第十七章 勾股定理经典题型（含解析）
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2023-2024学年数学人教版八年级下册第十七章勾股定理经典题型
一、单选题
1．从2024年开始，各地逐步开展中小学游泳课，小明在一个长方形的游泳池里练习游泳，长方形的长和宽分别为60m，25m，小明在游泳池中沿直线最远可以游（ ）
A．25m B．60m C．65m D．
2．如图，从电线杆离地面处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部，需要钢索的长度为（ ）m．
A．9 B．10 C．11 D．12
3．葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．把树干看成圆柱体，如图是葛藤盘旋1圈的示意图．现有一段葛藤绕树干盘旋2圈升高，树干底面周长是，则这段葛藤的长是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是斜边的高，则（ ）
A．3 B． C． D．5
5．如图，在中，，用直尺和圆规作图，交于点，根据作图痕迹，下列结论错误的是( )
A． B． C． D．
6．在中，的对边分别为．下列所给数据中，不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
8．如图，是等边内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论：①是等边三角形；②是直角三角形；③；④，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．直角三角形一边长是3，另一边长是5，则此直角三角形的面积为 ．
10．如图，中，，，以为边向右作等边，连接，则线段的长为 ．
11．如图，和都是等腰直角三角形，，点D在边上，则等于 度；若，，则的长等于 ．
12．如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是、长是、宽是，一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是 ．
13．如图， 长方形纸片，，，点P在边上，将沿折叠，点D落在E处，，分别交于点O，F， 且， 则长为
14．如图，四边形的对角线相交于点，过点作于点，与交于点．请完成下列问题：
（1） ；
（2）若，则的长为 ．
15．如图，在中，，，平分，于点，则的周长为 ．
16．在平面直角坐标系中，给出如下定义：对于以为底边的等腰及外一点C，若，直线中，其中一条经过点O，另一条与的腰垂直，则称点C是的“关联点”．如图，已知点，，，则点就是的“关联点”．若点是的“关联点”，则线段的长是 ．
三、解答题
17．如图，己知平分，延长至点E使得，连结．
(1)若，求的度数．
(2)若，求的周长．
18．某运动会本着环保、舒适、温馨的出发点，对运动员休息区进行了精心设计．如图，四边形为休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道．经测量，，，．
(1)求氢能源环保电动步道的长；
(2)证明：．
19．已知在等腰中，，．
(1)若将的腰不变，底变为12，请你判断这两个等腰三角形面积是否相等，并说明理由；
(2)已知底边上高增加x，腰长增加时，底却保持不变，求此时x的值．
20．如图是6×5的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，回答下列问题．（要求：作图只用无刻度的直尺）
(1)边的长度为 ；
(2)作的角平分线；
(3)已知点P在线段上，点Q在（2）作出的线段上，当的长度最小时，在网格中作出．
21．如图，在中，，，，点和点在的边上运动，动点从点出发运动到点后停止，速度为每秒；动点从点出发运动到点，再从点运动到点后停止，速度为每秒；两点同时开始运动，设运动时间为秒．
(1)当时， （直接填空）；
(2)当点在边上运动，且是等腰三角形时，求的值；
(3)当点在边上运动，且是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值．
22．如图，点M，N分别是边长为的等边边上的动点，点M从顶点A沿向点C运动，点N同时从顶点C沿向点B运动，它们的速度都为，当到达终点时停止运动，设它们的运动时间为1秒，连接交于点D.
(1)如图甲，求证：；
(2)如图乙，连接，若，探究与之间的数量关系，并证明；
(3)如图丙，在点M，N运动的过程中，是否存在以点M，N，C为顶点的三角形是直角三角形的情况，若存在，请直接写出对应的运动时间t的值；若不存在，请说明理由.
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，根据题意可知，在长方形内，最长的线段为其对角线的长度，根据勾股定理进行求解即可.
