 ；
（3）如图，连；
，
∴，
，
的面积是的面积的倍，
，
∵直线的解析式为，
令则 ，
解得，
，
设点的纵坐标为，
，
或，
∵点在双曲线上，
或，
解得或，
或．
21．① ②
【分析】此题考查反比例函数的应用，关键是根据待定法得出反比例函数的解析式解答.
（1）根据待定法得出反比例函数的解析式即可;
（2）根据解析式代入数值解答即可.
【详解】① 由题意设: ，
把 代入，得 ，
∴关于的函数解析式为：；
②把代入，得，
经检验是原方程的解，
∴小孔到蜡烛的距离为．
22．(1)，
(2)①，小球不能落在弯道上；②．
【分析】本题考查二次函数与反比例函数综合问题，解题的关键根据题意找点代入求出解析式，求出交点．
（1）根据题意得到F点坐标代入解析式求出k的值，再求出点D坐标代入抛物线即可解出b的值；
（2）①根据题意可设该抛物线的解析式为，然后将D点的坐标代入求出a的值，则新抛物线的解析式可知．再由代入反比例函数的解析式求得点A的横坐标，再将此横坐标代入新抛物线得到纵坐标，因此得到抛物线G与弯道不相交．
②分别将与代入抛物线中即可求得d的取值范围．
【详解】（1）解：∵球台到x轴的距离为8，，
∴．
将代入，解得，
∵D到x轴的距离为，
∴当时，，
∴点．
将点代入，
得，
解得
（2）① ∵抛物线G的最高点坐标为，
∴可设该抛物线的解析式为．
把代入，解得，
∴抛物线G的解析式为，即
∵点A在反比例函数的图象上，且，
∴点A的坐标为．
将代入，
∴小球不能落在弯道上．
② ．
当托盘正好能够接住从弯道滑落下来的小球（小球落在托盘边缘不会掉落）时，托盘向上分别平移到B点与A点重合、C点恰好在抛物线G上，此时B点的横坐标与A点横坐标相同，C点的横坐标等于A点横坐标加上2，即点B与点C的横坐标分别为16与18．
将代入，
将代入，得．
∵小球能被托盘接住，
∴d的取值范围是．
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