2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用经典题型（含解析）

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2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用经典题型
一、单选题
1．已知函数，若满足，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．一个矩形铁皮的长为，宽为，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，若记小正方形的边长为，小盒子的容积为，则（ ）
A．当时，V取得最小值 B．当时，V取得最大值
C．当时，V取得最小值 D．当时，V取得最大值
3．某同学利用电脑软件将函数，的图象画在同一直角坐标系中，得到了如图所示的“心形线”．观察图形，当时，的导函数的图象为（ ）

A． B．
C． D．
4．若函数在点处的切线的斜率为1，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知某物体的运动方程是（的单位为），该物体在时的瞬时加速度是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，则（ ）．
A． B．0 C．1 D．2
7．已知函数有两个不同的极值点,则下列说法不正确的是（ ）
A．的取值范围是 B．是极小值点
C．当时， D．
8．已知的三个内角分别为、、，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数的极小值点为0，极大值点为，且极大值为0，则（ ）
A． B．
C．存在，使得 D．直线与曲线有3个交点
10．已知（其中为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）
A．为函数的导函数，则方程有3个不等的实数解
B．
C．若对任意，不等式恒成立，则实数的最大值为-1
D．若，则的最大值为
11．已知函数，为的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为 .
13．设是函数的两个极值点，若，则的范围为 .
14．已知直线与曲线相切，切点为，与曲线也相切，切点是，则的值为 ．
四、解答题
15．已知函数
(1)求在处的切线方程;
(2)记函数
①当时， 求证: 不恒成立；
②若 恒成立，求实数a的最大值.
16．设a为实数，函数．
(1)求的极值；
(2)对于，都有，试求实数a的取值范围．
17．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，求函数在区间上的最值．
18．已知函数.
(1)求在上的最大值；
(2)若关于的不等式恒成立，求的取值范围.
19．已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，求证：.
参考答案：
1．B
【分析】判断函数的奇偶性和单调性，结合函数性质将已知的不等式转化为，再利用奇偶性和单调性求解即可.
【详解】的定义域为，，
为偶函数，
，，
当时，，，，，
在上单调递增，
，
即，
即，也就是，
在单调递增且为偶函数，
，
，即，解得.
实数的取值范围为.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，解答本题的关键是得出为偶函数和在上单调递增，由对数的性质结合函数为偶函数将不等式化为，再由单调性求解.
2．B
【分析】求出小盒子的容积，通过求导判断函数的极值情况即可求解.
【详解】小盒子的容积为，
则，令，解得或（舍），
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得极大值也是最大值，无极小值，故B正确.
故选：B.
3．A
【分析】求出函数的定义域及函数值符号，分析函数在上的单调性及切线斜率的变化，即可得出合适的选项.
【详解】因为，，
所以函数的图象为“心形线”中轴及下方的部分．
由，得，可得，解得.
所以，函数的定义域为，且，
由题图可知函数在上单调递增，即当时，，故排除BC．
又函数在时的图象的切线斜率先减小后增大，故函数的值先减小后增大，
故只有A选项符合题意，
故选：A．
4．C
【分析】利用导数的几何意义可得出，利用基本不等式可求得的最大值.
【详解】由已知，所以，
，得，所以，
当且仅当时等号成立．
故选:C．
5．C
【分析】由题意依次求导代入即可得解.
【详解】由题意，，
所以.
故选：C.
6．D
【分析】根据导数的定义及导数的运算求解即可.
【详解】由题意，，故.
故选：D
7．A
【分析】由题意得方程在上有两根，构造函数，求导得出的单调性，由此即可进一步得出的最值，的范围，由此即可判断A，对于BC，由A选项分析可得，由此即可进一步得出的单调性即可判断；对于D，由变形即可判断.
【详解】令，
由题意方程在上有两根，
设，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，
当时，，当时，，
所以的取值范围是，故A符合题意；
由A选项分析可知，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以是极小值点，故BC不符合题意；
对于D，因为，所以，故D不符合题意.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：判断A选项的关键是得出，当时，，当时，，由此即可顺利得解.
8．D
【分析】证明出，可得出，即可得出合适的选项.
【详解】令，其中，则，
当时，，即函数在上单调递减，
当时，，即函数在上单调递增，
所以，，则，
由已知可得、、，
所以，，
故选：D.
9．AD
【分析】根据函数的极值点，确定方程的根的情况，利用韦达定理得，即得到，再依据，解出，即可判断A，B选项；根据函数解析式判断C选项；根据函数图像判断D选项.
【详解】因为，令，
则且的极小值点为0，
极大值点为，所以和为方程的两个根，
所以，且，所以
所以所以，
又因为，即，
化简为，，，所以，
解得，所以，所以A正确，B错误；
因为，所以恒成立，所以C错误；
函数的图象如图所示，因为，
所以直线与曲线有3个交点，所以D正确．
故选：AD．
10．AC
【分析】对于A，只需判断或的根的个数和即可，通过求导研究的性态画出图象即可得解；对于B，由单调递增，故只需判断函数有无零点即可；对于C，首先得在上单调递增，转换成在上恒成立验算即可；对于D，根据单调性得，将问题转换成求的最大值即可.
【详解】
对于A，若，则或，
而，，
所以当时，，即单调递减，当时，，即单调递增，
所以，而，
所以方程有3个不等的实数解，故A正确；
对于B，若，由A选项分析可知，即单调递增，
所以，令，，所以单调递增，
所以，矛盾，故B选项错误；
对于C，由B选项分析可知在上单调递增，而由复合函数单调性可知在上单调递增，
若对任意，不等式恒成立，则，
即在上恒成立，
令，当时，，令，
则，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
因为在上恒成立，
所以，即，故C正确；
对于D，若，
又在上单调递增，所以，
所以，
所以，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，即的最大值为，故D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点睛：判断A选项的关键是数形结合，判断BCD的关键是首先根据单调性“去括号”，然后转换成恒成立问题或最值问题即可顺利得解.
11．ABD
【分析】根据已知函数，求出导函数，依次代入验证各选项的正确性即可.
【详解】由已知得
，故A正确：
，故B正确；
，而，所以不成立，故C错误；
，故D正确：
故选：ABD
12．/
【分析】由题意得，在点的切线和直线平行时，点到直线的距离最小，用导数法求出切点坐标，再用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】由题意，点是曲线上任意一点，
则在点的切线和直线平行时，点到直线的距离最小，
设，则的定义域为，，
直线的斜率为，
令，解得或（舍），
因为，所以点，
此时点到直线的距离最小为.
故答案为：.
13．
【分析】根据极值点定义可将问题转化为与有两个不同交点；利用导数可求得单调性，并由此得到的图象；采用数形结合的方式可确定且；假设，由可确定，进而得到的值，结合图象可确定的取值范围.
【详解】由，可得，
因为是函数的两个极值点，
所以是的两根，当时，方程不成立，
故是的两根，即与的图象有两个交点，
令则，
当时，，当时，，
所以在单调递减；在上单调递增.
则图象如下图所示，