【详解】解：如图，
四边形是矩形，，，
，
小明在游泳池中沿直线最远可以游的长，
在中，由勾股定理得：，
故选：C．
2．B
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理即可得到结论，熟练掌握勾股定理是解题关键．
【详解】解：由勾股定理得，需要钢索的长度，
故选：．
3．C
【分析】本题考查的是平面展开最短路径问题，解题的关键是先把树干当作圆柱体从侧面展开，求出葛藤绕树干盘旋1圈时上升的高度，进而可得出结论．
【详解】解：葛藤绕树干盘旋2圈升高为，
葛藤绕树干盘旋1圈升高为，
如图所示：
．
这段葛藤的长．
故选：C．
4．C
【分析】本题考查等积法求线段的长与勾股定理．先由勾股定理计算出，再根据等面积法求解即可，掌握等积法，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵是斜边的高，
∴，
∴，
∴；
故选C．
5．C
【分析】本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定，勾股定理；
由作图知，平分，求得，，故，不符合题意；连接，根据全等三角形的判定和性质定理得到，，根据勾股定理得到，求得，得到：：：，故不符合题意；根据勾股定理得到，求得：：，即可求解．
【详解】解：由作图知，平分，
，，故A，B不符合题意；
连接，
，
，
，，
，，
，，
：：：，故D不符合题意；
，
，
，
：：，故C符合题意；
故选：C．
6．B
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，根据三角形内角和为180度求出三个内角中最大的内角的度数即可判断A、B；三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此可判断C、D．
【详解】解：A：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故A不符合题意；
B、∵，
∴可设，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴不是直角三角形，故B符合题意；
C、∵，
∴，
∴是直角三角形，故C不符合题意；
D、∵，
∴可设，
∴，
∴是直角三角形，故D不符合题意；
故选：B．
7．A
【分析】本题考查了勾股定理及折叠的性质，熟练掌握勾股定理的解本题的关键．由勾股定理可求出，根据折叠的性质可得出，进而可直接由求解．
【详解】解：在中，，
根据折叠的性质可知：．
∴．
故选：A．
8．C
【分析】本题考查三角形全等的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，根据等边得到，，根据得到，，结合，，即可判断各项，即可得到答案；
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，，，
∴是等边三角形，
∵，，，
∴，，，
∴
∴是直角三角形，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故①②③正确，④错误，
故选：C．
9．6或7.5
【分析】本题主要考查了勾股定理，及求直角三角形的面积．注意分类讨论是解题的关键．
【详解】①若3为直角边，5为斜边，
则另一直角边=，
则此直角三角形的面积为：；
②若3和5都为直角边，
则此直角三角形的面积为：．
故答案为：6或7.5．
10．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的性质，以为边作等边三角形，连接，先证明，得，再在中，根据勾股定理即可．
【详解】解：如图以为边作等边三角形，连接，
，
，
在等边中，，，
，即，
，
，
在中，，
故答案为：．
11． 90 10
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定以及勾股定理．先根据题意证明得到，，得到，再由，，求出后，利用勾股定理求即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：90，10．
12．
【分析】展开成平面图形，根据勾股定理，即可求解，本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是：利用两点之间线段最短．
【详解】解：将台阶展开成平面图形：
在中，，，
，
其爬行的最短长度，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了折叠，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．折叠，得到，证明，得到，进而得到，设，在中，利用勾股定理进行求解，进而求出的长．
【详解】解：∵长方形纸片，
∴，
∵折叠，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
设，则：，，
∴，
在，，即：，
解得：，
∴．
故答案为：．
14． 45
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等知识．
（1）设，由等腰三角形的性质可得，，再根据三角形外角的性质求解即可；
（2）连接，则易得，；由勾股定理求出，再由等腰三角形性质及勾股定理求得，即可得结果．
【详解】（1）解：设，
，，
．
，，
∴，
．
（2）解：如图，连接．
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
，
；
，，
由勾股定理得：，
．
15．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，先根据角角边证明，继而得出，再根据勾股定理求出的长度，根据的周长为求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：∵平分，
∴,
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴的周长为，
故答案为：．
16．/
【分析】此题考查了勾股定理，过点Q作轴于点A，利用勾股定理求出，利用面积法求出的长，勾股定理求出，得到，再根据勾股定理求出线段的长．
【详解】如图，过点Q作轴于点A，
∵是的“关联点”， ，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；
（1）根据角平分线定义求出，再根据三线合一得出答案；
（2）证明，可得，根据三线合一求出，再利用勾股定理求出即可．
【详解】（1）解：∵，平分，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，，
∴的周长．
18．(1)15
(2)见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理：
（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）利用勾股定理的逆定理证明，进而得到即可得到结论．
【详解】（1）解：∵，，，
∴在中，由勾股定理得，
∴氢能源环保电动步道的长是15．
（2）证明：∵，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴．
19．(1)相等，理由见解析
(2)．
【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，画出图形根据勾股定理求出三角形的高是解题关键．
（1）先求出两个等腰三角形的高，然后求出两个三角形的面积即可解答；
