2023-2024学年高中数学苏教版必修第二册第11章解三角形经典题型（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2023-2024学年高中数学苏教版必修第二册第11章解三角形经典题型
一、单选题
1．在中，角的对边分别是，已知，，，则（ ）
A．7 B．19 C． D．
2．在三角形ABC中，角A，B，C的对边为.且，则最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．在△中，角的对边分别是，则=（ ）
A． B． C． D．
4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“”是“为等腰三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．在中，内角、、对应边分别为、、，已知，且角的平分线交于点，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，则外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．某中学开展结合学科知识的动手能力大赛，参赛学生甲需要加工一个外轮廓为三角形的模具，原材料为如图所示的是边上一点，，要求分别把的内切圆，裁去，则裁去的圆的面积之和为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，，则的面积为（ ）
A．3 B． C． D．
二、多选题
9．已知中，在上，为的角平分线，为中点，则（ ）
A． B．的面积为
C． D．
10．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论成立的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
11．在中，，，则角的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，它的外接圆半径为，且，则角 ．
13．如图，在五边形ABCDE中，为边长为4的等边三角形，，且．若锐角的面积为，则的最大值为 ．

14．某兴趣小组利用无人机测量烈士塔的高度．无人机在点A处测得烈士塔顶部点B的仰角为，烈士塔底部点C的俯角为，无人机与烈士塔的水平距离为10m，烈士塔的高度为 m．（结果保留整数．参考数据：，，）
四、解答题
15．记的内角，，的对边分别为，，，已知，．
(1)求角；
(2)求．
16．记的内角的对边分别为.已知.
(1)当角最大时，求其最大值并判断的形状；
(2)若的中线，求面积的最大值.
17．在中，内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，且，求的周长.
18．已知在中，内角的对边分别是，且．
(1)求的取值范围；
(2)求的最大值．
19．在中，内角所对的边分别为，，，且，.
(1)求外接圆的面积；
(2)若，求的值.
参考答案：
1．D
【分析】利用余弦定理求得正确答案.
【详解】由余弦定理得，
所以．
所以．
故选：D
2．A
【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【详解】在中，由正弦定理及，得，即，而，
因此，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值.
故选：A
3．B
【分析】利用正弦定理、二倍角公式等知识求得正确答案.
【详解】因为，所以．
因为，所以，所以．
因为，所以，则．
故选：B
4．D
【分析】利用正弦定理边化角，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】在中，由及正弦定理得，
即有，而，于是或，即或，
命题“若，则为等腰三角形”是假命题；
当为等腰三角形时，不一定是，命题“若为等腰三角形，则”是假命题，
所以“”是“为等腰三角形”的既不充分也不必要条件.
故选：D
5．A
【分析】由结合正弦定理、三角恒等变换化简可得出角的值，利用可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本呢不等式可求得的最小值.
【详解】因为，所以，，
由正弦定理可得，
因为、，则，所以，，可得，
因为角的平分线交于点，，
由，即，
所以，，所以，，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为.
故选：A.
6．C
【分析】由正弦定理求得外接圆半径后可得面积.
【详解】设外接圆的半径为，则，
∴，故外接圆的面积为.
故选：C.
7．C
【分析】设，根据已知条件在中利用正弦定理及三角公式求出，分别在内用等面积法求出内切圆半径即可得解.
【详解】在，设，
则，，
所以，
在中，，由正弦定理得,
即，即，
化简得或，因为，所以（负值舍去），，
故为等边三角形，为等腰三角形，,
在中，设圆的半径为，根据等面积有，
即，化简得，
在中，设圆的半径为，根据等面积有，
即，化简得，
所以圆的面积之和为，
故选：C.
8．A
【分析】利用三角恒等变换和同角三角函数的基本关系，求出角C，再利用三角形的面积公式即可求得.
