2023-2024学年数学人教版八年级下册第十六章二次根式经典题型（含解析）

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2023-2024学年数学人教版八年级下册第十六章二次根式经典题型
一、单选题
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．若 有意义，则x是怎样的实数（ ）
A． B． C． D．
4．化简二次根式的结果是( )
A． B． C． D．
5．已知为实数，，则的算术平方根为（ ）
A． B． C． D．
6．若，则代数式的值为（　　）
A． B．2019 C． D．2023
7．如图所示，点，点分别在坐标轴上，第一象限中的点P坐标为，且满足，则a的值为（　　）
A．2 B． C． D．
8．实数和在数轴上如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．计算： ．
10．写一个实数，使运算的结果为有理数，可以是 （写出一个即可）．
11．已知，则 ．
12．计算： ．
13．若最简二次根式与可以加减合并，则的值是 ．
14．已知，则的值是 ．
15．若a，b满足，则点在第 象限．
16．设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式： （海伦公式），（秦九韶公式），若一个三角形的三边长依次为2，，，则三角形的面积为 ．
三、解答题
17．化简：
(1)；
(2)；
(3)．
18．计算：
(1)
(2)
19．先化简，再求值：．其中，．
20．阅读题：阅读下面的文字，解答问题．
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
请解答：已知：，其中是整数，且，求的相反数．
21．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，且，满足，点的坐标为．
(1)求，的值及．
(2)若点在轴上，且；，试求点的坐标．
22．【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数a、b，有，所以，即（当且仅当时取到等号）．特别地，（当且仅当时取到等号）．因此，当时，有最小值2，此时．
【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有两题不会，请你帮一帮他．
（1）函数的最大值为________．
（2）求函数的最小值，并写出取最小值时x的值．
【猜想提升】小明由上述的提出猜想：（当且仅当时取到等号）．
通过查阅资料，他惊奇地发现这个猜想是正确的，请你利用小明这个猜想解答下面的问题．
（3）设a，b，c是非负实数，求的最小值．
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不能含有分母，分母中不含有根号，即可解答．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、是最简二次根式，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：B．
2．D
【分析】本题考查的是二次根式的性质，合并同类二次根式，二次根式的乘法与除法，掌握以上运算是解题的关键．由二次根式的性质判断A，由合并同类二次根式判断B，由二次根式的除法判断C，由二次根式的乘法判断D即可．
【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意；
B． ，原计算错误，不符合题意；
C． ，原计算错误，不符合题意；
D．，原计算正确，符合题意，
故选：D．
3．C
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）是解题关键．根据二次根式有意义的条件列不等式求解．
【详解】解：根据题意，得，
解得．
故选：C．
4．B
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，化为最简二次根式，先判断，再化简即可．
【详解】解：由，
∴且，
∴；
∴
；
故选：B．
5．A
【分析】本题考查二次根式有意义的条件以及算术平方根的定义，根据二次根式有意义的条件即可求出a与b的值，再计算的值，求算术平方根即可．
【详解】由题意可知： ，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴的算术平方根是2，
故选：A．
6．D
【分析】本题主要考查了二次根式运算、代数式求值以及运用完全平方公式进行计算，熟练中午那个相关运算法则和运算公式是解题关键．根据题意可得，然后将整理为，代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：D．
7．C
【分析】此题考查了坐标与图形、三角形的面积等知识，数形结合和添加合适辅助线是解题的关键．连接，过点P作轴于点C，过点P作轴于点D，根据已知得到，然后根据面积关系进行计算即可．
【详解】解：连接，过点P作轴于点C，过点P作轴于点D，
∵点，点，点P坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
故选：C
8．D
【分析】本题考查了实数与数轴、二次根式得性质与化简，根据数轴可知，，，再根据化简，最后合并同类项即可得答案，熟练掌握是解题的关键．
【详解】解：由数轴可知，，，
，，
．
故选：．
9．
【分析】本题考查二次根式的除法，利用二次根式的除法法则进行计算，是解题的关键．
【详解】解：原式；
故答案为：．
10．（答案不唯一）．
【分析】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的运算法则是关键．根据平方差公式计算即可．
【详解】解：．
可以是（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
11．
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，积的乘方，幂的乘方逆用法则，熟记二次根式被开方数为非负数并熟练掌握积的乘方，幂的乘方逆用法则是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件求出x，进而得出y，根据积的乘方，幂的乘方逆用法则将变形为，代入x，y求解即可．
【详解】解：
∵，即，
解得：，
∴，
∴，
将，代入，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及平方差公式的应用，掌握二次根式混合运算的运算法则和平方差公式是解答本题的关键．先将乘方展开，然后用平方差公式计算即可．
【详解】解：
=
=
=．
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了最简二次根式和同类二次根式的知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得，求解即可．
【详解】解：根据题意得，，
解得，
故答案为：．
14．或
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，此题的难点在于需考虑两种情况．由已知条件可知，本题有两种情况需要考虑：，；，．
【详解】解：当，时，
原式；
当，时，
原式．
故答案为：或 ．
15．四
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及平面直角坐标系中点的坐标特征．根据二次根式有意义的条件（被开方数是非负数）可得a的值，进而得出b的值，再根据各个象限的点的坐标特征判断即可．
【详解】解：∵a，b满足，
∴，
解得，
∴，
∴为在第四象限．
故答案为：四．
16．
【分析】本题考查代数式求值，二次根式的应用．正确计算是解题关键．理解题意，掌握海伦公式和秦九韶公式是解题关键．
【详解】解：利用海伦公式求解：，
，
，
，
∴，
；
利用秦九韶公式：
．
17．(1)当时，；当时，
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式的性质．根据二次根式的性质化简即可．
【详解】（1）解：当时，，
当时，；
（2）；
（3）．
18．(1)
(2)
【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
（1）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的乘法运算法则，最后利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
19．，
【分析】本题考查了整式乘法的混合运算，二次根式的性质，掌握运算法则是解题关键．先去括号，再合并同类项，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【详解】解：
，
当，时，原式．
20．同意小明的表示方法；
【分析】本题主要考查无理数、相反数等．解题关键是确定无理数的整数部分和小数部分．根据题意确定出等式左边的整数部分得到x的值，进而求出y的值，即可求出所求．
【详解】解：同意小明的表示方法．
，
，
无理数的整数部分是，
即，
无理数的小数部分是，
即，
，
的相反数为．
21．(1)，，
(2)符合条件的点有两个和
【分析】本题考查了二次根式的定义，坐标与图形：
（1）根据二次根式有意义的条件求出、的值，再根据坐标找到线段长，利用面积公式求出面积即可．
（2）利用面积公式计算出点的坐标即可．
【详解】（1）∵有意义，
∴，
，
∴，
，
∴，
∵点的坐标为，
∴，
∴．
（2）解：设的坐标为，
，
，
，
时，，
时，．
符合条件的点的坐标为或．
22．（1）
（2）8
（3）2
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，二次根式的性质，不等式性质，熟练掌握完全平方公式和基本不等式的性质是解题的关键．
（1）变形得，则有，即可求解．．
（2）变形得，则有，，即可求解．
（3）变形得，则有，即，即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴y有最大值；
（2）∵，
∴，
∴y有最小值；
（3）∵，
∵a，b，c是非负实数，
∴，
∴，
∴的最小值为2，
∴的最小值为2．
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