2023-2024学年高中数学苏教版选择性必修第一册第4章数列经典题型（含解析）

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2023-2024学年高中数学苏教版选择性必修第一册第4章数列经典题型
一、单选题
1．在前项和为的等差数列中，，，则（ ）
A．5 B．15 C．45 D．90
2．已知为正项等比数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为3，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知等比数列的前项和为，．在与之间插入个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这个数之和为，的值为（ ）
A．240 B．360 C．480 D．560
4．一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房 (如图)，例如：从蜂房只能爬到号或号蜂房，从号蜂房只能爬到号或号蜂房……以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（ ）
A． B．
C． D．
5．数列满足，，则（ ）
A． B．
C．2 D．
6．已知数列的通项公式为，若是单调递增数列，则实数t的取值范围是（ ）
A．(－6，＋∞) B．(－∞，－6)
C．(－∞，－3) D．
7．已知的内角，，的对边分别为，，，若，，成等比数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．数列的前项和为，且满足：，，若，则的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、多选题
9．设等差数列的公差为d，前n项和．若，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列
B．
C．
D．中最大的是
10．已知数列的通项公式为，记为数列的前n项和，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则
11．正项等比数列的前n项积为，且满足，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C．的最大值为 D．
三、填空题
12．在递增等比数列{}中，=9，=18，则{an}的公比q=
13．已知数列满足，，记，则
14．设等差数列的公差为，且．记分别为数列的前项和．若，则 .
四、解答题
15．已知为公差为2的等差数列的前项和，若数列为等差数列.
(1)求；
(2)求数列的前项和.
16．已知数列的前n项和为，，且．
(1)求数列的通项；
(2)设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求的范围．
17．在等差数列中，，是和的等比中项．
(1)求的公差；
(2)若数列的前项和为，且，求.
18．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
(1)证明：数列是等差数列;
(2)求的通项公式．
19．已知正项数列满足；且对任意的正整数都有成立，其中是数列的前项和，为常数.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，证明：数列的前项和.
参考答案：
1．B
【分析】写出等差数列的通项公式以及前n项求和公式，利用题中所给的条件列方程求出，即可求解.
【详解】设 的通项公式为 ，其中 是首项，d是公差，
由，由已知，得，
由 ，得 ，
解得 ，又，得， ，
故选：B.
2．B
【分析】根据基本量法求出和q，然后由求和公式可得.
【详解】记等比数列的公比为，
由题可知，，即，
解得或（舍去），
所以.
故选：B
3．A
【分析】先求得，然后利用等差数列的性质求得.
【详解】设等比数列的公比为，
依题意，，
则，即，所以，
所以，则，则，
所以，所以，
，所以.
故选：A
4．A
【分析】根据递推关系以及构造法求得正确答案.
【详解】依题意，（），，
当时，
，
，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
故选：A
【点睛】本题首先是考查观察能力，通过观察题目所给图象，探究数列的递推关系.其次是根据递推关系求通项公式，利用的是构造函数法以及等比数列的定义，将递推关系转化为等比数列的形式，从而可利用等比数列的知识来对问题进行求解.
5．B
【分析】根据题目中的递推公式，写出数列的前几项，可得数列的周期性，可得答案.
【详解】数列满足，，
，，，
可知此数列有周期性，周期，即，则.
故选：B.
6．A
【分析】由是单调递增数列，得，代入解析式得，根据恒成立条件即得
【详解】因为是单调递增数列，
所以对于任意的，都有，
即，
化简得，
所以对于任意的都成立，
因为，所以.
故选:A.
7．B
【分析】由题目条件可得，再利用余弦定理代入求解即可.
【详解】因为，，成等比数列，得，且，得，由余弦定理，.
故选：B
8．C
【分析】根据等比数列定义得到，再求解指数不等式即可.
【详解】由题意得数列是以3为首项，公比为2的等比数列，
则，显然为单调递增数列，令，
因为，，则的最大值为6，
故选：C.
