2023-2024学年高中数学苏教版必修第二册第10章三角恒等变换经典题型（含解析）

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2023-2024学年高中数学苏教版必修第二册第10章三角恒等变换经典题型
一、单选题
1．函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数的最小正周期为，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．若，则（ ）
A． B． C． D．
5．函数的相邻两条对称轴间的距离是（ ）
A．2π B．π
C． D．
6．函数在开区间的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
7．“夸父一号”是我国首颗综合性太阳探测卫星，于2022年10月9日在酒泉卫星发射中心成功发射．在北京时间2024年1月1日，“夸父一号”卫星的三台有效载荷成功地跟踪和记录了太阳耀斑的爆发．在探测的过程中，某信息的传递可以用函数来近似模拟信号，其中为常数，是自然对数的底数，当时，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数是偶函数
C．函数的最小正周期是
D．函数的单调递减区间是
8．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列计算中正确的是（ ）
A．已知，则=
B．
C．
D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．函数的最大值为
B．若，则
C．若，则
D．已知函数满足恒成立，则
11．已知函数，则（ ）
A．函数为偶函数
B．曲线的对称轴为
C．在区间单调递增
D．的最小值为
三、填空题
12．已知，则的值为 ．
13．若为锐角，且，则 ．
14．古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率.黄金分割率的值也可以用表示，即，设为正五边形的一个内角，则 .
四、解答题
15．已知函数，.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)求函数在上的值域.
16．设函数，已知函数的图象经过点
(1)求函数的解析式
(2)求函数在上的单调递增区间．
17．已知函数，锐角满足．
(1)求的值；
(2)求的值．
18．已知.
(1)求函数在上的单调增区间；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，若函数的图象关于直线对称，求取最小值时的的解析式．
19．如图所示，某市政府计划在该扇形地域内建设图书馆，为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，要求该图书馆底面矩形的四个顶点都落在边界上.经过测量，扇形的半径为，，.记弧的中点为G，连接，分别与，交于点M，N，连接，设.
(1)求矩形的面积关于的函数；
(2)求矩形的最大面积.
参考答案：
1．D
【分析】利用三角恒等变换可得，进而结合正弦函数的单调性分析求解.
【详解】由题意可得：
，
因为，所以，
当，即时，单调递增.
故选：D.
2．C
【分析】变形计算式，再利用两角差的余弦公式和倍角公式等即可.
【详解】
.
故选：C
3．A
【分析】根据辅助角公式化简，结合最小正周期为可得，进而可得，分别为的最大值和最小值，再根据取最值时的取值求解即可.
【详解】由题意得，因为函数的最小正周期为，
所以，即，故．
因为，所以，分别为的最大值和最小值，
不妨设为最大值，为最小值，
则，，，，
所以，，，
所以，，，
所以取时，取得最小值．
故选：A．
4．D
【分析】先求出，然后由二倍角公式转化为齐二次式求解即可.
【详解】∵，∴
∴，
故选:D.
5．C
【分析】首先化解函数的解析式，再根据对称轴间的距离和周期的关系，即可求解.
【详解】函数，
∴函数的周期
由于相邻两对称轴的距离是周期的一半，即 .
则函数相邻两条对称轴间的距离是 ．
故选：C
6．D
【分析】法一：由，令求解；法二：由，令求解.
【详解】解：法一：
，
，
令，则或，
即：或或，
如图所示：
由图像可知，
函数共8个零点.
法二：因为，
由，得，或，
所以，或，即，或，，
因为，
所以，或共个零点.
故选：D
7．B
【分析】确定，恒成立，不关于对称，A错误；计算周期得到C错误；举反例得到D错误；确定，B正确，得到答案.
【详解】当时，，
对选项A：恒成立，不关于对称，故错误；
对选项B：，是偶函数，故正确；
对选项C：函数的最小正周期是，故错误；
对选项D：，，不满足单调递减性质，故错误；
故选：B
8．C
【分析】根据三角恒等变换可化简得，进而由二倍角公式可得，由不等式即可求解.
