2023-2024学年高中数学苏教版必修第二册第9章平面向量经典题型（含解析）

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2023-2024学年高中数学苏教版必修第二册第9章平面向量经典题型
一、单选题
1．已知向量，若与共线，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
2．若单位向量的夹角为，则（ ）
A． B． C．3 D．7
3．已知向量，，且，则（ ）
A． B．2 C． D．
4．如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（ ）

A． B． C． D．
5．已知向量，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．在等腰梯形中，，，点是线段上靠近的三等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
7．设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ）
A．和 B．与
C．与 D．与
8．如图，在中，为的中点，，与交于点，若，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知平面向量，，下列叙述正确的是（ ）
A．与的夹角为 B．与的夹角为
C． D．在上的投影向量为
10．在中，点是边的中点，是边的三分之一分点，（靠近点的）， 与交于点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，在方格中，向量的始点和终点均为小正方形的顶点，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．已知向量，且，则 ．
13．已知P，Q分别为的边，的中点，若，，则点C的坐标为 ．
14．已知向量．若非零实数满足，则 .
四、解答题
15．已知在平面直角坐标系中，点，，．
(1)若，且，求t的值；
(2)记在方向上的投影向量为，求的坐标．
16．（1）设是空间两个不共线的非零向量，
已知，且A，B，D三点共线，求实数k的值．
（2）已知为两个不共线的非零向量，且，求证：A，B，C，D四点共面．
17．已知向量为向量的夹角.
(1)求的值；
(2)若，求实数的值.
18．设与均为单位向量.
(1)若，求向量与的夹角；
(2)若与的夹角为，设（其中），若，求的最大值;
19．在中，E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点．
(1)分别用向量，表示向量，；
(2)若点N满足，证明：B，N，E三点共线．
参考答案：
1．D
【分析】根据与共线，可得，求得，再利用向量在向量上的投影向量为，计算即可得解.
【详解】由向量，，
若与共线，则，所以，
则，
所以向量在向量上的投影向量为：
，
故选：D.
2．A
【分析】直接由模长公式以及数量积的运算即可求解.
【详解】由．
故选：A．
3．D
【分析】由，可得，计算即可得的值.
【详解】由，故，故.
故选：D.
4．D
【分析】结合题意可知三点共线，进而得到，利用向量基本定理表示出,进而表示出计算即可.
【详解】因为，所以
所以，
因为，所以，
即，
因为三点共线，所以，解得，
所以，
而,
所以,
即.
故选：D.
5．A
【分析】将平方，求出的值，即可求得以及的值，根据向量的夹角公式，即可求得答案.
【详解】由题意知向量，满足，，，
故，即，
则，
，
故，
故选：A
6．D
【分析】通过添设辅助线，借助于三角形和等腰梯形，利用平面向量的加减法将进行转化，最终用来表示即得.
【详解】
如图等腰梯形中，取中点，连接，则,,
于是，
.
故选:D.
7．C
【分析】判断出哪个选项的两个向量共线即可.
【详解】对于C，共线，不能作为基底，
对于ABD，两组向量都不共线，
故选：C.
8．A
【分析】由向量共线的性质分别设，，结合条件依次表示出，，对应解出，即可求解.
【详解】设，，
则，
而与不共线，∴，解得，∴.
故选：A.
9．ACD
【分析】根据题意，由平面向量的坐标运算，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】因为，，则，
且，所以，故A正确，B错误；
，则，故C正确；
在上的投影向量为，故D正确；
故选：ACD
10．ABD
【分析】根据题意，结合平面向量的线性运算法则，以及三角形的面积公式，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，点是边的中点，是边的三分之一分点，
可得，所以A正确；
设为的中点，连接，则，
在中，因为分别为的中点，可得且，
在中，由分别为的中点，且，可得，
所以，所以，
所以，所以B正确；
由，可得且，
则，且，
所以，所以C不正确；
由，，
且，
所以，所以D正确.
故选：ABD.
11．BCD
【分析】A选项，由于两向量方向不同，故；B选项，建立平面直角坐标系，求出向量坐标，从而对BCD进行判断.
【详解】A选项，由于的方向不同，故，A错误；
B选项，如图所示，建立平面直角坐标系，
则，
故，故，
又，故，B正确；
C选项，，故，C正确；
D选项，，，
故，D正确.
故选：BCD
12．
【分析】根据向量的坐标运算求出向量的坐标，根据向量垂直的坐标表示，列式计算，即可求得答案.
【详解】由题意知，
得，
因为，所以，解得，
故答案为：
13．
【分析】由向量求出的坐标，进而求出点C的坐标.
【详解】由P，Q分别为的边，的中点，
，得，
点为坐标原点，，
因此，所以点C的坐标为
故答案为：.
14．3
【分析】利用平面向量的坐标运算、向量共线的充要条件列式计算即得.
【详解】依题意，，，
而，则，整理得，
且不为0，所以.
故答案为：3
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据列方程，然后解方程得到；
（2）根据投影向量的定义计算.
【详解】（1）由题意，得，，
所以，．
因为，
所以，
即，
即，又，故．
（2），．
由投影向量的定义得，，
其中，．
所以．
16．（1）（2）证明见解析；
【分析】（1）根据向量共线定理求解；（2）根据向量的共面定理证明；
【详解】（1）,
A，B，D三点共线，
所以即
即有：，
解得：
（2）设
则，
所以，
又是空间两个不共线的非零向量，
所以，
解得；，即
所以A，B，C，D四点共面，原命题得证.
17．(1)
(2)0或
【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算即可求得，代入公式夹角公式即可得结果；
（2）分别用坐标表示出，利用模长相等即可解得或.
【详解】（1））由可得，
所以.
（2）由，
可得，
即，解得或.
即实数的值为0或.
18．(1)
(2)3
【分析】（1）根据向量数量积的定义及运算性质，利用向量的夹角公式求解；
（2）根据向量的模可得，利用重要不等式求解.
【详解】（1）因为与均为单位向量，，
所以，
又，
所以，
又，所以.
（2）因为，与的夹角为，与均为单位向量，
所以，
即，因为，
所以，即，当且仅当时，等号成立，
即的最大值为3。
19．(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据几何图形进行线性运算即可；
（2）利用向量共线定理即可证明.
【详解】（1）因为E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点，
所以 ，
则，
.
（2）因为，所以，
则，
所以，即，所以，
又因为有公共点，
所以，，三点共线.

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