由图象可知：且
因为，所以，
当时，不妨令，
则，即，化简得，即，
当时，，
若，则，即的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：本题考查根据极值点求解参数范围问题，可将问题转化为已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)的问题，解决此类问题的常用的方法有：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
14．1
【分析】根据导数求出切线的斜率，得到切线方程，根据两切线相同列出等式即可得解.
【详解】设直线与曲线相切于，又，所以直线的斜率为，
则处的切线方程为，即；
直线与曲线相切于，，
可得切线方程为，
即，
因为直线与两条曲线都相切，所以两条切线相同，
则且，
则，即
可得，解得，
故答案为：.
15．(1)
(2)①见解析；②
【分析】（1）通过导数的几何意义计算即可；
（2）①对求导，讨论与的大小，可得即可证明；②将问题转化为恒成立，得出符合题意，再利用导数去证明其充分性即可.
【详解】（1），，
故，所以在处的切线方程为：.
即.
（2）①当，
，
令，，
所以在上单调递增，又因为，
所以存在，使得，
则当，，则，
当，，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
而，
所以不恒成立.
②因为，所以一定有，即（必要性）；
下证充分性，
当时，
令，
令，在上恒成立，
所以在上单调递增，，
所以，故在上单调递增，，
故，满足充分性.
综上，实数a的取值范围为.
所以实数a的最大值为.
【点睛】方法点睛：对于函数恒成立问题的处理方法有：必要性探路法、分离参数法、同构法等，需要较好的计算能力、分析能力，只有勤于总结练习才能更好的处理这类问题.
16．(1)极大值为，极小值为
(2)
【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极大值和极小值；
（2）分析可知，利用导数求得函数在上的最小值，求出函数在上的最大值，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为，，
令，可得或，列表如下：
递增 极大值 递减 极小值 递增
故函数的极大值为，极小值为.
（2）对于，，都有，则.
由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时，，
因为，且，则在上恒成立，
故函数在上单调递增，故，
由题意可得，故.
17．(1)答案见解析
(2)最小值为，最大值为
【分析】（1）根据条件得到，分，和三种情况讨论导函数的符号，即可得出结论；
（2）求出函数的导函数，根据导函数的符号求出函数的单调区间，再根据函数的单调性即可求得函数在区间上的最值.
【详解】（1）因为，所以，
①当时，恒成立，此时在R上单调递增；
②当时，由，解得或，由，得到，
此时在，上单调递增，在上单调递减；
③当时，由，解得或，由，得到，
此时在，上单调递增，在上单调递减．
（2）当时，，则，
由，得到或，
所以在上单调递减，在上单调递增．
又，，，
所以当时，函数在上的最小值为0，最大值为5．
18．(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，由函数的单调性判断在上的单调性作答.
（2）把给定不等式作等价变形，利用导数分段判断函数在，上值的符号即可作答.
【详解】（1）由求导得： ，
令，有在上单调递减，且，
当时，，即，则在上单调递增，
所以.
（2）依题意，，且，
令，，有，
，令，，
当时，由，得，则在上单调递增，
又，则当时，，，不合题意，
当时，在二次函数中，，
当，即时，图象对称轴，
图象与x轴正半轴有两个公共点，即有两个零点，且，
不妨设，则时，，有，在上单调递增，
当时，，，不合题意，
当，即时，，有，则在上单调递减，
当时，，，则，
当时，，，则，
综上得，当时，恒成立，所以k的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.
19．(1)单调递减区间为，单调递增区间为
(2)证明见解析
【分析】（1）利用二次求导法进行求解即可；
（2）利用二次求导法，结合放缩法、构造函数法、函数零点存在原理进行求解即可.
【详解】（1）当时，，
令，
，故在单调递增，
又时，时，
函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）当时，
令，则，
令
在单调递增，又，
，使得，且是在上的唯一零点，
在上为负，在上为正，
故在处取到极小值，也就是最小值.
，即
当时，.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用二次求导法和函数零点存在原理.
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