【详解】由,
由于，得，
即，，.可得是以点C为直角顶点的直角三角形，
则，
可得，又，的取值范围是.
故选:C.
9．AC
【分析】根据同角三角函数关系判断A选项；应用两角和的正弦结合诱导公式判断B选项；应用两角和的正切公式判断C选项；用正弦的和角公式化简求解即可判断D选项；
【详解】对于A， 已知，则,所以A正确；
对于B，
，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，
，故D错误.
故选：AC.
10．ACD
【分析】运用换元法令，转化为二次函数的最值可判定A，转化为正余弦的齐次式可判定B，运用同角三角函数的基本关系式可判定C，根据题意知当时取最大值可判定D.
【详解】选项A：令，则，
所以，当时，故A正确，
选项B：因为，
所以，故B错误；
选项C：因为，所以，
即，由，所以
由，所以，即，
所以，故C正确；
选项D：函数满足恒成立，
即，化简得，故D正确；
故选：ACD.
11．AC
【分析】利用辅助角公式化简，再根据三角函数的性质逐项判断即可.
【详解】
，
即，
对于A，，易知为偶函数，所以A正确；
对于B，对称轴为，故B错误；
对于C，，单调递减，则
单调递增，故C正确；
对于D，，则，所以，故D错误；
故选：AC
12．
【分析】根据二倍角公式，结合同角商数关系即可求解，或者利用正切的二倍角公式，结合弦切互化求解.
【详解】（法一）
．
（法二）因为，所以，
则
．
故答案为：．
13．/
【分析】应用两角差的余弦公式及二倍角公式，同角三角函数关系的商的关系即可求解.
【详解】由，得．
因为为锐角，所以，
所以．
，解得．
故答案为：
14．
【分析】根据条件先求解出的值，然后根据诱导公式以及二倍角的正弦公式求解出结果.
【详解】由题可知，
所以，
故答案为：.
15．(1)
(2).
【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，再利用整体代入法即可得解；
（2）由定义区间和函数解析式，结合正弦函数的性质即可得解.
【详解】（1），
由，解得，
所以函数的单调递减区间为.
（2）因为，则，
所以，故，
所以函数在上的值域为.
16．(1)
(2)单调递增区间为，
【分析】（1）利用三角恒等变换化简可得，根据题意函数的图象经过点，可得，可得解析式；
（2）令，因为，所以，由的单调递增区间得出的单调递增区间即可．
【详解】（1）结合题意可得：，
所以，，
因为函数的图象经过点，
所以，即，
所以，，即，，
因为，所以当时，，满足题意，
故函数的解析式为．
（2）由可得，
令，因为，所以，
由的图象可知：
在上单调递增，
所以，解得：，所以在单调递增；
在单调递增，
所以，解得：，所以在单调递增
函数在上的单调递增区间为，
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据诱导公式以及二倍角公式即可化简求解，
（2）根据同角关系以及和差角公式即可求解.
【详解】（1）由题意，
，
因为，所以．
（2）因为，所以，所以，
结合，可知，
故，
则．
18．(1)，
(2)
【分析】（1）由题意，利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，得出结论．
（2）由题意，利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得的解析式．
【详解】（1）由于，
令，，求得，，
可得函数的增区间为，.
（2）将函数的图象向左平移个单位，可得的图象；
再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象．
若函数的图象关于直线对称，
则，，即，
令，求得取最小值为，此时，
19．(1)
(2)
【分析】（1）用的正余弦表示出边长，再用面积公式表示出函数关系即可；
（2）由正弦函数的性质求出最值即可.
【详解】（1）由题意可知，，
代入数值并化简可得
，
所以矩形的面积关于的函数
①，
利用降幂公式，二倍角公式，辅助角公式化简上式可得
①，
所以
（2）由正弦函数的值域可知，当时，
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