（2）根据勾股定理列出方程即可解答．
【详解】（1）解：相等，过点作，如图：
，．
，
，
，
过点作，如图：
，．
，
，
，
这两个等腰三角形面积相等；
（2）解：底边上高增加，腰长增加时，底却保持不变，
，
解得．
20．(1)5
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据勾股定理即可求解；
（2）取出线段的中点，连接，即为的角平分线；
（3）作于P，交于点Q，连接，即为所求的三角形．
【详解】（1）解：根据勾股定理得．
故答案为：5；
（2）如图，即为所求；
；
证明：∵，
∴，
∵为线段的中点，
∴是的角平分线；
（3）解：如图，即为所求的三角形．
证明：∵，为线段的中点，
∴；
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴当点B、Q、P在同一直线上，且时，的长度最小，
∴如图所示即为所求的三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短等知识，熟知相关知识，并根据网格的特点灵活应用是解题关键．
21．(1)
(2)
(3)当运动时间为3秒或秒时，为是以为腰的等腰三角形．
【分析】本题为三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．
（1）可求得和，则可求得，在中，由勾股定理可求得的长；
（2）用可分别表示出和，根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得；
（3）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和两种情况，分别得到关于的方程，可求得的值．
【详解】（1）解：当时，则，，
，
，
在中，由勾股定理可得，
故答案为：；
（2）解：由题意可知，，
，
，
当为等腰三角形时，因，则有，
即，
解得，
出发秒后能形成等腰三角形；
（3）解：在中，由勾股定理可求得，
当点在上时，，
，
是以为腰的等腰三角形，
有和两种情况，
如图，
①当时，则，
解得；
②当时，则，
，
，
，
，
，
解得；
综上，可知当运动时间为3秒或秒时，为是以为腰的等腰三角形．
22．(1)见详解
(2)，理由见详解
(3)或，理由见详解
【分析】（1）根据可证明；
（2）在上截取，证明，得出，证出，则可得出结论；
（3）分两种情况，由直角三角形的性质可得出答案．
【详解】（1）解：证明：∵点M从顶点A沿向点C运动，点N同时从顶点C沿向点B运动，它们的速度都为，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）解：，
理由如下：在上截取，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：存在．或，
理由如下，
由题意可得，
∴
∵以点为顶点的三角形是直角三角形，
当时，
∵，
∴，
∴
即
解得：，
当，
∵，
∴，
∴
即：
解得：，
综上所述，或，时，以点为顶点的三角形是直角三角形．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
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2023-2024学年数学人教版八年级下册第十七章勾股定理经典题型
一、单选题
1．从2024年开始，各地逐步开展中小学游泳课，小明在一个长方形的游泳池里练习游泳，长方形的长和宽分别为60m，25m，小明在游泳池中沿直线最远可以游（ ）
A．25m B．60m C．65m D．
2．如图，从电线杆离地面处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部，需要钢索的长度为（ ）m．
A．9 B．10 C．11 D．12
3．葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上．把树干看成圆柱体，如图是葛藤盘旋1圈的示意图．现有一段葛藤绕树干盘旋2圈升高，树干底面周长是，则这段葛藤的长是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是斜边的高，则（ ）
A．3 B． C． D．5
5．如图，在中，，用直尺和圆规作图，交于点，根据作图痕迹，下列结论错误的是( )
A． B． C． D．
6．在中，的对边分别为．下列所给数据中，不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
8．如图，是等边内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论：①是等边三角形；②是直角三角形；③；④，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．直角三角形一边长是3，另一边长是5，则此直角三角形的面积为 ．
10．如图，中，，，以为边向右作等边，连接，则线段的长为 ．
11．如图，和都是等腰直角三角形，，点D在边上，则等于 度；若，，则的长等于 ．
12．如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是、长是、宽是，一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是 ．
13．如图， 长方形纸片，，，点P在边上，将沿折叠，点D落在E处，，分别交于点O，F， 且， 则长为
14．如图，四边形的对角线相交于点，过点作于点，与交于点．请完成下列问题：
（1） ；
（2）若，则的长为 ．
15．如图，在中，，，平分，于点，则的周长为 ．
16．在平面直角坐标系中，给出如下定义：对于以为底边的等腰及外一点C，若，直线中，其中一条经过点O，另一条与的腰垂直，则称点C是的“关联点”．如图，已知点，，，则点就是的“关联点”．若点是的“关联点”，则线段的长是 ．
三、解答题
17．如图，己知平分，延长至点E使得，连结．
(1)若，求的度数．
(2)若，求的周长．
18．某运动会本着环保、舒适、温馨的出发点，对运动员休息区进行了精心设计．如图，四边形为休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道．经测量，，，．
(1)求氢能源环保电动步道的长；
(2)证明：．
19．已知在等腰中，，．
(1)若将的腰不变，底变为12，请你判断这两个等腰三角形面积是否相等，并说明理由；
(2)已知底边上高增加x，腰长增加时，底却保持不变，求此时x的值．
20．如图是6×5的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，回答下列问题．（要求：作图只用无刻度的直尺）
(1)边的长度为 ；
(2)作的角平分线；
(3)已知点P在线段上，点Q在（2）作出的线段上，当的长度最小时，在网格中作出．
21．如图，在中，，，，点和点在的边上运动，动点从点出发运动到点后停止，速度为每秒；动点从点出发运动到点，再从点运动到点后停止，速度为每秒；两点同时开始运动，设运动时间为秒．
(1)当时， （直接填空）；
(2)当点在边上运动，且是等腰三角形时，求的值；
(3)当点在边上运动，且是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值．
22．如图，点M，N分别是边长为的等边边上的动点，点M从顶点A沿向点C运动，点N同时从顶点C沿向点B运动，它们的速度都为，当到达终点时停止运动，设它们的运动时间为1秒，连接交于点D.