9．CD
【分析】利用数列的性质逐个选项分析即可.
【详解】由题意得，，
化简得，，即，，故，
由得，，代入得，，
解得，故C正确，
则，故数列是递减数列，故A错误，
而，故B错误，
易知数列前6项为正，从开始，数列所有项为负，
故中最大的值是，故D正确.
故选：CD
10．BC
【分析】由为等差数列，先求出，，由可判断选项A；分为奇数和偶数分别求的前项和，从而可判断B；先得出，从而得出，，再分为奇数和偶数分别求的前项和,即可判断C；由，求出，从而可求出的前40项的和,进而判断D.
【详解】因为数列的通项公式为，,故，所以为等差数列，，公差为，
则，
，
当时，，故A不正确；
当为偶数时，；
当为奇数时，，
故，所以B正确；
，
，
当为偶数时，，
当为奇数时，，
所以，故C正确；
，
，
所以
，
所以，所以D错误．
故选：BC．
【点睛】方法点睛：本题主要考查数列求和的应用，常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.
11．ABC
【分析】先根据题干条件判断出，然后结合等比数列的性质逐一分析每个选项．
【详解】由得或，
若，则，结合得，矛盾；
所以，所以，故A正确；
由上述分析得，故B正确；
由上述分析得，故最大，C正确；
，故D错误；
故选：ABC.
12．
【分析】利用已知条件和等比数列的性质计算可得答案.
【详解】因为是递增等比数列，且，
所以，则．
故答案为：．
13．59
【分析】根据题中递推关系可得，从而得数列为等差数列，再根据等差数列通项公式求解即可.
【详解】由题意得为偶数，则，
所以，
即，且，
所以是以2为首项，3为公差的等差数列，
则，
所以．
故答案为：.
14．
【分析】根据等差数列的通项公式结合题中条件可得，结合，可解得公差继而可求.
【详解】，，解得，
，
又，
，即，
解得或，因为，所以，
所以
故答案为：.
15．(1)
(2).
【分析】（1）由等差中项的性质可得，再由等差数列的通项公式和前项和公式代入化简可求得，即可求出答案；
（2）由（1）得，则，再由等比数列的前项和公式和分组求和法求解即可.
【详解】（1）因为数列为等差数列，所以，
因为为公差为2的等差数列的前项和，
则，解得.
故.
（2）由（1）得，故，
故数列的前项和为.
16．(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定的递推公式，结合变形，探求数列的性质求出通项.
（2）由（1）的结论求出，利用错位相减法求和，再借助分离参数的方法求解.
【详解】（1）数列中，，，当时，，两式相减得，
当时，，，因此，，
于是数列是首项为，公比为的等比数列，
所以数列的通项.
（2）由（1）及，得，
则，
则有，
两式相减得
，
因此，由恒成立，得恒成立，
即恒成立，当时，不等式恒成立；
当时，恒成立，当时取得最小值1，则；
当时，，显然恒有，则；
所以的范围是．
17．(1)0或2
(2)12或3
【分析】（1）根据是和的等比中项列出关系式，可得或；
（2）当时，为常数列，可得，进而可得；
当时，，利用裂项相消法可求得.
【详解】（1）由题意得，因，得，解得或．
（2）当时，，则，所以．
当时，，
则，
所以．
故或．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据递推关系可得，根据的含义，即可相除求解，
（2）根据可得，进而根据与的关系即可求解.
【详解】（1）由已知得，且，，
取，由得，
由于为数列的前n项积，
所以，故，
所以，
由于，所以，即，其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
，
，
当时，，
当时，，显然对于不成立，
∴
19．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据的关系即可作差化简求证为等差数列，即可由等差数列的通项求解，
（2）根据错位相减法求和即可求证.
【详解】（1）当时，有，可解得；
即，
所以，
两式相减可得，
整理得
又，所以，即，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
因此.
数列的通项公式为
（2）由可得，
所以，
，
两式相减可得
，
即可得，
又，所以，即；
所以.
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