【详解】依题意，，故．
因为，所以，故，得．
因此的面积，
故选：B．
9．ABD
【分析】根据条件利用余弦定理，可求出，求出后，可直接利用三角形面积公式计算出的面积，故可知正确；利用余弦定理求出的余弦及正弦值，在三角形中，利用正弦定理可求得的长，判断出;在中,利用正弦定理可求出的长，判断出
【详解】如图：

在三角形中，由余弦定理，
，故，故，正确；
由余弦定理可知：，，
平分，，
，
在三角形中，由正弦定理可得：，
故，故不正确.
在中，
由余弦定理得：，
，故正确；
故选：
10．AC
【分析】A选项，由大角对大边，正弦定理得到；B选项，可举出反例；C选项，由正弦定理得到，得到，所以，C正确；D选项，由正弦定理和三角恒等变换得到，再举出反例.
【详解】A选项，因为，所以，由正弦定理得，故，A正确；
B选项，不妨设，此时，不满足，B错误；
C选项，若，则，
由正弦定理得，
因为，所以，故，即，
同理可得，故，
故，所以，C正确；
D选项，，由正弦定理得，
即，即，
不妨设，满足，D错误.
故选：AC
11．AB
【分析】由正弦定理，可得，又，所以，又，可得，可判断各个选项.
【详解】由正弦定理，可得，又，所以，又，所以，即角为锐角，所以角的取值范围为，故A，B正确.
故选：AB.
12．/
【分析】根据正弦定理将原式进行边化角，再根据三角形中三角函数的诱导公式展开原式进行计算即可.
【详解】由正弦定理得，，，代入，
化简得，
∴，
∵，∴，∴，即，
又，∴．
故答案为：
13．4
【分析】由锐角的面积求出，得，中由余弦定理求，由余弦定理和基本不等式，求的最大值.
【详解】因为锐角的面积为，即，
解得，所以．
中由余弦定理得，解得．
在中，，，由余弦定理得，
即，
所以，当且仅当时等号成立，解得，
所以的最大值为4．
故答案为：4
14．28
【分析】先分析出直角三角形的相关的量，再应用解三角形的知识求出对应的边，最后求出塔高就行.
【详解】由图可知，m，
在中，，m，所以m
在中，m，
所以m，
故答案为：28
15．(1)
(2)．
【分析】（1）由二倍角公式、商数关系可得，由此即可得解.
（2）由余弦定理得边的比例，结合正弦定理即可得解.
【详解】（1），
∴，则．
（2）由余弦定理可得，
∴，则．
16．(1)，等边三角形
(2)
【分析】（1）根据条件，由正弦定理得到，再利用余弦定理及重要不等式可得，即可求出结果；
（2）根据条件，利用向量的中线公式得到，再结合余弦定理得到，进而可得到，，即可求出结果.
【详解】（1）由得到，
又由余弦定理得，当且仅当取等号，
又，且在区间上单调递减，所以，
即角最大值为，又，所以为等边三角形.
（2）因为，得到，
又，所以①，
又由余弦定理得②，由①②得到，
又，所以，得到，当且仅当时取等号，
此时，，由（1）知，
所以，即面积的最大值为.
17．(1)
(2)9
【分析】（1）正弦定理边化角再结合两角和的正弦公式化简求解；
（2）代入，结合三角变换得是等边三角形，再求周长即可.
【详解】（1）∵，∴，
∴，∴，
∵，∴，又∵，∴
（2）由（1）知，
则
.
又∵，∴，∴，∴是等边三角形，
∵，∴的周长为9.
18．(1)
(2)．
【分析】（1）由倍角公式化简结合正余弦定理即可求；
（2）将原式由半角公式和诱导公式，结合辅助角公式化简为，结合（1）的结论即可求.
【详解】（1）由，得，
结合正弦定理可得，
由余弦定理可得，
∵，
∴，
∴的范围是．
（2）
上式，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当，即当时，有最大值，为．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据诱导公式化简条件式，利用正弦定理计算出，最后根据正弦定理计算即可；
（2）根据三角形面积公式及（1）的结论得，利用余弦定理计算即可.
【详解】（1）∵，
∴，
由正弦定理得：，
∴，
∴，
∵，∴.
又，∴，
∴外接圆的半径，
∴外接圆的面积.
（2）∵，
∴.
由余弦定理得：.
又，，，
∴.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)