(1)如图甲，求证：；
(2)如图乙，连接，若，探究与之间的数量关系，并证明；
(3)如图丙，在点M，N运动的过程中，是否存在以点M，N，C为顶点的三角形是直角三角形的情况，若存在，请直接写出对应的运动时间t的值；若不存在，请说明理由.
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，根据题意可知，在长方形内，最长的线段为其对角线的长度，根据勾股定理进行求解即可.
【详解】解：如图，
四边形是矩形，，，
，
小明在游泳池中沿直线最远可以游的长，
在中，由勾股定理得：，
故选：C．
2．B
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理即可得到结论，熟练掌握勾股定理是解题关键．
【详解】解：由勾股定理得，需要钢索的长度，
故选：．
3．C
【分析】本题考查的是平面展开最短路径问题，解题的关键是先把树干当作圆柱体从侧面展开，求出葛藤绕树干盘旋1圈时上升的高度，进而可得出结论．
【详解】解：葛藤绕树干盘旋2圈升高为，
葛藤绕树干盘旋1圈升高为，
如图所示：
．
这段葛藤的长．
故选：C．
4．C
【分析】本题考查等积法求线段的长与勾股定理．先由勾股定理计算出，再根据等面积法求解即可，掌握等积法，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵是斜边的高，
∴，
∴，
∴；
故选C．
5．C
【分析】本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定，勾股定理；
由作图知，平分，求得，，故，不符合题意；连接，根据全等三角形的判定和性质定理得到，，根据勾股定理得到，求得，得到：：：，故不符合题意；根据勾股定理得到，求得：：，即可求解．
【详解】解：由作图知，平分，
，，故A，B不符合题意；
连接，
，
，
，，
，，
，，
：：：，故D不符合题意；
，
，
，
：：，故C符合题意；
故选：C．
6．B
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，根据三角形内角和为180度求出三个内角中最大的内角的度数即可判断A、B；三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此可判断C、D．
【详解】解：A：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故A不符合题意；
B、∵，
∴可设，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴不是直角三角形，故B符合题意；
C、∵，
∴，
∴是直角三角形，故C不符合题意；
D、∵，
∴可设，
∴，
∴是直角三角形，故D不符合题意；
故选：B．
7．A
【分析】本题考查了勾股定理及折叠的性质，熟练掌握勾股定理的解本题的关键．由勾股定理可求出，根据折叠的性质可得出，进而可直接由求解．
【详解】解：在中，，
根据折叠的性质可知：．
∴．
故选：A．
8．C
【分析】本题考查三角形全等的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，根据等边得到，，根据得到，，结合，，即可判断各项，即可得到答案；
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，，，
∴是等边三角形，
∵，，，
∴，，，
∴
∴是直角三角形，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故①②③正确，④错误，
故选：C．
9．6或7.5
【分析】本题主要考查了勾股定理，及求直角三角形的面积．注意分类讨论是解题的关键．
【详解】①若3为直角边，5为斜边，
则另一直角边=，
则此直角三角形的面积为：；
②若3和5都为直角边，
则此直角三角形的面积为：．
故答案为：6或7.5．
10．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的性质，以为边作等边三角形，连接，先证明，得，再在中，根据勾股定理即可．
【详解】解：如图以为边作等边三角形，连接，
，
，
在等边中，，，
，即，
，
，
在中，，
故答案为：．
11． 90 10
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定以及勾股定理．先根据题意证明得到，，得到，再由，，求出后，利用勾股定理求即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：90，10．
12．
【分析】展开成平面图形，根据勾股定理，即可求解，本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是：利用两点之间线段最短．
【详解】解：将台阶展开成平面图形：
在中，，，
，
其爬行的最短长度，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了折叠，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．折叠，得到，证明，得到，进而得到，设，在中，利用勾股定理进行求解，进而求出的长．
【详解】解：∵长方形纸片，
∴，
∵折叠，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
设，则：，，
∴，
在，，即：，
解得：，
∴．
故答案为：．
14． 45
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等知识．
（1）设，由等腰三角形的性质可得，，再根据三角形外角的性质求解即可；
