2023-2024学年数学人教版八年级下册第十六章二次根式精选题（含解析）

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2023-2024学年数学人教版八年级下册第十六章二次根式精选题
一、单选题
1．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
2．化简的结果是（ ）
A． B．3 C．3 D．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列二次根式，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
5．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．与的结果不相等的是（　　）
A． B． C． D．
7．估计的值在（　　）
A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间
8．如图，则化简 的结果为（　　）
A． B．1 C． D．
二、填空题
9．计算：
10．计算：
11．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ．
12．若，则，，，按从小到大的顺序排列为 ．
13．，则 ．
14．已知，，则的平方根为 ．
15．已知，化简： ．
16．已知正整数满足不等式，则的最大值与最小值之差为 ．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．已知 ，求代数式 的值．
19．已知：，．求值：
(1)；
(2)．
20．在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)化简：；
(2)若，求的值．
21．观察下列等式：
①；②；
③；
…．
回答下列问题：
(1)仿照上列等式，写出第n个等式：________；
(2)利用你观察到的规律，化简：________；
(3)直接比较大小：________
(4)计算：．
22．某校有一块形状为正方形的绿地，边长为米，现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为米，宽为米，除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为8元/平方米的地砖，如果要铺完整个通道，那么购买地砖需要花费多少元？（参考数据：）

参考答案：
1．D
【分析】根据最简二次函数的特征：被开方数不含分母，不含能开方开的尽的因式或因数，进行判断即可．
【详解】解：A、被开方数含有分母，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，是最简二次根式，符合题意；
故选D．
2．D
【分析】本题考查二次根式的运算，涉及到最简二次根式与同类二次根式的概念，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．先根据二次根式加减运算法则进行化简，然后再利用加减运算法则进行计算即可．
【详解】解：
＝
＝．
故选：D．
3．D
【分析】本题考查二次根式的计算，根据二次根式的性质可判断选项A；根据二次根式的性质可判断选项B；根据二次根式的除法可判断选项C；根据二次根式的乘法可判断选项D．熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：D．
4．B
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，根据化成最简式后，且被开方数相同，判定计算即可．
【详解】∵，
∴被开方数是3，
A. ，是同类二次根式，能合并，不符合题意；
B. ，不是同类二次根式，不能合并，符合题意；
C. ，是同类二次根式，能合并，不符合题意；
D. ，是同类二次根式，能合并，不符合题意；
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质．根据二次根式的被开方数是非负数，二次根式的值是非负数，可得答案．
【详解】解：∵；
∴，；
解得：；
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先计算出，再计算各选项所给式子，进而得到答案，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解此题的关键．
【详解】解：，
A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意．
故选：C．
7．C
【分析】本题考查了二次根式的相关计算、估计无理数的大小范围，解题的关键利用“平方法”来估计无理数的大小范围．
先把原式化简得，然后再判断该结果在哪两个自然数之间．
【详解】解：原式
∵，即，
∴．
故选：C．
8．D
【分析】本题考查数轴、化简绝对值和化简二次根式，先从数轴判断出a的取值范围，在依次化简绝对值和二次根式即可得到答案．
【详解】解：由题意得，
∴，
∴，
故选：D．
9．
【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，进行化简即可．
【详解】解：；
故答案为：．
10．
【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据混合运算法则，进行计算即可．
【详解】解：原式；
故答案为：．
11．5
【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方求解．
【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式，
，
解得：，
故答案为：5．
12．
【分析】本题考查了二次根式的性质，实数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较方法是解题的关键．
根据的取值范围，设，分别求出，，的值，比较大小即可求解．
【详解】解：∵，
∴设，
则，故，
，，
∵，，，
∴；
即．
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了二次根式，算术平方根，不等式等知识．熟练掌握两个式子相等，对应部分相等，是解决问题的关键．
先去括号，根据含部分对应相等，得到，根据剩余部分对应相等，得到，即得．
【详解】∵
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴符合，
∴
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了二次根式的性质、双重非负性以及求一个数的平方根，先因为，得出，即可化简得，算出的值，因为，得，求出的值、的值，代入，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
则原式，
解得，
∵，
∴，
∴，
则，
∴，
则的平方根为，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值的性质，熟练掌握二次根式和绝对值的性质是解题的关键．
根据的取值范围得出，，根据二次根式的性质和绝对值的性质化简即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴
，
故答案为：．
16．15
【分析】本题考查了分数有理化，找出规律得出，进而得出答案．
【详解】解：，
原不等式可化为，
解得，
， ，．
故答案为：15．
17．(1)
(2)
【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
（1）直接化简二次根式，再合并得出答案；
（2）先利用平方差公式进行乘法运算，同时进行除法运算后化简，进而得出答案；
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．
【分析】本题考查二次根式的化简求值，先化简代数式，再将进行分母有理化后的值代入，计算即可．
【详解】解：原式，
∵，
∴，
∴原式．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查的是二次根式的加法，二次根式的乘法运算，因式分解的应用．
（1）把，代入，再进行计算即可；
（2）先提取公因式，把分解因式，再整体代入计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴
．
20．(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则、分母有理化等知识点．
（1）进行分母有理化即可；
（2）参照题干给定的方法，先进行分母有理化，再求值即可．
【详解】（1）解：；
（2），
∴，
∴，
∴，
∴．
21．(1)
(2)
(3)
(4)9
【分析】此题考查了分母有理化，找出题中的规律是解本题的关键．
（1）仿照以上等式，写出第n个等式即可；
（2）利用得出的规律化简原式即可；
（3）原式利用得出的规律得：，，比较，即可得到结果；
（4）利用得出的规律化简原式，计算即可．
【详解】（1）解：由题意得：
第n个等式为：；
（2）解：原式，
故答案为：；
（3）解：由题意得： ，，
，
，
，
故答案为：；
（4）解：原式，
．
22．465.6元
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算的实际应用，根据题意求出通道的面积是解题的关键．先用正方形面积减去4个矩形的面积，计算出通道的面积，再根据“通道上要铺上造价为8元/平方米的地砖”即可求出购买地砖需要的花费．
【详解】解：通道的面积为
（平方米），
∴购买地砖需要花费元．
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