（2）连接，则易得，；由勾股定理求出，再由等腰三角形性质及勾股定理求得，即可得结果．
【详解】（1）解：设，
，，
．
，，
∴，
．
（2）解：如图，连接．
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
，
；
，，
由勾股定理得：，
．
15．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，先根据角角边证明，继而得出，再根据勾股定理求出的长度，根据的周长为求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：∵平分，
∴,
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴的周长为，
故答案为：．
16．/
【分析】此题考查了勾股定理，过点Q作轴于点A，利用勾股定理求出，利用面积法求出的长，勾股定理求出，得到，再根据勾股定理求出线段的长．
【详解】如图，过点Q作轴于点A，
∵是的“关联点”， ，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；
（1）根据角平分线定义求出，再根据三线合一得出答案；
（2）证明，可得，根据三线合一求出，再利用勾股定理求出即可．
【详解】（1）解：∵，平分，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，，
∴的周长．
18．(1)15
(2)见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理：
（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）利用勾股定理的逆定理证明，进而得到即可得到结论．
【详解】（1）解：∵，，，
∴在中，由勾股定理得，
∴氢能源环保电动步道的长是15．
（2）证明：∵，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴．
19．(1)相等，理由见解析
(2)．
【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，画出图形根据勾股定理求出三角形的高是解题关键．
（1）先求出两个等腰三角形的高，然后求出两个三角形的面积即可解答；
（2）根据勾股定理列出方程即可解答．
【详解】（1）解：相等，过点作，如图：
，．
，
，
，
过点作，如图：
，．
，
，
，
这两个等腰三角形面积相等；
（2）解：底边上高增加，腰长增加时，底却保持不变，
，
解得．
20．(1)5
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据勾股定理即可求解；
（2）取出线段的中点，连接，即为的角平分线；
（3）作于P，交于点Q，连接，即为所求的三角形．
【详解】（1）解：根据勾股定理得．
故答案为：5；
（2）如图，即为所求；
；
证明：∵，
∴，
∵为线段的中点，
∴是的角平分线；
（3）解：如图，即为所求的三角形．
证明：∵，为线段的中点，
∴；
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴当点B、Q、P在同一直线上，且时，的长度最小，
∴如图所示即为所求的三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短等知识，熟知相关知识，并根据网格的特点灵活应用是解题关键．
21．(1)
(2)
(3)当运动时间为3秒或秒时，为是以为腰的等腰三角形．
【分析】本题为三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．
（1）可求得和，则可求得，在中，由勾股定理可求得的长；
（2）用可分别表示出和，根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得；
（3）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和两种情况，分别得到关于的方程，可求得的值．
【详解】（1）解：当时，则，，
，
，
在中，由勾股定理可得，
故答案为：；
（2）解：由题意可知，，
，
，
当为等腰三角形时，因，则有，
即，
解得，
出发秒后能形成等腰三角形；
（3）解：在中，由勾股定理可求得，
当点在上时，，
，
是以为腰的等腰三角形，
有和两种情况，
如图，
①当时，则，
解得；
②当时，则，
，
，
，
，
，
解得；
综上，可知当运动时间为3秒或秒时，为是以为腰的等腰三角形．
22．(1)见详解
(2)，理由见详解
(3)或，理由见详解
【分析】（1）根据可证明；
（2）在上截取，证明，得出，证出，则可得出结论；
（3）分两种情况，由直角三角形的性质可得出答案．
【详解】（1）解：证明：∵点M从顶点A沿向点C运动，点N同时从顶点C沿向点B运动，它们的速度都为，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）解：，
理由如下：在上截取，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：存在．或，
理由如下，
由题意可得，
∴
∵以点为顶点的三角形是直角三角形，
当时，
∵，
∴，
∴
即
解得：，
当，
∵，
∴，
∴
即：
解得：，
综上所述，或，时，以点为顶点的三角形是直角三角形．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
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